Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Công thức tọa độ đỉnh của parabol, tọa độ giao điểm của parabol với các trục tọa độ (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 10 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Công thức tọa độ đỉnh của parabol, tọa độ giao điểm của parabol với các trục tọa độ (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

I. Lí thuyết tổng hợp

- Khái niệm đường parabol: Một đường parabol là một tập hợp các điểm trên mặt phẳng cách đều một điểm cho trước (tiêu điểm) và một đường thẳng cho trước (đường chuẩn).

- Phương trình Parabol có dạng: $y=a{x}^2+bx+c$

- Gọi I là đỉnh của Parabol ta có $x_I=\frac{-b}{2a}$; $y_I=\frac{-\Delta }{4a}$ ( trong đó $\Delta =b^2-4ac$)

- Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) là:

f(x) = g(x).

- Gốc tọa độ có tọa độ là O(0; 0)

- Trục tung có phương trình: x = 0.

- Trục hoành có phương trình: y = 0

II. Các công thức

Cho parabol (P): $y=a{x}^2+bx+c$, ta có:

- Tọa độ đỉnh I của Parabol là I$\left(\frac{-b}{2a};\frac{-\Delta }{4a}\right)$  (trong đó $\Delta =b^2-4ac$)

- Tọa độ giao điểm A của Parabol $y=a{x}^2+bx+c$ với trục tung x = 0:

Thay x = 0 vào phương trình Parabol có:$y=c\Rightarrow$ A (0; c)

- Tọa độ giao điểm B của Parabol $y=a{x}^2+bx+c$ với trục hoành y = 0:

Hoành độ của B là nghiệm của phương trình $y=a{x}^2+bx+c$ (1)

Nếu phương trình (1) vô nghiệm $\Rightarrow$ không tồn tại điểm B

Nếu phương trình (1) có nghiệm kép $\Rightarrow$ Parabol tiếp xúc với trục hoành tại B$\left(\frac{-b}{2a};0\right)$

Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  Parabol cắt trục hoành tại hai điểm $B_1\left(\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};0\right)$ và $B_2\left(\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a};0\right)$

III. Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho parabol có phương trình $y=x^2-3x+2$. Xác định tọa độ đỉnh của Parabol.

Lời giải:

Gọi I là đỉnh của Parabol $y=x^2-3x+2$. Ta có:

$$\begin{gathered} x_I=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-3)}{2.1}=\frac{3}{2} \\ \Delta ={(-3)}^2-\mathrm{4.1.2}=1 \\ {y}_I=\frac{-\Delta }{4a}=\frac{-1}{4.1}=\frac{-1}{4} \\ \Rightarrow I\left(\frac{3}{2};\frac{-1}{4}\right) \end{gathered}$$

Vậy đỉnh của parabol là $I\left(\frac{3}{2};\frac{-1}{4}\right)$.

Bài 2: Cho Parabol có phương trình $y=-2x^2+4x-3$. Tìm giao điểm của Parabol với trục tung và trục hoành.

Lời giải:

Gọi M là giao điểm của Parabol với trục tung.

Vì M cũng thuộc trung tung nên ta có $M(0;y_M)$

Thay x = 0 vào $y=-2x^2+4x-3$ ta có: y = -2.0 + 4.0 – 3 = -3 

$\Rightarrow$ M (0; -3)

Gọi N là giao điểm của Parabol với trục hoành.

Vì N cũng thuộc trục hoành nên ta có: $N(x_N;0)$

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của Parabol với trục hoành:

$-2x^2+4x-3=0$(1)

$\Delta =4^2-4.(-2).(-3)=-8<0$

$\Rightarrow$Phương trình (1) vô nghiệm. $\Rightarrow$ Parabol và trục hoành không có giao điểm.

Bài 3: Tìm giao điểm của các Parabol sau với trục hoành.

a) $y=2x^2+3x-5$

b) $y=x^2-2x+1$

Lời giải:

a) $y=2x^2+3x-5$

Gọi M là giao điểm của Parabol với trục hoành.

