Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Bất phương trình bậc hai (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 10 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Phương pháp giải Bất phương trình bậc hai (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

1. Lý thuyết

- Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng $a{x}^2+bx+c<0$ (hoặc $a{x}^2+bx+c>0;$$a{x}^2+bx+c\le 0;a{x}^2+bx+c\ge 0$), trong đó a, b, c là những số thực đã cho, $a\ne 0$.

- Giải bất phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c<0$ thực chất là tìm các khoảng mà trong đó $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ cùng dấu với hệ số a (trường hợp a < 0) hay trái dấu với hệ số a (trường hợp a > 0).

2. Các dạng toán

Dạng 3.1: Dấu của tam thức bậc hai

a. Phương pháp giải:

- Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức dạng $a{x}^2+bx+c$. Trong đó a, b, c là nhứng số cho trước với $a\ne 0$.

- Định lý về dấu của tam thức bậc hai:

Cho $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ ($a\ne 0$), $\Delta =b^2-4ac$.

Nếu $\Delta <0$ thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi $x\in ℝ$

Nếu $\Delta =0$ thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a trừ khi $x=-\frac{b}{2a}$.

Nếu $\Delta >0$ thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi $x<x_1$ hoặc $x>x_2$, trái dấu với hệ số a khi $x_1<x<x_2$  trong đó $x_1,x_2(x_1<x_2)$ là hai nghiệm của f(x).

Lưu ý: Có thể thay biệt thức $\Delta =b^2-4ac$ bằng biệt thức thu gọn $\Delta \text{'}={(b\text{'})}^2-ac$.

Ta có bảng xét dấu của tam thức bậc hai $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ ($a\ne 0$) trong các trường hợp như sau:

Minh họa bằng đồ thị

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xét dấu tam thức $f\left(x\right)=-x^2-4x+5$

Hướng dẫn:

Ta có f(x) có hai nghiệm phân biệt $x=1$, $x=-5$ và hệ số a = -1 < 0 nên:

f(x) > 0 khi $x\in (-5;1)$; f(x) < 0 khi $x\in (-\infty ;-5)\cup (1;+\infty )$.

Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức $f\left(x\right)=\left(3x^2-10x+3\right)\left(4x-5\right)$.

Hướng dẫn:

Ta có: $3x^2-10x+3=0\iff \left[\begin{array}{c}x=3\\ x=\frac{1}{3}\end{array}\right.$

và $4x-5=0\iff x=\frac{5}{4}.$

Lập bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)\le 0\iff x\in \left(-\infty ;\frac{1}{3}\right]\cup \left[\frac{5}{4};3\right]; \\ f\left(x\right)\ge 0\iff x\in \left[\frac{1}{3};\frac{5}{4}\right]\cup \left[3;+\infty \right) \end{gathered}$$

Dạng 3.2: Giải và biện luận bất phương trình bậc hai

a. Phương pháp giải:

Giải và biện luận bất phương trình bậc hai

Ta xét hai trường hợp:

+) Trường hợp 1: a = 0 (nếu có).

+) Trường hợp 2: a $\ne$ 0, ta có:

Bước 1: Tính $\Delta$ (hoặc $\Delta \text{'}$)

Bước 2: Dựa vào dấu của $\Delta$ (hoặc $\Delta \text{'}$)  và a, ta biện luận số nghiệm của bất phương trình

Bước 3: Kết luận.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải và biện luận bất phương trình $x^2+2x+6m>0.$

Hướng dẫn:

Đặt $f\left(x\right)=x^2+2x+6m$

Ta có Δ' = 1 - 6m; a = 1. Xét ba trường hợp:

+) Trường hợp 1: Nếu  ${\Delta }^{\text{'}}<0\iff m>\frac{1}{6}$$\Rightarrow f\left(x\right)>0\forall x\in ℝ$.

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là $S=ℝ$.

+) Trường hợp 2: Nếu ${\Delta }^{\text{'}}=0\iff m=\frac{1}{6}$$\Rightarrow f\left(x\right)>0\forall x\in ℝ\text{{-1}\}$.

Suy ra nghiệm của bất phương trình là $S=ℝ\text{{-1}\}$.

+) Trường hợp 3: Nếu ${\Delta }^{\text{'}}>0\iff m<\frac{1}{6}$.

