Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Công thức về Hệ trục tọa độ (50 bài tập minh họa) gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 10 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Công thức về Hệ trục tọa độ (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

A. Lí thuyết tóm tắt

- Tọa độ của điểm trên trục: Có: $\overrightarrow{OM}=k\overrightarrow{e}$. Khi đó số k là tọa độ của điểm M trên trục (O;$\overrightarrow{e}$). 

- Tọa độ của điểm trong mặt phẳng Oxy: Có $M(x;y)\iff \overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$.

- Tọa độ của vectơ trên trục: Trên trục (O;$\overrightarrow{e}$) , hai điểm A và B trên trục (O; $\overrightarrow{e}$) có tọa độ lần lượt là a và b thì $\overline{AB}$ = b – a. Trong đó, $\overline{AB}$ là độ dài đại số của vectơ  $\overrightarrow{AB}$ đối với trục (O;$\overrightarrow{e}$).

- Tọa độ của vectơ trong mặt phẳng Oxy: Với $\overrightarrow{u}=(x;y)\iff \overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$. Với $A(x_A;y_A)$ và $B(x_B;y_B)$  ta có: $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)$.

- Tọa độ trung điểm

+) Trên trục (O;$\overrightarrow{i}$), I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì:

$x_I=\frac{x_A+x_B}{2}$

+) Trong mặt phẳng Oxy, I $(x_I;y_I)$là trung điểm của đoạn thẳng AB thì: 

$x_I=\frac{x_A+x_B}{2};y_I=\frac{y_A+y_B}{2}$

- Tọa độ của trọng tâm G $(x_G;y_G)$ của tam giác ABC là:

$x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3};y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}$

- Điều kiện để hai vectơ cùng phương: Hai vectơ $\overrightarrow{u}=(u_1;u_2)$ và $\overrightarrow{v}=(v_1;v_2)$ với $\overrightarrow{v}\ne \overrightarrow{0}$ cùng phương khi và chỉ khi có số k sao cho $u_1=k{v}_1$ và $u_2=k{v}_2$.

- Hai vectơ bằng nhau khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.

- Phép toán về tọa độ của vectơ:

Cho $\overrightarrow{u}=(u_1;u_2)$ và $\overrightarrow{v}=(v_1;v_2)$, khi đó:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(u_1+v_1;u_2+v_2) \\ \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=(u_1-v_1;u_2-v_2) \\ k.\overrightarrow{u}=(k{u}_1;k{u}_2), k\in ℝ \end{gathered}$$

B. Các công thức

- Độ dài đại số của vectơ $\overrightarrow{AB}$ trên trục: $\overline{AB}$ = b – a. ( a, b là tọa độ của A và B trên trục)

- Trong mặt phẳng Oxy:

+) Tọa độ của điểm: $M(x;y)\iff \overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$

+) Tọa độ của vectơ:

$\overrightarrow{u}=(x;y)\iff \overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$

$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)$ trong đó $A(x_A;y_A)$ và  $B(x_B;y_B)$

- Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB

+) Trên trục (O;$\overrightarrow{i}$) : $x_I=\frac{x_A+x_B}{2}$

+) Trong mặt phẳng Oxy: $x_I=\frac{x_A+x_B}{2};y_I=\frac{y_A+y_B}{2}$

- Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC:

$x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3};y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}$

- Điều kiện hai vectơ $\overrightarrow{u}=(u_1;u_2)$ và $\overrightarrow{v}=(v_1;v_2)$ cùng phương: $\frac{u_1}{v_1}=\frac{u_2}{v_2}=k$

- Hai vectơ bằng nhau: Cho $\overrightarrow{u}=(u_1;u_2)$ và $\overrightarrow{v}=(v_1;v_2)$ ta có: $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=v_1\\ u_2=v_2\end{array}\right.$

- Phép toán về tọa độ của vectơ: Cho $\overrightarrow{u}=(u_1;u_2)$ và $\overrightarrow{v}=(v_1;v_2)$

$$\begin{gathered} \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(u_1+v_1;u_2+v_2) \\ \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=(u_1-v_1;u_2-v_2) \\ k.\overrightarrow{u}=(k{u}_1;k{u}_2), k\in ℝ \end{gathered}$$

C. Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho tam giác ABC có A (-1;3), B (2;5), C(1;4). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB, trọng tâm G của tam giác ABC và tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$.

