Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Góc và cung lượng giác (HAY NHẤT 2024) gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 10 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Phương pháp giải Góc và cung lượng giác (HAY NHẤT 2024)

1. Lý thuyết

a. Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn:

* Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1 rađian. 1 rađian còn viết tắt là 1 rad.

Vì tính thông dụng của đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số đo của cung và góc.

* Độ dài cung tròn. Quan hệ giữa độ và rađian:

${180}^o=\pi rad$ suy ra $1^o=\frac{\pi }{180}rad$ và$1rad={\left(\frac{180}{\pi }\right)}^o$

* Độ dài cung tròn

Một cung của đường tròn bán kính R có số đo  $\alpha rad$ thì độ dài $l=R\alpha$.

b. Góc và cung lượng giác:

* Đường tròn định hướng: Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại gọi là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ gọi là chiều dương (cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm).

* Góc, cung lượng giác và số đo của chúng.

Cho đường tròn định hướng tâm O và hai tia Ou, Ov lần lượt cắt đường tròn tại U và V. Tia Om cắt đường tròn tại M, tia Om chuyển động theo một chiều (âm hoặc dương) quay quanh O khi đó điểm M cũng chuyển động theo một chiều trên đường tròn.

- Góc lượng giác: Tia Om quay xung quanh gốc O từ vị trí Ou đến vị trí Ov. Ta nói tia O đã tạo ra một góc lượng giác có tia đầu là Ou, tia cuối là Ov. Kí hiệu (Ou, Ov)

- Cung lượng giác: Điểm M chuyển động theo một chiều từ điểm U đến trùng với điểm V thì ta nói điểm M đã vạch nên một cung lượng giác có điểm đầu U, điểm cuối V. Kí hiệu là $\stackrel{\curvearrowright }{UV}$

- Số đo cung lượng giác:

+) Số đo của một cung lượng giác $\stackrel{\curvearrowright }{UV}$ ( $U\ne V$) là một số thực, âm hay dương. Kí hiệu số đo của cung $\stackrel{\curvearrowright }{UV}$ là sđ $\stackrel{\curvearrowright }{UV}$

+) Nếu một cung lượng giác có số đo ${\alpha }^o$ ( hay $\alpha rad$) thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với nó có số đo dạng ${\alpha }^o+k{360}^o$  (hay $\alpha +k2\pi$ ) với $k\in \mathbb{Z}$.
+) Số đo của góc lượng giác (OU, OV) là số đo của cung lượng giác $\stackrel{\curvearrowright }{UV}$ tương ứng

c. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác:

Đường tròn lượng giác là đường tròn định hướng có tâm O bán kính R = 1 trong hệ tọa độ Oxy. Ta lấy điểm A(1; 0) là điểm gốc của đường tròn đó.

Để biểu diễn cung lượng giác có số đo bằng  trên đường tròn lượng giác, ta chọn điểm gốc là điểm A(1;0) và điểm ngọn C sao cho sđ $\stackrel{\curvearrowright }{AC}=\alpha$.

2. Các dạng bài

Dạng 1.1: Cách đổi độ sang rađian và rađian sang độ

a. Phương pháp giải:

* Đổi độ sang rađian:

Áp dụng lý thuyết: $1^o=\frac{\pi }{180}rad$, ta suy ra: ${\alpha }^o=\alpha .\frac{\pi }{180}rad$.

* Đổi rađian sang độ:

Áp dụng lý thuyết: $1rad={\left(\frac{180}{\pi }\right)}^o$, ta suy ra $\beta rad={\left(\beta .\frac{180}{\pi }\right)}^o$