Khi đó f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt $x_1=-1-\sqrt{1-6m}$; $x_2=-1+\sqrt{1-6m}$( dễ thấy $x_1<x_2$)  $\Rightarrow f\left(x\right)>0khi\text{\hspace{0.33em}}x<x_1$ hoặc $x>x_2$. Suy ra nghiệm của bất phương trình là $S=\left(-\infty ;x_1\right)\cup \left(x_2;+\infty \right)$.

Vậy:

 Với $m>\frac{1}{6}$ tập nghiệm của bất phương trình là $S=ℝ$.

Với $m=\frac{1}{6}$ tập nghiệm của bất phương trình là $S=ℝ\text{{-1}\}$.

Với $m<\frac{1}{6}$ tập nghiệm của bất phương trình là  $S=\left(-\infty ;x_1\right)\cup \left(x_2;+\infty \right)$ với $x_1=-1-\sqrt{1-6m}$, $x_2=-1+\sqrt{1-6m}$.

Ví dụ 2: Giải và biện luận bất phương trình $12x^2 +2\left(m+3\right)x+m\le 0.$

Hướng dẫn:

Đặt $f\left(x\right)=12x^2 +2\left(m+3\right)x+m$, ta có a = 12 và ${\Delta }^{\text{'}}={(m-3)}^2\ge 0$

Khi đó, ta xét hai trường hợp:

+) Trường hợp 1: Nếu ${\Delta }^{\text{'}}=0\iff m=3$, suy ra $f\left(x\right)\ge 0\forall x\in ℝ$. Do đó, nghiệm của bất phương trình là $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}$.

+) Trường hợp 2: Nếu ${\Delta }^{\text{'}}>0\iff m\ne 3$, suy ra f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt $x_1=-\frac{1}{2};x_2=-\frac{m}{6}$

Xét hai khả năng sau:

Khả năng 1: Nếu $x_1<x_2\iff m<3$

Khi đó, theo định lý về dấu của tam thức bậc hai, tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left[-\frac{1}{2};-\frac{m}{6}\right]$

Khả năng 2: Nếu $x_1>x_2\iff m>3$

Khi đó, theo định lý về dấu của tam thức bậc hai, tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left[-\frac{m}{6};-\frac{1}{2}\right]$

Vậy: Với m = 3 tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left\{-\frac{1}{2}\right\}$.

Với m < 3 tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left[-\frac{1}{2};-\frac{m}{6}\right]$.

Với m > 3 tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left[-\frac{m}{6};-\frac{1}{2}\right]$.

Dạng 3.3: Bất phương trình chứa căn thức

a. Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức:

+) $\sqrt{f\left(x\right)}\le g\left(x\right)\iff \left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\ge 0\\ g\left(x\right)\ge 0\\ f\left(x\right)\le g^2\left(x\right)\end{array}\right.$

+) $\sqrt{f\left(x\right)}\ge g\left(x\right)\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)<0\\ f\left(x\right)\ge 0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)\ge 0\\ f\left(x\right)\ge g^2\left(x\right)\end{array}\right.\end{array}\right.$

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải bất phương trình $\sqrt{x^2+2}\le x-1$.

Hướng dẫn:

Ta có $\sqrt{x^2+2}\le x-1$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}x-1\ge 0\\ x^2+2\ge 0\\ x^2+2\le x^2-2x+1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 1\\ 2x\le -1\end{array}\right. \end{gathered}$$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 1\\ x\le -\frac{1}{2}\end{array}\right.$ (vô lý).

Vậy bất phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 2: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình $\sqrt{x^2-2x-15}>2x+5$.

Hướng dẫn:

Ta có: $\sqrt{x^2-2x-15}>2x+5$

$\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{x}^2-2x-15\ge 0\\ 2x+5<0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}2x+5\ge 0\\ x^2-2x-15>{\left(2x+5\right)}^2\end{array}\right.\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}x\le -3\\ x\ge 5\end{array}\right.\\ x<-\frac{5}{2}\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x\ge -\frac{5}{2}\\ 3x^2+22x+40<0\end{array}\right.\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x\le -3\\ \left\{\begin{array}{l}x\ge -\frac{5}{2}\\ -4<x<-\frac{10}{3}\end{array}\right.\end{array}\right.\iff x\le -3. \end{gathered}$$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: $S=\left(-\infty ;-3\right]$.