Giải:

Áp dụng công thức tọa độ trung điểm ta có:

Gọi $I=(x_I;y_I)$.

$$\begin{gathered} x_I=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-1+2}{2}=\frac{1}{2} \\ {y}_I=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{3+5}{2}=4 \\ \Rightarrow I=\left(\frac{1}{2};4\right) \end{gathered}$$

Gọi $G=(x_G;y_G)$

Áp dụng công thức tọa độ trọng tâm tam giác ta có:

$$\begin{gathered} x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{-1+2+1}{3}=\frac{2}{3} \\ {y}_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{3+5+4}{3}=4 \\ \Rightarrow G=\left(\frac{2}{3};4\right) \end{gathered}$$

Ta có:  

$\overrightarrow{AB}=(2-(-1);5-3)=(3;2)$

Bài 2: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=(3;4)$ và $\overrightarrow{b}=(6;8)$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương và tính tọa độ các vectơ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ , $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$.

Giải:

Ta có:

$\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\Rightarrow$ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương

$$\begin{gathered} \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(3+6;4+8)=(9;12) \\ \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(3-6;4-8)=(-3;-4) \end{gathered}$$

D. Bài tập vận dụng 

Bài 1: Trên trục tọa độ (O; $\overrightarrow{i}$) cho ba điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là -2; 1 và 4. Xác định tọa độ các vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$Bài 2: Cho ba điểm A (-2; 0), B (0;3) và C (1;2). Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}$.

Bài 3: Cho hai vectơ $\overrightarrow{u}=(2;3)$ và $\overrightarrow{v}=(4;x)$. Tìm x để hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ cùng hướng.

Bài 4: Cho ba điểm A (1;4), B (3;5), C(5;m). Tìm m để $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$.

Bài 5: Cho tam giác ABC có A (2;1), B (-1;-2), C (-3;2). Tìm tọa độ điểm M sao cho C là trung điểm của đoạn MB và tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC.

E. Bài tập tự luyện 

Câu 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho $A\left(x_A;y_A\right)\text{ và\hspace{0.17em} B}\left(x_B;y_B\right)$. Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng  AB là:

A. $I\left(\frac{x_A-x_B}{2};\frac{y_A-y_B}{2}\right)$ .

B. $I\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right)$ .

C. $I\left(\frac{x_A+x_B}{3};\frac{y_A+y_B}{3}\right)$ .

D. $I\left(\frac{x_A+y_A}{2};\frac{x_B+y_B}{2}\right)$ .

Câu 2. Cho hình chữ nhật ABCD có AB=3, BC=4. Độ dài của vec tơ $\overrightarrow{AC}$ là:

A. 9.

B. 5.

C. 6.

D. 7.

Câu 3. Cho các vectơ $\overrightarrow{u}=\left(u_1;u_2\right),\overrightarrow{v}=\left(v_1;v_2\right)$. Điều kiện để vectơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}$ là

A. $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=u_2\\ v_1=v_2\end{array}\right.$ .

B. $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=-v_1\\ u_2=-v_2\end{array}\right.$.

C. $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=v_1\\ u_2=v_2\end{array}\right.$ .

D. $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=v_2\\ u_2=v_1\end{array}\right.$.

Câu 4. Cho hai điểm A(1;0) và B(0;-2). Vec tơ đối của vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là:

A. (-1;2) .

B. (-1;-2).

C. (1;2) .

D. (1;-2) .

Câu 5. Cho $\overrightarrow{a}=\left(3;-4\right),\overrightarrow{b}=\left(-1;2\right)$.Tọa độ của vec tơ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ là:

A. (2;-2)

B. (4;-6)

C. (-3;-8)

D. (-4;6)

Câu 6. Trong mặt phẳng Oxy, cho $A\left(x_A;y_A\right)\text{ và\hspace{0.17em} }B\left(x_B;y_B\right)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là

A. $\overrightarrow{AB}=\left(y_A-x_A;y_B-x_B\right)$

B. $\overrightarrow{AB}=\left(x_A+x_B;y_A+y_B\right)$

C. $\overrightarrow{AB}=\left(x_A-x_B;y_A-y_B\right)$

D. $\overrightarrow{AB}=\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)$

Câu 7. Trong mặt phẳng Oxy, cho $A\left(x_A;y_A\right),B\left(x_B;y_B\right)vàC\left(x_C;y_C\right)$. Tọa độ trọng tâm G  của tam giác ABC là:

A. $G\left(\frac{x_A-x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$ .

B. $G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{2}\right)$ .

C. $G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$ .

D. $G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{2};\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$ .

Câu 8. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(2;-1\right)\text{ và }\overrightarrow{v}=\left(-1;2\right)$ đối nhau.

B. Hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(2;-1\right)\text{ và }\overrightarrow{v}=\left(-2;-1\right)$ đối nhau.

C. Hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(2;-1\right)\text{ và }\overrightarrow{v}=\left(-2;1\right)$ đối nhau.

D. Hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(2;-1\right)\text{ và }\overrightarrow{v}=\left(2;1\right)$ đối nhau.

Câu 9. Cho $\overrightarrow{a}=\left(x;2\right),\overrightarrow{b}=\left(-5;1\right),\overrightarrow{c}=\left(x;7\right)$. Vec tơ $\overrightarrow{c}=2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$ nếu:

A. x=3 .

B. x=-15 .

C. x=15 .

D. x=5 .

Câu 10. Cho $\overrightarrow{a}=(0,1)$,$\overrightarrow{b}=(-1;2)$,$\overrightarrow{c}=(-3;-2)$. Tọa độ của: $\overrightarrow{u}=3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}-4\overrightarrow{c}$

A. (10;-15) .

B. (15;10) 

C. (10;15).

D. (-10;15).

Câu 11. Cho $A\left(0;3\right),B\left(4;2\right)$. Điểm D thỏa $\overrightarrow{OD}+2\overrightarrow{DA}-2\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{0}$, tọa độ D là:

A. (-3;3).

B. (8;-2).

C. (-8;2). 

D. $\left(2;\frac{5}{2}\right)$.

Câu 12. Tam giác ABC có C(-2;-4), trọng tâm G(0;4), trung điểm cạnh BC là M(2;0). Tọa độ A và B là:

A. $A\left(4;12\right),B\left(4;6\right)$

B. $A\left(-4;-12\right),B\left(6;4\right)$

C. $A\left(-4;12\right),B\left(6;4\right)$

D. $A\left(4;-12\right),B\left(-6;4\right)$

Câu 13. Cho $\overrightarrow{a}=3\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j}$ và $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}$. Tìm phát biểu sai:

A. $\overrightarrow{\left|a\right|}=5$.

B. $\overrightarrow{\left|b\right|}=0$ .

C. $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left(2;-3\right)$ .

D. $\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{2}$ .

Câu 14. Trong hệ trục $\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)$, tọa độ của vec tơ $\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$ là:

A. (-1;1) .

B. (1;0) .

C. (0;1) .

D. (1;1) .

Câu 15. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho $A\left(5;2\right),B\left(10;8\right)$. Tọa độ của vec tơ $\overrightarrow{AB}$ là

A. (2;4) .

B. (5;6) .

C. (15;10) .

D. (50;6) .

Câu 16. Cho hai điểm A(1;0) và B(0;-2). Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là:

A. $\left(\frac{1}{2};-1\right)$ .

B. $\left(-1;\frac{1}{2}\right)$ .

C. $\left(\frac{1}{2};-2\right)$ .

D. $\left(1;-1\right)$ .

Câu 17. Cho tam giác ABC có trọng tâm là gốc tọa độ O, hai đỉnh A và B có tọa độ là $A\left(-2;2\right)$; $B\left(3;5\right)$. Tọa độ của đỉnh C là:

A. (1;7).

B. (-1;-7) .

C. (-3;-5) .

D. (2;-2) .

Câu 18. Vectơ $\overrightarrow{a}=\left(-4;0\right)$ được phân tích theo hai vectơ đơn vị như thế nào?

A. $\overrightarrow{a}=-4\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$ .

B. $\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}$ .

C. $\overrightarrow{a}=-4\overrightarrow{j}$ .

D. $\overrightarrow{a}=-4\overrightarrow{i}$ .

Câu 19. Cho $A\left(1;2\right),B\left(-2;6\right)$. Điểm M  trên trục Oy sao cho ba điểm A,B,M thẳng hàng thì tọa độ điểm M là:

A. (0;10) 

B. (0;-10) 

C. (10;0) 

D. (-10;0)

Câu 20. Cho 4 điểm $A\left(1;-2\right),B\left(0;3\right),C\left(-3;4\right),D\left(-1;8\right)$. Ba điểm nào trong 4 điểm đã cho là thẳng hàng?