Chú ý: Khi viết số đo của một góc (hay cung) theo đơn vị rađian, người ta thường không viết chữ rad sau số đo.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Đổi số đo của các góc sau sang rađian

a. ${180}^{\text{o}}$

b. ${22}^{o}30\text{'}$

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức: ${\alpha }^o=\alpha .\frac{\pi }{180}rad$

a. ${180}^o=180.\frac{\pi }{180}rad=\pi$

b. ${22}^{o}30\text{'}=22,5^o=22,5.\frac{\pi }{180}rad=\frac{\pi }{8}$

Ví dụ 2: Đổi số đo của các góc sau sang độ:

a. $\frac{2\pi }{5}$

b. $\frac{\pi }{9}$

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức: $\beta rad={\left(\beta .\frac{180}{\pi }\right)}^o$

a. $\frac{2\pi }{5}rad={\left(\frac{2\pi }{5}.\frac{180}{\pi }\right)}^o={72}^o$

b. $\frac{\pi }{9}rad={\left(\frac{\pi }{9}.\frac{180}{\pi }\right)}^o={20}^o$

Dạng 1.2: Cách tính độ dài cung tròn

a. Phương pháp giải:

Áp dụng công thức: $l=R\alpha$, trong đó: l là độ dài cung tròn, R là bán kính đường tròn,$\alpha$ là số đo bằng rad của cung.

Trường hợp $\alpha$ có số đo bằng độ, ta có công thức: $l=R.\frac{\pi .\alpha }{180}$

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Một đường tròn có bán kính $R=\frac{10}{\pi }\text{\hspace{0.17em}cm}$. Tìm độ dài cung tròn có số đo $\frac{\pi }{2}$ trên đường tròn.

Hướng dẫn:

Độ dài cung tròn có số đo $\frac{\pi }{2}$ là: $l=R\alpha =\frac{10}{\pi }.\frac{\pi }{2}=5cm$

Ví dụ 2: Một đường tròn có bán kính R = 10 cm. Tìm độ dài cung tròn có số đo bằng ${40}^{\text{o}}$  trên đường tròn.

Hướng dẫn:

Độ dài của cung tròn có số đo bằng ${40}^{\text{o}}$ là: $l=\frac{\pi .\alpha }{180}.R=\frac{\pi .40}{180}.10\approx 7\text{\hspace{0.17em}cm}$.

3. Bài tập vận dụng 

a. Tự luận

Câu 1: Tìm số đo theo đơn vị rađian của góc $315°$.

Hướng dẫn:

Ta có $315°=\frac{315}{180}.\pi =\frac{7\pi }{4}$(rađian).

Câu 2: Cho $a=\frac{\pi }{2}+k2\pi$. Tìm k để $10\pi <a<11\pi$

Hướng dẫn:

Để $10\pi <a<11\pi$ thì $\frac{19\pi }{2}<k2\pi <\frac{21\pi }{2}\Rightarrow k=5$.

Câu 3: Góc có số đo $\frac{\pi }{24}$ đổi sang độ là bao nhiêu?

Hướng dẫn:

$\alpha ={\left(\frac{\pi }{24}.\frac{180}{\pi }\right)}^o=7,5^{\text{o}}=7^{\text{o}}30\text{'}.$

Câu 4: Đổi góc ${63}^{0}48\text{'}$ bằng (với $\pi =3,1416$) sang rađian

Hướng dẫn:

Ta có ${63}^{0}48\text{'}=63,8^0=\frac{63,8\times 3,1416}{180}\approx 1,114rad$

Câu 5: Một đồng hồ treo tường, kim giờ dài 10,57 cm và kim phút dài 13,34 cm.Trong 30 phút mũi kim giờ vạch lên cung tròn có độ dài là bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Đồng hồ chỉ 6 giờ đúng thì kim giờ vạch lên 1 cung có số đo $\pi$ nên 30 phút kim giờ vạch lên 1 cung có số đo là $\frac{30}{60.6}\pi =\frac{1}{12}\pi$, suy ra độ dài cung tròn mà nó vạch lên là: $l=R\alpha =10,57\times \frac{\pi }{12}\approx 2,77$cm

Câu 6: Trên đường tròn bán kính r = 15 cm, tìm độ dài của cung có số đo ${50}^0$.

Hướng dẫn:

$l=r.\frac{\pi .\alpha }{180}=15.\frac{\pi .50}{180}=\frac{25\pi }{6}\approx 13,09$cm.

Câu 7: Cung tròn bán kính bằng 8,43 cm có số đo 3,85 rad có độ dài là bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Độ dài cung tròn là $l=R\alpha =8,43\times 3,85=32,4555$ cm.