3. Bài tập vận dụng

3.1 Tự luận

Câu 1: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình $2x^2-3x-15\le 0$

Hướng dẫn:

Xét $f\left(x\right)=2x^2-3x-15$.

$f\left(x\right)=0\iff x=\frac{3\pm \sqrt{129}}{4}$

Ta có bảng xét dấu:

 Tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left[\frac{3-\sqrt{129}}{4};\frac{3+\sqrt{129}}{4}\right]$.

Do đó bất phương trình có 6 nghiệm nguyên là: -2; -1; 0; 1; 2; 3.

Câu 2: Xét dấu biểu thức: $f\left(x\right)=x^2-4$.

Hướng dẫn:

Ta có f(x) có hai nghiệm phân biệt x = -2, x = 2 và hệ số a = 1 > 0 nên:

f(x) < 0 khi $x\in (-2;2)$; f(x) > 0 khi $x\in (-\infty ;-2)\cup (2;+\infty )$.

Câu 3: Xét dấu biểu thức: $f\left(x\right)=x^2-4x+4$.

Hướng dẫn:

$x^2-4x+4=0\iff x=2$

Ta có bảng xét dấu:

Vậy f(x) > 0 với $\forall x\in ℝ\text{{}2\}$.

Câu 4: Giải bất phương trình $x\left(x+5\right)\le 2\left(x^2+2\right).$

Hướng dẫn:

Bất phương trình $x\left(x+5\right)\le 2\left(x^2+2\right)$

$$\begin{gathered} \iff x^2+5x\le 2x^2+4 \\ \iff x^2-5x+4\ge 0 \end{gathered}$$

Xét phương trình $x^2-5x+4=0$

$\iff \left(x-1\right)\left(x-4\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=4\end{array}\right..$

Lập bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy $x^2-5x+4\ge 0$

$\iff x\in \left(-\infty ;1\right]\cup \left[4;+\infty \right).$

Câu 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của x thỏa mãn $\frac{x+3}{x^2-4}-\frac{1}{x+2}<\frac{2x}{2x-x^2}$?

Hướng dẫn:

Điều kiện:  

$\left\{\begin{array}{l}{x}^2-4\ne 0\\ x+2\ne 0\\ 2x-x^2\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x\ne \pm 2\end{array}\right..$

Bất phương trình:

$$\begin{gathered} \frac{x+3}{x^2-4}-\frac{1}{x+2}<\frac{2x}{2x-x^2} \\ \iff \frac{x+3}{x^2-4}-\frac{1}{x+2}+\frac{2x}{x^2-2x}<0 \\ \iff \frac{2x+9}{x^2-4}<0. \end{gathered}$$

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy:

$\frac{2x+9}{x^2-4}<0\iff x\in \left(-\infty ;-\frac{9}{2}\right)\cup \left(-2;2\right).$

Vậy chỉ có duy nhất một giá trị nguyên dương của x (x = 1) thỏa mãn yêu cầu.

Câu 6: Tìm các giá trị của m để biểu thức $f\left(x\right)=x^2+(m+1)x+2m+7>0\forall x\in ℝ$.

Hướng dẫn:

Ta có: $f\left(x\right)>0,\forall x\in ℝ\iff \left\{\begin{array}{l}a>0\\ \Delta <0\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}1>0\\ {\left(m+1\right)}^2-4\left(2m+7\right)<0\end{array}\right. \\ \iff m^2-6m-27<0 \\ \iff -3<m<9 \end{gathered}$$

Câu 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình: $\left(m+1\right)x^2-2\left(m+1\right)x+4\ge 0$(1) có tập nghiệm $S=ℝ$?

Hướng dẫn:

+) Trường hợp 1: $m+1=0\iff m=-1$

Bất phương trình (1) trở thành $4\ge 0\forall x\in R$ ( Luôn đúng) (*)

+) Trường hợp 2:$m+1\ne 0\iff m\ne -1$

Bất phương trình (1) có tập nghiệm $S=ℝ$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{c}a>0\\ \Delta \text{'}\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}m+1>0\\ \Delta \text{'}=m^2-2m-3\le 0\end{array}\right. \\ \iff -1<m\le 3\left(**\right) \end{gathered}$$

Từ (*) và (**) ta suy ra với  thì bất phương trình có tập nghiệm $S=ℝ$.