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của Parabol với trục hoành:

$y=2x^2+3x-5$ (1)

$\Delta ={(-3)}^2-\mathrm{4.2.}(-5)=49$> 0

$\Rightarrow$Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

$$\begin{gathered} x_1=\frac{-3+\sqrt{49}}{2.2}=1; \\ {x}_2=\frac{-3-\sqrt{49}}{2.2}=\frac{-5}{2} \end{gathered}$$

$\Rightarrow M_1\left(1;0\right)$ và $M_2\left(\frac{-5}{2};0\right)$

Vậy Parabol giao với trục hoành tại hai điểm $M_1\left(1;0\right)$ và $M_2\left(\frac{-5}{2};0\right)$.

b) $y=x^2-2x+1$

Gọi B là giao điểm của Parabol với trục hoành.

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của Parabol với trục hoành:

$x^2-2x+1=0$(1)

$\Delta ={(-2)}^2-\mathrm{4.1.1}=0$

$\Rightarrow$Phương trình (1) có nghiệm kép $x=\frac{-(-2)}{2.1}=1$

$\Rightarrow$B(1; 0)

Vậy Parabol tiếp xúc với trục hoành tại điểm B(1; 0).

IV. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho parabol có phương trình $y=2x^2-5x+6$. Xác định tọa độ đỉnh của Parabol.

Bài 2: Cho parabol có phương trình $y=x^2-3x+4$. Xác định tọa độ giao điểm của Parabol với trục tung và trục hoành.

Bài 3: Cho hàm số y = ax² (a ≠ 0) có đồ thị parabol (P)

a) Xác định a để (P) đi qua điểm 

b) Với giá trị a vừa tìm được hãy:

+ Tìm các điểm trên (P) có tung độ bằng -2.

+ Tìm các điểm trên (P) cách đều hai trụ tọa độ.

Bài 4: Cho hàm số y = ax² (a ≠ 0) có đồ thị parabol (P)

a) Tìm hệ số a biết rằng (P) đi qua điểm M(-2; 4).

b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc tọa độ và điểm N(2; 4).

c) Vẽ (P) và (d) tìm được ở câu a và b trên cùng một hệ trục tọa độ.

d) Tìm tọa độ giao điểm của (p) và (d) ở câu a và câu b.

Bài 5: Cho hàm số (P): y = x² và d = x/2

a) Vẽ đồ thị hàm số của (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d).

Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình  và hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là x_A = -1, x_B = 2

a) Tìm tọa độ giao điểm của A và B

b) Viết phương trình đường thẳng AB

Bài 7: Đường thẳng y = -3x + 1 cắt parabol  tại hai điểm phân biệt có tọa độ lần lượt là:

Bài 8: Tìm tọa độ giao điểm của parabol y = x² và đường thẳng .

Bài 9: Cho parabol (P): y = -x² và đường thẳng (d): y = 4x + m, với m là tham số sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Tọa độ của hai giao điểm là:

Bài 10: Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = -2x + 1 - m² , với m là tham số sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Tọa độ của các giao điểm là:

Bài 11: Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng , với m là tham số. Tọa độ giao điểm của (P) và (d) khi m = 1 là:

Bài 12: Parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = -6x - 9 tiếp xúc nhau tại điểm có tọa độ là:

Bài 13: Cho parabol (P): y = mx² và đường thẳng (d): y = (m + 1)x + 3 , với m là tham số (m ≠ 0, m ≠ -1). Tọa độ giao điểm của (P) và (d) khi m = 1 là:

Xem thêm các dạng Toán 10 hay, chọn lọc khác:

Hàm số bậc hai lớp 10 và cách giải các dạng bài tập

Cách xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số chi tiết

Cách xét tính chẵn, lẻ của hàm số chi tiết

Tất tần tật công thức về Hàm số y = |x|

Công thức tọa độ đỉnh của parabol, tọa độ giao điểm của parabol với các trục tọa độ