Câu 8: Cho $a=\frac{\pi }{3}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$. Tìm giá trị của k để $a\in \left(19;27\right)$.

Hướng dẫn:

$$\begin{gathered} 19<\frac{\pi }{3}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)<27 \\ \iff 19-\frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 3}}<k2\pi <27-\frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 3}} \\ \iff 2,86<k<4,13 \\ \iff k\text{=}\left\{3;4\right\} \end{gathered}$$

Câu 9: Đổi góc có số đo $-\frac{3\pi }{16}$ sang số đo độ.

Hướng dẫn:

Vì $1\text{\hspace{0.17em}rad}={\left(\frac{180}{\pi }\right)}^{\text{o}}$ nên $\frac{-3\pi }{16}={\left(\frac{-3\pi }{16}.\frac{180}{\pi }\right)}^{\text{o}}$$={\left(\frac{-135}{4}\right)}^{\text{o}}=-33,{75}^{\text{o}}=-{\text{33}}^{\text{o}}\text{45}\text{'}.$

Câu 10: Cho đường tròn có bán kính 6 cm. Tìm số đo theo đơn vị  của cung có độ dài là 3 cm.

Hướng dẫn:

Theo công thức tính độ dài cung tròn ta có  với  có số đo bằng rad nên ta có: $\alpha =\frac{l}{R}=\frac{3}{6}=0,5$(rad).

b. Trắc nghiệm 

Câu 1: Góc lượng giác nào sau đây có cùng điểm cuối với góc $\frac{7\pi }{4}$?

A. $-\frac{\pi }{4}$ .      

B. $\frac{\pi }{4}$ .

C. $\frac{3\pi }{4}$ .       

D. $-\frac{3\pi }{4}$ .

Câu 2: Cung $\alpha$ có mút đầu là A và mút cuối là M thì số đo của $\alpha$ là:

A.  $\frac{3\pi }{4}+k\pi .$

B. $-\frac{3\pi }{4}+k\pi .$

C. $\frac{3\pi }{4}+k2\pi .$

D. $-\frac{3\pi }{4}+k2\pi .$

Câu 3: Góc $\frac{\pi }{9}$ có số đo bằng độ là:

A. ${18}^{\text{o}}$ .       

B. ${36}^{\text{o}}$ .       

C. ${20}^{\text{o}}$ .            

D. ${12}^{\text{o}}$ .

Câu 4: Một bánh xe có 72 răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là:

A. ${60}^0$ .       

B. ${30}^0$ .       

C. ${40}^0$ .       

D. ${50}^0$ .

Câu 5: Một đường tròn có bán kính 20 cm. Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo $\frac{\pi }{15}$.

A. 4,19 cm.

B. 4,17 cm. 

C. 95,49 cm.        

D. 95,50 cm.

Đáp án:

4. Bài tập tự luyện 

Câu 1. Số đo theo đơn vị rađian của góc ${315}^{°}$ là

A. $\frac{7\pi }{2}$.

B. $\frac{7\pi }{4}$.

C. $\frac{2\pi }{7}$.

D. $\frac{4\pi }{7}$.

Câu 2. Cung tròn có số đo là $\frac{5\pi }{4}$. Hãy chọn số đo độ của cung tròn đó trong các cung tròn sau đây.

A. $5^{°}$.

B. ${15}^{°}$.

C. ${172}^{°}$.

D. ${255}^{°}$.

Câu 3. Cung tròn có số đo là $\pi$. Hãy chọn số đo độ của cung tròn đó trong các cung tròn sau đây.

A. ${30}^{°}$.

B. ${45}^{°}$.

C. ${90}^{°}$.

D. ${180}^{°}$.

Câu 4. Góc ${63}^{°}{48}^{\text{'}}$ bằng (với $\pi =3,1416$ )

A. $1,113\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$.

B. $1,108\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$.

C. $1,107\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$.

D. $1,114\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$.

Câu 5. Góc có số đo $\frac{2\pi }{5}$ đổi sang độ là:

A. ${135}^{°}$.

B. ${72}^0$.

C. ${270}^{°}$.

D. ${240}^{°}$.

Câu 6. Góc có số đo ${108}^0$ đổi ra rađian là:

A. $\frac{3\pi }{5}$.

B. $\frac{\pi }{10}$.

C. $\frac{3\pi }{2}$.

D. $\frac{\pi }{4}$.

Câu 7. Góc có số đo $\frac{\pi }{9}$ đổi sang độ là:

A. ${25}^{°}$.

B. ${15}^{°}$.

C.${18}^{°}$.

