Phương pháp giải Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx (HAY NHẤT 2024)

356

Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx (HAY NHẤT 2024) gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 11 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Phương pháp giải Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx (HAY NHẤT 2024)

1. Lý thuyết

- Phương trình bậc nhất đối với sin và cos có dạng: a.sinx + b.cosx = c (với a; b là các số thực, a; b khác 0).

- Điều kiện có nghiệm: a2+b2c2.

2. Các dạng bài tập

Dạng 1: Giải phương trình bậc nhất đối với sin và cos

- Phương pháp giải:

Chia cả hai vế của phương trình cho a2+b2, ta được:

aa2+b2sinx+ba2+b2cosx=ca2+b2 (*)

* Đặt cosα=aa2+b2;sinα=ba2+b2 với cosα=aa2+b2;sinα=ba2+b2

Khi đó phương trình (*) đưa về dạng

sinxcosα+cosxsinα=ca2+b2

sin(x+α)=ca2+b2. Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

* Hoặc đặt sinα=aa2+b2;cosα=ba2+b2 với α[0;2π)

Khi đó phương trình (*) đưa về dạng

sinxsinα+cosxcosα=ca2+b2

cos(xα)=ca2+b2. Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

* Phương trình có nghiệm khi

0|ca2+b2|1|c|a2+b2c2a2+b2.

Chú ý: Các công thức đặc biệt

Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx và cách giải – Toán lớp 11 (ảnh 1)

- Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) sin4x+3cos4x=2

b) 5sin2x +12cos2x = 13

c) sin2x - 2cosxsinx + 1 = 0

Lời giải

a) sin4x+3cos4x=2

12sin4x+32cos4x=22 (1)

Đặt cosπ3=12;sinπ3=32

Khi đó (1)sin4xcosπ3+cos4xsinπ3=22

sin(4x+π3)=22

[4x+π3=π4+k2π4x+π3=ππ4+k2π

[4x=π12+k2π4x=5π12+k2π[x=π48+kπ2x=5π48+kπ2(k)

Vậy họ nghiệm của phương trình là: x=π48+kπ2;  x=5π48+kπ2;  k.

b) 5sin2x+12cos2x=13

513sin2x+1213cos2x=1 (2)

Đặt cosα=513;  sinα=1213 với α[0;2π)

Khi đó (2)sin2xcosα+cos2xsinα=1

sin(2x+α)=12x+α=π2+k2π  (k)2x=α+π2+k2π  (k)x=α2+π4+kπ  (k)

Vậy họ nghiệm của phương trình là: x=α2+π4+kπ;   k với cosα=513;  sinα=1213.

c) sin2x - 2cosxsinx + 1 = 0

1cos2x2sin2x+1=01cos2x2sin2x+2=0cos2x+2sin2x=3

Ta thấy: 12 + 22 < 32. Vậy phương trình trên vô nghiệm.

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) 3sin3x3cos9x=1+4sin33x

b) cos3xsin5x=3(cos5xsin3x)

Lời giải

a) 3sin3x3cos9x=1+4sin33x

3sin3x4sin33x3cos9x=1sin9x3cos9x=112sin9x32cos9x=12sin9x.cosπ3cos9x.sinπ3=12
sin(9xπ3)=12  [9xπ3=π6+k2π9xπ3=ππ6+k2π[9x=π2+k2π9x=7π6+k2π     

Vậy họ nghiệm của phương trình là: 

Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx và cách giải – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Vậy họ nghiệm của phương trình là: .

Dạng 2: Tìm điều kiện để phương trình a.sinx + b.cosx = c có chứa tham số m có nghiệm

- Phương pháp giải:

Điều kiện có nghiệm: .

- Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình: (m-1)cosx + 2sinx = m+3  có nghiệm.

Lời giải

Để phương trình có nghiệm: 

Vậy  thì phương trình (m-1)cosx + 2sinx = m+3 có nghiệm.

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình: (m-1)sinx + mcosx = m+1  có nghiệm.

Lời giải

Để phương trình có nghiệm: 

Vậy  hoặc  thì phương trình (m-1)sinx + mcosx = m+1 có nghiệm.

3. Bài tập vận dụng

Câu 1. Họ nghiệm của phương trình  là:

A. 

B. 

C. 

D. 

Câu 2. Có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng  của phương trình cos4x – sin4x = 1?

A. 5

B. 3

C. 6

D. 7

Câu 3. Họ nghiệm của phương trình:  là:

A. 

B. 

C. 

D. 

4. Bài tập tự luyện

Câu 1: Giải phương trình : sinx + cosx= √2

A. x= Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

B. x= Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

C. x= Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

D. x= Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

Lời giải:

Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

Chọn A.

Câu 2: Giải phương trình : √3 sinx- √3 cosx=0?

A. x= Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

B. x= Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

C. x= Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

D. x= Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

Lời giải:

Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

Chọn C.

Câu 3: Giải phương trình: √6 sinx- √2 cosx=2

A.Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

B.Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

C.Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

D.Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

Lời giải:

Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

Chọn D.

Câu 4: Một họ nghiệm của phương trình : Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11 là:

A. x=Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

B. x=Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

C. x=Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

D. Tất cả sai.

Lời giải:

Phương trình : Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx và (〖√8)2+ (√10)2 < (2√5)2

⇒ Phương trình đã cho vô nghiệm.

Chọn D.

Câu 5: Giải phương trình:Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

A.Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

B.Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

C.Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

D.Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

Lời giải:

Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

Chọn B.   

Câu 6: Giải phương trình: Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

A. Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

B. Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

C. Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

D.Tất cả sai

Lời giải:

Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

Chọn A

Câu 7: Giải phương trình: Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

A.Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

B.Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

C.Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11  

D.Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

Lời giải:

Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

Chọn C.

Câu 8: Giải phương trình:Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

A.Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

B.Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

C.Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11  

D.Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

Lời giải:

Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

Chọn A

Xem thêm Phương pháp giải các dạng bài tập hay, chi tiết khác:

Công thức tính GTNN - GTLN của hàm số lượng giác chi tiết

Công thức giải phương trình lượng giác cơ bản

Công thức, cách biến đổi biểu thức a sinx + b cosx

Công thức, cách gộp nghiệm phương trình lượng giác

Quy tắc đếm và cách giải các dạng bài tập

Đánh giá

0

0 đánh giá