Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Công thức Phân tích vectơ (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 10 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Công thức Phân tích vectơ (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

A. Lí thuyết tóm tắt

- Định nghĩa tích của vectơ với một số: Cho số k$\ne$0 và vectơ $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$. Tích của vectơ với số k là một vectơ, kí hiệu là $k\overrightarrow{a}$ và có độ dài bằng $\left|k\right|\left|\overrightarrow{a}\right|$.

- Điều kiện để hai vectơ cùng phương: $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k để $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$.

- Điều kiện ba điểm thẳng hàng: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có tồn tại một số k khác 0 để $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$.

- Tính chất của tích vectơ với một số:

+) $k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$

+) $(h+k)\overrightarrow{a}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{a}$

+) $h\left(k\overrightarrow{a}\right)=\left(hk\right)\overrightarrow{a}$

+) $1.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a};(-1)\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}$

+) $0.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$; $k.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$

- Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương. Khi đó mọi vectơ  đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ sao cho $\overrightarrow{x}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$. (h, k là duy nhất).

B. Các công thức

- Quy tắc trung điểm: I là trung điểm của AB

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$ ( M tùy ý )

- Quy tắc trọng tâm: G là trọng tâm tam giác ABC

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$ ( M tùy ý )

- Quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

- Phân tích một vectơ theo hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương: $\overrightarrow{x}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$ (h, k là duy nhất)

- Độ dài vectơ tích của vectơ với một số: $\left|k\overrightarrow{a}\right|=\left|k\right|.\left|\overrightarrow{a}\right|$

- Điều kiện 2 vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$($\overrightarrow{b}\ne 0$) cùng phương: $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$ ( k$\ne$0)

- Điều kiện 3 điểm thẳng hàng: $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$

- Tính chất của tích vectơ với một số:

$$\begin{gathered} k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b} \\ (h+k)\overrightarrow{a}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{a} \\ h\left(k\overrightarrow{a}\right)=\left(hk\right)\overrightarrow{a} \\ 1.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a};(-1)\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a} \\ 0.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}; k.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0} \end{gathered}$$

C. Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích vectơ $\overrightarrow{AB}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AK}$ và $\overrightarrow{BM}$.

Giải:

Vì K là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{KB}$.

Vì M là trung điểm của AC nên $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$.

Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB} \\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AM}+2\overrightarrow{KB} \\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}=2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM})+2(\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AB}) \\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BM}+2\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{AB} \\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}=4\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BM}+2\overrightarrow{KA} \\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}-4\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{BM}-2\overrightarrow{AK} \\ \Rightarrow -3\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{BM}-2\overrightarrow{AK} \\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}=\frac{-2}{3}\overrightarrow{BM}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AK} \end{gathered}$$

Bài 2: Xét đoạn thẳng AB có trung điểm M, điểm N nằm ngoài AB, khác M. Phân tích vectơ $\overrightarrow{NM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{NA}$ và $\overrightarrow{NB}$.

Giải:

Áp dụng quy tắc trung điểm ta có:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}=2\overrightarrow{NM} \\ \Rightarrow \overrightarrow{NM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{NA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{NB} \end{gathered}$$

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Gọi I là trung điểm của CD. Lấy điểm M trên đoạn BI sao cho BM = 2MI. Chứng minh A, M, C thẳng hàng.

Giải:

Ta có: BM = 2MI

$\Rightarrow \overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MI}$

Áp dụng quy tắc ba điểm có: $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}$

$\Rightarrow \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MI}$

Mà ABCD là hình bình hành nên: $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$

$\Rightarrow \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MI}$

Mà I là trung điểm CD nên: $\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{CI}$.

$$\begin{gathered} \Rightarrow 2\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MI} \\ \Rightarrow \overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MI}-2\overrightarrow{CI} \\ \Rightarrow \overrightarrow{AM}=2(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}) \\ \Rightarrow \overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MC} \end{gathered}$$

Vậy A, M, C thẳng hàng.

D. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC có P là trung điểm của AB và hai điểm M, N thỏa mãn các hệ thức $\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{NA}+2\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$. Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng.

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có M, N là trung điểm của các cạnh DC, DA. Phân tích vectơ $\overrightarrow{AB}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{BN}$.

Bài 3: Cho tam giác A, B, C. Có N là điểm sao cho $\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$, G là trọng tâm tam giác ABC. Phân tích $\overrightarrow{AC}$ theo $\overrightarrow{AG}$ và $\overrightarrow{AN}$.