D. ${20}^{°}$.

Câu 8. Cho $a=\frac{\pi }{2}+k2\pi$. Tìm k để $10\pi <a<11\pi$

A. $k=7$.

B. $k=5$.

C. $k=4$.

D. $k=6$.

Câu 9. Một bánh xe có 72 răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là:

A. ${60}^{°}$.

B. ${30}^{°}$.

C. ${40}^{°}$.

D. ${50}^{°}$.

Câu 10. Đổi số đo góc ${105}^{°}$ sang rađian.

A. $\frac{7\pi }{12}$.

B. $\frac{9\pi }{12}$.

C. $\frac{5\pi }{8}$.

D. $\frac{5\pi }{12}$.

Câu 11. Số đo góc ${22}^0{30}^{\mathrm{\prime }}$ đổi sang rađian là:

A. $\frac{\pi }{5}$.

B. $\frac{\pi }{8}$.

C. $\frac{7\pi }{12}$.

D. $\frac{\pi }{6}$.

Câu 12. Một cung tròn có số đo là ${45}^{°}$. Hãy chọn số đo radian của cung tròn đó trong các cung tròn sau đây.

A. $\frac{\pi }{2}$

B. $\pi$

C. $\frac{\pi }{4}$

D. $\frac{\pi }{3}$

Câu 13. Góc có số đo $\frac{\pi }{24}$ đổi sang độ là:

A. $7^0$.

B. $7^0{30}^{\mathrm{\prime }}$.

C. $8^0$.

D. $8^0{30}^{\mathrm{\prime }}$.

Câu 14. Góc có số đo ${120}^{°}$đổi sang rađian là:

A. $\frac{2\pi }{3}$.

B. $\frac{3\pi }{2}$.

C. $\frac{\pi }{4}$.

D. $\frac{\pi }{10}$.

Câu 15. Một đồng hồ treo tường, kim giờ dài 10,57cm và kim phút dài 13,34cm.Trong 30 phút mũi kim giờ vạch lên cung tròn có độ dài là

A. 2,78cm .

B. 2,77cm .

C. 2,76cm .

D. 2,8cm .

Câu 16. Cung tròn bán kính bằng 8,43cm có số đo 3,85rad có độ dài là

A.  32,46cm

B. 32,47cm .

C. 32,5cm .

D. 32,45cm .

Câu 17. Trên đường tròn với điểm gốc là A. Điểm M thuộc đường tròn sao cho cung lượng giác AM có số đo ${60}^{°}$. Gọi N là điểm đối xứng với điểm M qua trục Oy, số đo cung AN là

A. $-{120}^{°}$ hoặc ${240}^{°}$.

B. ${120}^{°}+k{360}^{°},k\in \mathbb{Z}$.

C. ${120}^{°}$.

D. $-{240}^{°}$.

Câu 18. Trong 20 giây bánh xe của xe gắn máy quay được 60 vòng.Tính độ dài quãng đường xe gắn máy đã đi được trong vòng 3 phút,biết rằng bán kính bánh xe gắn máy bằng 6,5cm (lấy $\pi =3,1416$ )

A.  22043 cm

B.  22055 cm

C.  22042 cm

D. 22054 cm

Câu 19. Trên đường tròn bán kính r=15, độ dài của cung có số đo ${50}^{°}$ là:

A. $l=15.\frac{180}{\pi }$.

B. $l=\frac{15\pi }{180}$.

C. $l=15.\frac{180}{\pi }.50$.

D. $l=750$.

Câu 20. Cho bốn cung (trên một đường tròn định hướng): $\alpha =-\frac{5\pi }{6},\beta =\frac{\pi }{3},\gamma =\frac{25\pi }{3},\delta =\frac{19\pi }{6}$, Các cung nào có điểm cuối trùng nhau:

A. $\beta$ và $\gamma ;\alpha$ và $\delta$.

B. $\alpha ,\beta ,\gamma$.

C. $\beta ,\gamma ,\delta$.

D. $\alpha$ và $\beta ;\gamma$ và $\delta$.

Câu 21. Cho L, M, N, P lần lượt là điểm chính giữa các cung AB, BC, CD, DA. Cung $\alpha$ có mút đầu trùng với A và số đo $\alpha =-\frac{3\pi }{4}+k\pi$. Mút cuối của $\alpha$ ở đâu?

