Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Phương sai và độ lệch chuẩn (HAY NHẤT 2024) gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 10 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Phương pháp giải Phương sai và độ lệch chuẩn (HAY NHẤT 2024)

A. Lí thuyết 

1. Phương sai 

Phương sai của bảng thống kê số liệu x kí hiệu là $s_x^2$.

Công thức tính phương sai:

+ Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất: $n_i$, $f_i$,$x_i$  lần lượt là tần số, tần suất và giá trị của số liệu, n là số các số liệu thống kê, $\overline{x}$ là số trung bình cộng của các số liệu thống kê đã cho.

+ Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp: Trong đó $n_i$, $f_i$, $c_i$ lần lượt là tần số, tần suất, giá trị đại diện của lớp thứ i, n là số các số liệu thống kê, $\overline{x}$ là số trung bình cộng của các số liệu thống kê đã cho.

- Ý nghĩa của phương sai:

+ Phương sai được sử dụng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình).

+ Khi hai dãy số liệu có cùng đơn vị đo và có số trung bình bằng nhau hoặc xấp xỉ nhau, dãy có phương sai càng nhỏ thì mức độ phân tán (so với số trung bình) của các số liệu thống kê càng bé.

2. Độ lệch chuẩn 

Căn bậc hai của phương sai gọi là độ lệch chuẩn, kí hiệu $s_x$. Ta có: $s_x=\sqrt{s_x^2}$

- Ý nghĩa độ lệch chuẩn: Độ lệch chuẩn cũng dùng đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình). Khi cần chú ý đến đơn vị đo ta dùng độ lệch chuẩn để đánh giá vì độ lệch chuẩn có cùng đơn vị đó với số liệu được nghiên cứu.

B. Phương pháp giải 

- Phương pháp tính phương sai, độ lệch chuẩn:

+ Tính trung bình cộng

+ Tính độ lệch của mỗi số liệu thống kê

+ Áp dụng các công thức:$s_x=\sqrt{s_x^2}$

Đối với bảng phân bố tần số, tần suất:

Đối với bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp:

C. Ví dụ minh họa       

Bài 1: Điểm trung bình các môn học của học sinh được cho trong bảng sau:

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng phân bố tần số, tần suất.

Lời giải:

Điểm trung bình của học sinh là:

Phương sai:

Bài 2: Cho bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp sau: Nhiệt độ trung bình của tháng 2 tại thành phố Vinh từ 1961 đến hết 1990 (30 năm)

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn.

Lời giải:

Số trung bình cộng:

$$\begin{gathered} \overline{x}=f_1{c}_1+f_2{c}_2+\mathrm{...}+f_k{c}_k \\ =\frac{3,33}{100}.13+\frac{10}{100}.15+\frac{40}{100}.17+\frac{30}{100}.19+\frac{16,67}{100}.21 \\ \approx 17,93 \end{gathered}$$

Phương sai:

$$\begin{gathered} s_x^2=f_1{(c_1-\overline{x})}^2+f_2{(c_2-\overline{x})}^2+\mathrm{...}+f_5{(c_5-\overline{x})}^2 \\ =\frac{3,33}{100}{(13-17,93)}^2+\frac{10}{100}{(15-17,93)}^2+\frac{40}{100}{(17-17,93)}^2 \\ +\frac{30}{100}{(19-17,93)}^2+\frac{16,67}{100}{(21-17,93)}^2 \\ \approx 3,93 \end{gathered}$$

Độ lệch chuẩn: $s_x=\sqrt{s_x^2}\approx 1,98$

Bài 3: Lớp 10C của một trường Trung học phổ thông đồng thời làm bài thi môn Ngữ văn theo cùng một đề thi. Kết quả thi được trình bày ở bảng phân bố tần số sau đây:

Hãy tính các số trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn.

Lời giải:

D. Bài tập tự luyện 

Bài 1: Lớp 10D của một trường Trung học phổ thông đồng thời làm bài thi môn Ngữ văn theo cùng một đề thi. Kết quả thi được trình bày ở bảng phân bố tần số sau đây:

Hãy tính phương sai, độ lệch chuẩn.

Đáp án: $s_x^2=0,7875$,$s_x\approx 0,2$

Bài 2: Cho bảng tần số ghép lớp : Khối lượng của cá mè trong một bể (đơn vị: kg). Hãy tính phương sai, độ lệch chuẩn.