Câu 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai f(x) sau đây thỏa mãn $f\left(x\right)=-x^2+2x+m-2018<0$, $\forall x\in ℝ$.

Hướng dẫn:

Vì tam thức bậc hai f(x) có hệ số a = -1 < 0 nên $f\left(x\right)<0,\forall x\in ℝ$ khi và chỉ khi ${\Delta }^{\text{'}}<0$

$$\begin{gathered} \iff 1-\left(-1\right)\left(m-2018\right)<0 \\ \iff m-2017<0 \\ \iff m-2017<0 \end{gathered}$$

Câu 9: Bất phương trình $\sqrt{2x-1}\le 2x-3$ có bao nhiêu nghiệm nguyên thuộc khoảng (0; 7)?

Hướng dẫn:

Ta có:$\sqrt{2x-1}\le 2x-3$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}2x-1\ge 0\\ 2x-3\ge 0\\ 2x-1\le {\left(2x-3\right)}^2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\ge \frac{1}{2}\\ x\ge \frac{3}{2}\\ 4x^2-14x+10\ge 0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\ge \frac{3}{2}\\ \left[\begin{array}{l}x\le 1\\ x\ge \frac{5}{2}\end{array}\right.\end{array}\right.\iff x\ge \frac{5}{2} \end{gathered}$$

Kết hợp điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x\in \left(0;7\right)\\ x\in \mathbb{Z}\end{array}\right.$, suy ra $x\in \left\{3;4;5;6\right\}$.

Vậy bất phương trình có 4 nghiệm nguyên thuộc khoảng (0; 7).

Câu 10: Tìm tập nghiệm của bất phương trình $\sqrt{x^2+2017}\le \sqrt{2018}x$.

Hướng dẫn:

$$\begin{gathered} \sqrt{x^2+2017}\le \sqrt{2018}x \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2+2017\ge 0\\ x\ge 0\\ x^2+2017\le 2018x^2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x^2-1\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ \left[\begin{array}{l}x\le -1\\ x\ge 1\end{array}\right.\end{array}\right. \\ \iff x\ge 1 \end{gathered}$$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $T=\left[1;+\infty \right)$.

3.2 Trắc nghiệm

Câu 1: Cho tam thức $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c\left(a\ne 0\right),$ $\Delta =b^2-4ac$. Ta có $f\left(x\right)\le 0$ với $\forall x\in ℝ$ khi và chỉ khi:

A. $\left\{\begin{array}{l}a<0\\ \Delta \le 0\end{array}\right.$.  

B. $\left\{\begin{array}{l}a\le 0\\ \Delta <0\end{array}\right.$.  

C. $\left\{\begin{array}{l}a<0\\ \Delta \ge 0\end{array}\right.$.  

D. $\left\{\begin{array}{l}a>0\\ \Delta \le 0\end{array}\right.$.

Hướng dẫn:

Chọn A.

Áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai ta có: $f\left(x\right)\le 0$ với $\forall x\in ℝ$ khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}a<0\\ \Delta \le 0\end{array}\right.$.

Câu 2: Cho hàm số $y=f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ có đồ thị như hình vẽ. Đặt $\Delta =b^2-4ac$, tìm dấu của a và $\Delta$.

A. a > 0, $\Delta >0$.    

B. a < 0, $\Delta >0$.    

C. a > 0, $\Delta =0$.    

D. a < 0.$\Delta =0$

Hướng dẫn:

Chọn A.

Đồ thị hàm số là một parabol có bề lõm quay lên nên a > 0 và đồ thị hàm số cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt nên $\Delta >0$.

Câu 3: Cho tam thức bậc hai $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Nếu $\Delta >0$ thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi $x\in ℝ$.

B. Nếu $\Delta <0$ thì f(x) luôn trái dấu với hệ số a, với mọi $x\in ℝ$.

C. Nếu $\Delta =0$ thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi $x\in ℝ\backslash \left\{-\frac{b}{2a}\right\}$.

D. Nếu $\Delta <0$ thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số b, với mọi $x\in ℝ$.

Hướng dẫn:

Chọn C. Theo định lý về dấu tam thức bậc hai

Câu 4: Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình $x^2-8x+7\ge 0$. Trong các tập hợp sau, tập nào không là tập con của S?