Bài 4: Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ANP trùng với trọng tâm của tam giác CMQ.

Bài 5: Biết  . Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng AC trùng với trung điểm của đoạn thẳng BD.

Bài 6: Cho tam giác ABC, M là điểm tùy ý trong mặt phẳng. Tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn: .

Bài 7: Cho tam giác ABC. Biết . Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện trên.

Bài 8: Cho 4 điểm A, B, I, J. Biết  và  . Chứng minh B, I, J thẳng hàng.

E. Bài tập tự luyện 

Bài 1: Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB và CD. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{IJ}$

Đáp án:

$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{BJ}+\overrightarrow{JD}=2\overrightarrow{IJ}$

Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi điểm M nằm trên BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh: $\overrightarrow{MA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}$

Đáp án:

$$\begin{gathered} -\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MC}\iff 2\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0} \\ \iff 3\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BA} \\ \iff \overrightarrow{MA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CA} \end{gathered}$$

Bài 3: Cho hình thang OABC, M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh rằng $\overrightarrow{BN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$.

Đáp án:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{BN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB} \\ \iff \overrightarrow{BN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{ON}+\frac{1}{2}\overrightarrow{NC}-\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{BN} \end{gathered}$$

$\iff \overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BN}$ (luôn đúng)

Bài 4: Cho AK và BM là trung tuyến của tam giác ABC. Phân tích vectơ $\overrightarrow{CA}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AK}$ và $\overrightarrow{BM}$.

Đáp án: $\overrightarrow{CA}=\frac{-4}{3}\overrightarrow{AK}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BM}$

Bài 5: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là trung điểm của AG. Phân tích vectơ $\overrightarrow{AI}$  theo $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{CB}$.

Đáp án:

$\overrightarrow{AI}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{CB}$

Bài 6: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến. Gọi I là trung điểm của AM và K là một điểm trên cạnh AC sao cho $AK=\frac{1}{3}AC$. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.

Đáp án:

$\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AK}=\frac{1}{3}(2\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})$ ;

$\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AI}=\frac{1}{4}(2\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})$

$\Rightarrow \overrightarrow{BK}=\frac{4}{3}\overrightarrow{BI}\Rightarrow$B, K, I thẳng hàng.

Bài 7: Cho tam giác ABC. Lấy điểm J sao cho $2\overrightarrow{JA}+5\overrightarrow{JB}+3\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}$. Biết M, N là trung điểm của AB, BC. Chứng minh M, N, J thẳng hàng.

Đáp án:

$$\begin{gathered} 2\overrightarrow{JA}+5\overrightarrow{JB}+3\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0} \\ \Rightarrow 4\overrightarrow{JM}+6\overrightarrow{JN}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{JM}=\frac{-3}{2}\overrightarrow{JN} \end{gathered}$$

$\Rightarrow$ M, N, J thẳng hàng.

Bài 8: Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh trọng tâm tam giác MPR trùng với trọng tâm tam giác NQS.

Đáp án:

$\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GP}+\overrightarrow{GR}=\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GQ}+\overrightarrow{GS}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow$ G vừa là trọng tâm tam giác MPR vừa là trọng tâm tam giác NQS.

Bài 9: Cho tam giác ABC, A’ là điểm đối xứng của A qua B, B’ là điểm đối xứng của B qua C, C’ là điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh các tam giác ABC, A’B’C’ có chung trọng tâm.

Đáp án:

Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác A’B’C’.

$$\begin{gathered} \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0} \\ \Rightarrow \overrightarrow{\text{AA'}}\text{ +}\overrightarrow{\text{BB'}}\text{+}\overrightarrow{\text{CC'}}\text{=}\overrightarrow{\text{0}} \\ \Rightarrow \overrightarrow{GG\text{'}}=\overrightarrow{0} \end{gathered}$$

Vậy điểm G và G’ trùng nhau.

Bài 10: Cho tam giác ABC. Biết $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right|$. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện trên.

Đáp án: Tập hợp điểm M là đường trung trực của EF (E, F là trung điểm của AB, AC)

Bài 11: Cho tứ giác ABCD với k là số tùy ý thuộc đoạn [0;1], lấy các điểm M, N sao cho $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DN}=k\overrightarrow{DC}$. Tìm tập hợp trung điểm I của MN khi k thay đổi.

Đáp án: Tập hợp trung điểm I là đoạn thẳng PQ.