Đáp án: $s_x^2=0,042$,

Bài 3: Cho bảng tần số ghép lớp : Khối lượng của cá rô phi trong một bể (đơn vị: kg). Hãy tính phương sai, độ lệch chuẩn.

Đáp án: $s_x^2=0,064$,$s_x\approx 0,253$

Bài 4: Cho bảng tần số ghép lớp : Tuổi  thọ của bóng đèn (đơn vị: giờ). Hãy tính phương sai, độ lệch chuẩn.

Đáp án: $s_x^2=120$,$s_x\approx 10,95$

Bài 5: Cho bảng tần số ghép lớp : Điểm kiểm tra Toán của học sinh. Hãy tính phương sai, độ lệch chuẩn.

Đáp án: $s_x^2\approx 2,04$,$s_x\approx 1,43$

Bài 6: Khi điều tra về số cây trồng được của mỗi lớp trong dịp phát động phong trào Tết trồng cây, người ta điều tra và lập được bảng dưới đây:

Hãy tính phương sai, độ lệch chuẩn.

Đáp án: $s_x^2\approx 48,45$,$s_x\approx 6,96$

Bài 7: Chọn 30 hộp chè mộ cách tùy ý trong kho của một cửa hàng và đem cân, kết quả được ghi lại trong bảng 7 (sau khi đã trừ khối lượng của vỏ):

Hãy tính phương sai, độ lệch chuẩn.

Đáp án: $s_x^2\approx 1,067$,$s_x\approx 1,033$

Bài 8: Hàng ngày, bạn An thử ghi lại thời gian cần thiết để đi từ nhà đến trường và thực hiện trong 10 ngày, kết quả thu được ghi trong bảng sau (đơn vị: phút). Hãy tính phương sai, độ lệch chuẩn.

Đáp án: $s_x^2\approx 1,29$,$s_x\approx 1,136$

Bài 9: bảng phân bố sau đây cho biết chiều cao ( tính bằng cm) của 500 học sinh trong một trường THCS

a)     Tính số trung bình

b)    Tính phương sai và độ lệch chuẩn

Đáp án:

a) Số trung bình: $\overline{x}=\frac{1}{500}\left(152.25+156.50+160.200+164.175+168.50\right)=161,4$

b) Phương sai: 

 $\begin{array}{l}{s}_x^2=f_1{\left(c_1-\overline{x}\right)}^2+f_2{\left(c_2-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}+f_k{\left(c_k-\overline{x}\right)}^2\\ =25{\left(152-161,4\right)}^2+50{\left(156-161,4\right)}^2+200{\left(160-161,4\right)}^2+175{\left(164-161,4\right)}^2+50{\left(168-161,4\right)}^2=14,48\end{array}$

      Độ lệch chuẩn:   $s_x=\sqrt{s_x^2}=\sqrt{14,48}=3,85$

Bài 10: trên 2 con đường A và B, trạm kiểm soát đã ghi lại tần số của 30 chiếc xe ô tô trên mỗi con đường như sau:

Con đường A:

60      65      70      68      62      75      80      83      82      69      73      75      85      72

67      88      90      85      72      63      75      76      85      84      70      61      60      65

73      76

Con đường B:

76      64      58      82      72      70      68      75      63      67      74      70      79      80

73      75      71      68      72      73      79      80      63      62      71      70      74      69

60      60

a) tìm số trung bình, số trung vị, phương sai, độ lệch chuẩn của tốc độ trên mỗi con đường A, B

b) theo em thì xe chạy trên con đường nào thì an toàn hơn.

Đáp án:

a)     Số trung bình:

 $\overline{x_A}=\frac{60+65+70+\mathrm{...}+65+73+76}{30}=73,63$

$\overline{x_B}=\frac{76+64+58+\mathrm{...}+69+60+63}{30}=70,7$

sắp xếp theo thứ tự tăng dần:

con đường A:

con đường B:

Số trung vị con đường A: do n=30 chẵn nên $M_{e_A}=\frac{73+73}{2}=73$

Số trung vị con đường B: do n=30 chẵn nên $M_{e_B}=\frac{71+71}{2}=71$

Phương sai: $s_A^2=\frac{1}{n}\left[n_1{(x_1-\overline{x})}^2+n_2{(x_2-\overline{x})}^2+\mathrm{...}+n_k{(x_k-\overline{x})}^2\right]=77,14$

$s_B^2=\frac{1}{n}\left[n_1{(x_1-\overline{x})}^2+n_2{(x_2-\overline{x})}^2+\mathrm{...}+n_k{(x_k-\overline{x})}^2\right]=37,73$

Độ lệch chuẩn:

 $s_A=\sqrt{s_A^2}=\sqrt{77,14}=8,78$        

 $s_B=\sqrt{s_B^2}=\sqrt{37,73}=6,11$        

b)    Nhận xét: chạy trên đường B an toàn hơn.