A. $\left(-\infty ;0\right]$. 

B. $\left[6;+\infty \right)$. 

C. $\left[8;+\infty \right)$. 

D. $\left(-\infty ;-1\right]$.

Hướng dẫn:

Chọn B.

Ta có $x^2-8x+7\ge 0\iff \left[\begin{array}{l}x\le 1\\ x\ge 7\end{array}\right.$.

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left(-\infty ;1\right]\cup \left[7;+\infty \right)$.

Do đó $\left[6;+\infty \right)\not\subset S$.

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $x^2+mx+4=0$ có nghiệm

A. $-4\le m\le 4$.     

B. $m\le -4$ hoặc $m\ge 4$.

C. $m\le -2$ hoặc $m\ge 2$.  

D. $-2\le m\le 2$.

Hướng dẫn:

Chọn B.

Phương trình $x^2+mx+4=0$ có nghiệm $\iff \Delta \ge 0$ $\iff m^2-16\ge 0$ $\iff m\le -4$hoặc $m\ge 4$.

Câu 6: Tam thức $f\left(x\right)=x^2+2\left(m-1\right)x+m^2-3m+4$ không âm với mọi giá trị của x khi

A. $m<3$.    

B. $m\ge 3$.    

C. $m\le -3$. 

D. $m\le 3$.

Hướng dẫn:

Chọn D.

Yêu cầu bài toán $\iff f\left(x\right)\ge 0,\forall x\in ℝ$

$$\begin{gathered} \iff x^2+2\left(m-1\right)x+m^2-3m+4\ge 0,\forall x\in ℝ \\ \iff {\Delta }^{\text{'}}={\left(m-1\right)}^2-\left(m^2-3m+4\right)\le 0 \\ \iff m-3\le 0 \end{gathered}$$

Vậy $m\le 3$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình $x^2-\left(m+2\right)x+8m+1\le 0$ vô nghiệm.

A. $m\in \left[0;28\right]$.      

B. $m\in \left(-\infty ;0\right)\cup \left(28;+\infty \right)$.

C. $m\in \left(-\infty ;0\right]\cup \left[28;+\infty \right)$.       

D. $m\in \left(0;28\right)$.

Hướng dẫn:

Chọn D.

Bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi $\Delta ={\left(m+2\right)}^2-4\left(8m+1\right)<0$

$\iff m^2-28m<0\iff 0<m<28$.

Câu 8: Bất phương trình $\sqrt{-x^2+6x-5}>8-2x$ có nghiệm là:

A. $-5<x\le -3$.    

B. $3<x\le 5$.

C. $2<x\le 3$.

D. $-3\le x\le -2$.

Hướng dẫn:

Chọn B.

Ta có:

$$\begin{gathered} \sqrt{-x^2+6x-5}>8-2x \\ \iff \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}-x^2+6x-5\ge 0\\ 8-2x<0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}8-2x\ge 0\\ -x^2+6x-5>{\left(8-2x\right)}^2\end{array}\right.\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}1\le x\le 5\\ x>4\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}x\le 4\\ 3<x<\frac{23}{5}\end{array}\right.\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $3<x\le 5$.

Câu 9: Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\sqrt{2\left(x^2+1\right)}\le x+1$ là:

A. 3. 

B. 1. 

C. 4. 

D. 2.

Hướng dẫn:

Chọn B.

Ta có:

$$\begin{gathered} \sqrt{2\left(x^2+1\right)}\le x+1 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x+1\ge 0\\ 2\left(x^2+1\right)\ge 0\\ 2\left(x^2+1\right)\le {\left(x+1\right)}^2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x+1\ge 0\\ x^2-2x+1\le 0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x+1\ge 0\\ {\left(x-1\right)}^2\le 0\end{array}\right. \\ \iff x=1 \end{gathered}$$

Vậy bất phương trình đã cho có 1 nghiệm nguyên.

Câu 10: Nghiệm của bất phương trình $\frac{3\text{x}-1}{\sqrt{x+2}}\le 0$ (1) là:

A. $x\le \frac{1}{3}$.    

B. $-2<x<\frac{1}{3}$.      

C. $\left\{\begin{array}{c}x\le \frac{1}{3}\\ x\ne -2\end{array}\right.$.

D. $-2<x\le \frac{1}{3}$.

Hướng dẫn:

Chọn D.