A. A,B,C .

B. B.C.D .

C. A,B,D .

D. A,C,D .

Câu 21. Trong mặt phẳng Oxy, cho $B\left(5;-4\right),C\left(3;7\right)$. Tọa độ của điểm E đối xứng với C qua B là

A. $E\left(1;18\right)$ .

B. $E\left(7;15\right)$ .

C. $E\left(7;-1\right)$ .

D. $E\left(7;-15\right)$ .

Câu 22. Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm $A\left(1;3\right),B\left(4;0\right)$. Tọa độ điểm M thỏa mãn $3\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$là

A. $M\left(4;0\right)$ .

B. $M\left(5;3\right)$ .

C. $M\left(0;4\right)$ .

D. $M\left(0;-4\right)$ .

Câu 23. Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm $A\left(-3;3\right),B\left(1;4\right),C\left(2;-5\right)$. Tọa độ điểm M thỏa mãn $2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{BC}=4\overrightarrow{CM}$ là:

A. $M\left(\frac{1}{6};\frac{5}{6}\right)$ .

B. $M\left(-\frac{1}{6};-\frac{5}{6}\right)$ .

C. $M\left(\frac{1}{6};-\frac{5}{6}\right)$ .

D. $M\left(\frac{5}{6};-\frac{1}{6}\right)$ .

Câu 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm $A\left(3;-2\right),B\left(7;1\right),C\left(0;1\right),D\left(-8;-5\right)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}$ đối nhau.              

B. $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}$ cùng phương nhưng ngược hướng.

C. $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}$ cùng phương cùng hướng.

D. A, B, C, D thẳng hàng.

Câu 25. Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm $A\left(1;3\right),B\left(4;0\right),C\left(2;-5\right)$. Tọa độ điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$ là 

A. $M\left(1;18\right)$ .

B. $M\left(-1;18\right)$ .

C. $M\left(-18;1\right)$ .

D. $M\left(1;-18\right)$ .

Câu 26. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2;-1). Điểm B là điểm đối xứng của A qua trục hoành. Tọa độ điểm B là:

A. $B(2;1)$ .

B. $B(-2;-1)$ .

C. $B(1;2)$ .

D. $B(1;-2)$ .

Câu 27. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho $\overrightarrow{a}=(2;1),\overrightarrow{b}=(3;4),\overrightarrow{c}=(7;2)$. Cho biết $\overrightarrow{c}=m.\overrightarrow{a}+n.\overrightarrow{b}$. Khi đó

A. $m=-\frac{22}{5};n=\frac{-3}{5}$ .    

B. $m=\frac{1}{5};n=\frac{-3}{5}$ .

C. $m=\frac{22}{5};n=\frac{-3}{5}$ .       

D. $m=\frac{22}{5};n=\frac{3}{5}$ .

Câu 28. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác MNP có $M\left(1;-1\right),N\left(5;-3\right)$ và P thuộc trục Oy ,trọng tâm G của tam giác nằm trên trục Ox .Toạ độ của điểm P là

A. $\left(0;4\right)$.

B. $\left(2;0\right)$.

C. $\left(2;4\right)$ .

D. $\left(0;2\right)$ .

Câu 29. Cho các điểm $A\left(-2;1\right),B\left(4;0\right),C\left(2;3\right)$. Tìm điểm M biết rằng $\overrightarrow{CM}+3\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}$

A. $M\left(2;-5\right)$ .

B. $M\left(5;-2\right)$ .

C. $M\left(-5;2\right)$ .

D. $M\left(2;5\right)$ .

Câu 30. Cho $K\left(1;-3\right)$. Điểm $A\in Ox,B\in Oy$ sao cho A là trung điểm KB. Tọa độ điểm B là:

A. $\left(0;3\right)$.

B. $\left(\frac{1}{3};0\right)$.

C. $\left(0;2\right)$.

D. $\left(4;2\right)$.

Xem các Phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác: 

Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 đến 180 và cách giải bài tập

Tích vô hướng của hai vectơ và cách giải bài tập

Công thức góc giữa hai vectơ chi tiết nhất

Công thức Tích vô hướng của hai vectơ chi tiết nhất

Các tính chất của tích vô hướng chi tiết nhất