Bài 11: Người ta tiến hành phỏng vấn một số người về chất lượng của một loại sản phẩm mới. người điều tra yêu cầu cho điểm sản phẩm ( thang điểm 100) kết quả như sau:

80      65      51      48      45      61      30      35      84      83      60      58      75      72

68      39      41      54      61      72      75      72      61      58      65

Tìm phương sai và độ lệch chuẩn. Nhận xét gì về các kết quả nhận được.

Đáp án:

Ta lập bảng phân bố tần số như sau:

Ta có: 

$\begin{array}{l}\overline{x}=\frac{1}{n}\left(n_1{x}_1+n_2{x}_2+\mathrm{...}+n_k{x}_k\right)\\ =\frac{1}{25}\left(1.30+1.35+1.39+1.41+1.45+1.48+1.50+1.51+1.54+1.58+1.60+3.61+2.65+1.68+3.72+2.75+1.80+1.83+1.84\right)=60,2\end{array}$

Phương sai: $s_x^2=\frac{1}{n}\left[n_1{(x_1-\overline{x})}^2+n_2{(x_2-\overline{x})}^2+\mathrm{...}+n_k{(x_k-\overline{x})}^2\right]=216,8$

Độ lệch chuẩn $s_x=\sqrt{s_x^2}=\sqrt{216,8}=14,724$

Nhận xét: mức độ chênh lệch điểm giữa các giá trị là khá lớn

Bài 12: Sản lượng lúa ( đv tạ) của 40 thửa ruộng thí nghệm có cùng diện tích được trình bày trong bảng tần số sau đây:

a) Tìm sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng

b) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn.

Đáp án:

a)     Sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng là:

     $\overline{x}=\frac{1}{40}\left(5.20+8.21+11.22+10.23+6.24\right)=22,1$ ( tạ)

b)    Phương sai: $s_x^2=\frac{1}{n}\left[n_1{(x_1-\overline{x})}^2+n_2{(x_2-\overline{x})}^2+\mathrm{...}+n_k{(x_k-\overline{x})}^2\right]=1,54$

c)     Độ lệch chuẩn: $s_x=\sqrt{s_x^2}=\sqrt{1,54}=1,24\left(ta\right)$

Bài 13: Điểm trung bình các môn học của học sinh được cho trong bảng sau:

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng phân bố tần số, tần suất.

Đáp án:

Điểm trung bình của học sinh là:

Bài 14: Cho bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp sau: Nhiệt độ trung bình của tháng 2 tại thành phố Vinh từ 1961 đến hết 1990 (30 năm)

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn.

Đáp án:

Số trung bình cộng:

$$\begin{gathered} \overline{x}=f_1{c}_1+f_2{c}_2+\mathrm{...}+f_k{c}_k \\ =\frac{3,33}{100}.13+\frac{10}{100}.15+\frac{40}{100}.17+\frac{30}{100}.19+\frac{16,67}{100}.21 \\ \approx 17,93 \end{gathered}$$

Phương sai:

$$\begin{gathered} s_x^2=f_1{(c_1-\overline{x})}^2+f_2{(c_2-\overline{x})}^2+\mathrm{...}+f_5{(c_5-\overline{x})}^2 \\ =\frac{3,33}{100}{(13-17,93)}^2+\frac{10}{100}{(15-17,93)}^2+\frac{40}{100}{(17-17,93)}^2 \\ +\frac{30}{100}{(19-17,93)}^2+\frac{16,67}{100}{(21-17,93)}^2 \\ \approx 3,93 \end{gathered}$$

Độ lệch chuẩn: $s_x=\sqrt{s_x^2}\approx 1,98$

Bài 15: Lớp 10C của một trường Trung học phổ thông đồng thời làm bài thi môn Ngữ văn theo cùng một đề thi. Kết quả thi được trình bày ở bảng phân bố tần số sau đây:

Hãy tính các số trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn.

Đáp án:

Xem các Phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác:

Góc và cung lượng giác và cách giải bài tập

Giá trị lượng giác của cung và cách giải bài tập

Công thức lượng giác chi tiết và cách giải bài tập

Các định nghĩa về vectơ và cách giải bài tập

Tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải bài tập