Bài 12: Cho $A\left(1;2\right),B\left(-2;6\right)$. Điểm $M$ trên trục $Oy$ sao cho ba điểm $A,B,M$ thẳng hàng thì tọa độ điểm M là:

A. $\left(0;10\right)$.                 B. $\left(0;-10\right)$.              C. $\left(10;0\right)$.               D. $\left(-10;0\right)$.

Đáp án: 

Chọn A.

Ta có: M trên trục $Oy\Rightarrow M\left(0;y\right)$

Ba điểm $A,B,M$ thẳng hàng khi $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với $\overrightarrow{AM}$

Ta có .  $\overrightarrow{AB}=\left(-3;4\right),\overrightarrow{AM}=\left(-1;y-2\right)$ Do đó, $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với $\overrightarrow{AM}\iff \frac{-1}{-3}=\frac{y-2}{4}\Rightarrow y=10$. Vậy $M\left(0;10\right)$.

Bài 13: Cho các vectơ $\overrightarrow{a}=\left(4;-2\right),\overrightarrow{b}=\left(-1;-1\right),\overrightarrow{c}=\left(2;5\right)$. Phân tích vectơ $\overrightarrow{b}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{a}\text{ và }\overrightarrow{c}$, ta được:

A. $\overrightarrow{b}=-\frac{1}{8}\overrightarrow{a}-\frac{1}{4}\overrightarrow{c}$.        B. $\overrightarrow{b}=\frac{1}{8}\overrightarrow{a}-\frac{1}{4}\overrightarrow{c}$.        C. $\overrightarrow{b}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{c}$.      D. $\overrightarrow{b}=-\frac{1}{8}\overrightarrow{a}+\frac{1}{4}\overrightarrow{c}$.

Đáp án: 

Giả sử $\overrightarrow{b}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{c}\iff \left\{\begin{array}{l}-1=4m+2n\\ -1=-2m+5n\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m=-\frac{1}{8}\\ n=-\frac{1}{4}\end{array}\right.$. Vậy $\overrightarrow{b}=-\frac{1}{8}\overrightarrow{a}-\frac{1}{4}\overrightarrow{c}$ .

Bài 14:Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $A\left(m-1;-1\right),B\left(2;2-2m\right),C\left(m+3;3\right)$. Tìm giá trị m để $A,B,C$ là ba điểm thẳng hàng?

A. $m=2$.                  B. $m=0$.                 C. $m=3$.                 D. $m=1$.

Đáp án: 

Chọn B.

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(3-m;3-2m\right)$, $\overrightarrow{AC}=\left(4;4\right)$

Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với $\overrightarrow{AC}$

$\iff \frac{3-m}{4}=\frac{3-2m}{4}\iff m=0$.

Bài 15: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho ba điểm $A(6;3),B(-3;6),C(1;-2)$. Xác định điểm  trên trục hoành sao cho ba điểm $A,B,D$ thẳng hàng.

A. $E\left(5;-10\right)$.             B. $E\left(-\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$           C. $E\left(-\frac{1}{3};-\frac{2}{3}\right)$.        D. $E\left(5;10\right)$.

Đáp án: 

Chọn B.

Vì E thuộc đoạn BC và $BE=2EC$ suy ra $\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{EC}$

Gọi $E\left(x;y\right)$ khi đó $\overrightarrow{BE}\left(x+3;y-6\right),\overrightarrow{EC}\left(1-x;-2-y\right)$

Do đó $\left\{\begin{array}{c}x+3=2\left(1-x\right)\\ y-6=2\left(-2-y\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x=-\frac{1}{3}\\ y=\frac{2}{3}\end{array}\right.$

Vậy  $E\left(-\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$.

Bài 16: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho 4 điểm $A\left(0;1\right),B\left(1;3\right),C\left(2;7\right)$ và $D\left(0;3\right)$. Tìm giao điểm của 2 đường thẳng AC và BD.

A.$\left(\frac{\text{2}}{\text{3}};3\right)$ .                  B. $\left(\frac{\text{2}}{\text{3}};-3\right)$.              C. $\left(3;-\frac{2}{3}\right)$.             D. $\left(3;\frac{2}{3}\right)$.

Xem các Phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác: 

Công thức về Hệ trục tọa độ lớp 10 chi tiết nhất

Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 đến 180 và cách giải bài tập

Tích vô hướng của hai vectơ và cách giải bài tập

Công thức góc giữa hai vectơ chi tiết nhất

Công thức Tích vô hướng của hai vectơ chi tiết nhất