Điều kiện xác định: x > -2.

$\left(1\right)\iff 3\text{x}-1\le 0\iff x\le \frac{1}{3}$ (do $\sqrt{x+2}>0$ với mọi x > -2)

Kết hợp điều kiện $x>-2$ suy ra nghiệm của bất phương trình là $-2<x\le \frac{1}{3}$.

4. Bài tập tự luyện

Câu 1. Tập nghiệm của bất phương trình: $2x^2–7x–15\ge 0$là:

Câu 2. Tập nghiệm của bất phương trình: $–x^2+6x+7\ge 0$là:

Câu 3. Giải bất phương trình $-2x^2+3x-7\ge 0.$

A. $S=0;$

B. $S=\left(0\right);$

C. $S=\varnothing ;$

D. $S=ℝ.$

Câu 4. Tập nghiệm của bất phương trình $x^2-3x+2<0$ là:

A. $\left(-\infty ;1\right)\cup \left(2;+\infty \right);$

B. $\left(2;+\infty \right);$

C. $\left(1;2\right);$

D. $\left(-\infty ;1\right).$

Câu 5. Tập nghiệm của bất phương trình $-x^2+5x-4<0$ là:

A. ;

B.$\left(1;4\right)$;

C. $\left(-\infty ;1\right)\cup \left(4;+\infty \right)$;

D.$\left(-\infty ;1\right)\cup \left(4;+\infty \right)$.

Câu 6. Tập nghiệm của bất phương trình $\sqrt{2}{x}^2-\left(\sqrt{2}+1\right)x+1<0$ là:

A. $\left(\frac{\sqrt{2}}{2};1\right);$

B. $\varnothing ;$

C.

D. $\left(-\infty ;\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cup \left(1;+\infty \right).$

Câu 7. Tập nghiệm của bất phương trình $6x^2+x-1\le 0$ là

Câu 8. Số thực dương lớn nhất thỏa mãn $x^2-x-12\le 0$ là ?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 9. Bất phương trình nào sau đây có tập nghiệm là $ℝ$?

A.$-3x^2+x-1\ge 0;$

B. $-3x^2+x-1>0;$

C. $-3x^2+x-1<0;$

D. $-3x^2+x-1\le 0.$

Câu 10. Cho bất phương trình $x^2-8x+7\ge 0$. Trong các tập hợp sau đây, tập nào có chứa phần tử không phải là nghiệm của bất phương trình.

Câu 11. Giải bất phương trình $x\left(x+5\right)\le 2\left(x^2+2\right).$

A. $x\le 1;$

B. $1\le x\le 4;$

C. 

D. $x\ge 4.$

Câu 12. Tập nghiệm S của bất phương trình $x^2$ + x - 12 < 0 là:

A. $S=\left(-4;3\right);$

B. $S=\left(4;+\infty \right);$

C.$S=\left(3;+\infty \right);$

D. $S=\varnothing .$

Câu 13.Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình $x\left(2-x\right)\ge x\left(7-x\right)-6\left(x-1\right)$ trên đoạn  bằng:

A. 5;

B. 6;

C. 21;

D. 40;

Câu 14. Bất phương trình$\left(2x-1\right)\left(x+3\right)-3x+1\le \left(x-1\right)\left(x+3\right)+x^2-5$ có tập nghiệm là:

A. $S=\left(-\infty ;-\frac{2}{3}\right);$

B. 

C. $S=ℝ;$

D. $S=\varnothing .$

Câu 15. Tập nghiệm S của bất phương trình$5\left(x+1\right)-x\left(7-x\right)>-2x$ là:

A. $S=ℝ;$

B.$S=\left(-\frac{5}{2};+\infty \right);$

C. $S=\left(-\infty ;\frac{5}{2}\right);$

D. $S=\varnothing .$

Xem các Phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác:

Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải bài tập

Các tính chất của bất đẳng thức lớp 10 đầy đủ, chi tiết

Bất đẳng thức Cô-si và hệ quả chi tiết nhất

Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối chi tiết nhất

Dấu của nhị thức bậc nhất chi tiết nhất