A. L hoặc N.

B. M hoặc P.

C. M hoặc N.

D. L hoặc P.

Câu 22. Trên đường tròn bán kính r= 5, độ dài của cung đo $\frac{\pi }{8}$ là:

A. $l=\frac{\pi }{8}$.

B. $l=\frac{r\pi }{8}$.

C. $l=\frac{5\pi }{8}$.

D. kết quả khác.

Câu 23. Một đường tròn có bán kính R=10cm. Độ dài cung ${40}^{°}$ trên đường tròn gần bằng

A. 11cm.

B. 13cm.

C. 7cm.

D. 9cm.

Câu 24. Biết một số đo của góc $\mathrm{\angle }(Ox,Oy)=\frac{3\pi }{2}+2001\pi$. Giá trị tổng quát của góc $\mathrm{\angle }(Ox,Oy)$ là:

A. $\mathrm{\angle }(Ox,Oy)=\frac{3\pi }{2}+k\pi$.

B. $\mathrm{\angle }(Ox,Oy)=\pi +k2\pi$.

C. $\mathrm{\angle }(Ox,Oy)=\frac{\pi }{2}+k\pi$.

D. $\mathrm{\angle }(Ox,Oy)=\frac{\pi }{2}+k2\pi$.

Câu 25. Cung nào sau đây có mút trung với B hoặc $\mathrm{B}$ '?

A. $a={90}^{°}+k{360}^{°}$.

B. $a=-{90}^{°}+k{360}^{°}$.

C. $\alpha =\frac{\pi }{2}+k2\pi$.

D. $\alpha =-\frac{\pi }{2}+k2\pi$.

Câu 26. Cung $\alpha$ có mút đầu là A và mút cuối là M thì số đo của $\alpha$ là:

A. $\frac{3\pi }{4}+k2\pi$.

B. $-\frac{3\pi }{4}+k2\pi$.

C. $\frac{3\pi }{4}+k\pi$.

D. $-\frac{3\pi }{4}+k\pi$.

Câu 27. (KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Trên hình vẽ hai điểm M,N biểu diễn các cung có số đo là:

A. $x=\frac{\pi }{3}+2k\pi$.

B. $x=-\frac{\pi }{3}+k\pi$.

C. $x=\frac{\pi }{3}+k\pi$.

D. $x=\frac{\pi }{3}+k\frac{\pi }{2}$.

Câu 28. Trên đường tròn lượng giác gốc A, cho điểm M xác định bởi sđ $AM=\frac{\pi }{3}$. Gọi $M_1$ là điểm đối xứng của M qua trục Ox. Tìm số đo của cung lượng giác $A{M}_1$.

A. sđ

B. sđ $A{M}_1=\frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$$A{M}_1=\frac{-5\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

C. sđ $A{M}_1=\frac{-\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

D. sđ $A{M}_1=\frac{-\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Câu 29. Góc lượng giác nào sau đây có cùng điểm cuối với góc $\frac{7\pi }{4}$ ?

A. $-\frac{\pi }{4}$.

B. $\frac{\pi }{4}$.

C. $\frac{3\pi }{4}$.

D. $-\frac{3\pi }{4}$.

Câu 30. Có bao nhiêu điểm M trên đương tròn định hương gốc A thỏa mãn .

A. 6 .

B. 4 .

C. 3 .

D. 8 .

 Xem các Phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác:

Giá trị lượng giác của cung và cách giải bài tập

Công thức lượng giác chi tiết và cách giải bài tập

Các định nghĩa về vectơ và cách giải bài tập

Tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải bài tập

Tích của vectơ với một số và cách giải bài tập