Công thức giải phương trình lượng giác (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

Ngọc Nguyễn Ngày: 11-08-2023 Lớp 11

273

Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Công thức giải phương trình lượng giác (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 11 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Công thức giải phương trình lượng giác (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

1. Lí thuyết

* Công thức nghiệm cơ bản

a) Phương trình sin x = m

Trường hợp 1: |m| > 1. Phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2: $|m| \leq 1$ . Phương trình có nghiệm.

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng sin của những góc đặc biệt thì:

$\sin x = m \Leftrightarrow \sin x = \sin α$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = α + k 2 π \\ x = π - α + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng sin của những góc đặc biệt thì:

$\sin x = m \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \arcsin m + k 2 π \\ x = π - \arcsin m + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

- Các trường hợp đặc biệt:

$\begin{array}{l} \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k π (k \in ℤ) \\ \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π (k \in ℤ) \\ \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{π}{2} + k 2 π (k \in ℤ) \end{array}$

b) Phương trình cos x = m

Trường hợp 1: |m| > 1. Phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2: $|m| \leq 1$ . Phương trình có nghiệm.

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng cos của những góc đặc biệt thì:

$\cos x = m \Leftrightarrow \cos x = \cos α$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = α + k 2 π \\ x = - α + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng cos của những góc đặc biệt thì:

$\cos x = m$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \arccos m + k 2 π \\ x = - \arccos m + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

- Các trường hợp đặc biệt:

$\begin{array}{l} \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π (k \in ℤ) \\ \cos x = 1 \Leftrightarrow x = k 2 π (k \in ℤ) \\ \cos x = - 1 \Leftrightarrow x = π + k 2 π (k \in ℤ) \end{array}$

c) Phương trình: tan x = m. Điều kiện: $x \neq \frac{π}{2} + k π (k \in ℤ)$

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng tan của những góc đặc biệt thì:

$\tan x = m \Leftrightarrow \tan x = \tan α$ $\Leftrightarrow x = α + k π (k \in ℤ)$

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng tan của những góc đặc biệt thì:

$\tan x = m \Leftrightarrow x = \arctan m + k π (k \in ℤ)$

d) Phương trình: cot x = m. Điều kiện: $x \neq k π (k \in ℤ)$

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng cot của những góc đặc biệt thì:

$\cot x = m \Leftrightarrow \cot x = \cot α$ $\Leftrightarrow x = α + k π (k \in ℤ)$

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng cot của những góc đặc biệt thì:

$\cot x = m \Leftrightarrow x = arccot m + k π (k \in ℤ)$

* Mở rộng công thức nghiệm, với u(x) và v(x) là hai biểu thức của x.

Phương pháp giải Công thức giải phương trình lượng giác (50 bài tập minh họa) (ảnh 1)

2. Công thức

Khi đã cho số m, ta có thể tìm các giá trị arcsin m, arccos m, arctan m, arccot m bằng máy tính bỏ túi với các phím sin^-1; cos^-1; tan^-1.

Bước 1. Chỉnh chế độ rad hoặc độ

- Muốn tìm số đo radian:

ta ấn qw4 (đối với Casio fx - 570VN)

ta ấn qw22 (đối với Casio fx - 580VN X)

- Muốn tìm số đo độ:

ta ấn qw3 (đối với Casio fx - 570VN)

ta ấn qw21 (đối với Casio fx - 580VN X)

Bước 2. Tìm số đo góc

Tìm góc $α$ khi biết sin của góc đó bằng m, ta ấn lần lượt qj m =.

Tương tự đối với cos và tan.

Chú ý: Muốn tìm góc $α$ khi biết cot của góc đó bằng m, ta ấn lần lượt ql1a m $)=.

Sau đó áp dụng công thức lượng giác để giải phương trình.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình sau:

a) $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

b) $\cos (x - \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$

c) $\cot 2 x = \sqrt{3}$

Lời giải

a) $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{π}{4}$ (Bấm máy SHIFT + SIN + $\frac{\sqrt{2}}{2}$ )

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{4} + k 2 π \\ x = \frac{3 π}{4} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x = \frac{π}{4} + k 2 π; x = \frac{3 π}{4} + k 2 π; k \in ℤ$ .

b) $\cos (x - \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \cos (x - \frac{π}{3}) = \cos \frac{π}{3}$ (Bấm máy SHIFT + COS + $\frac{1}{2}$ )

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - \frac{π}{3} = \frac{π}{3} + k 2 π \\ x - \frac{π}{3} = - \frac{π}{3} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{2 π}{3} + k 2 π \\ x = k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x = \frac{2 π}{3} + k 2 π; x = k 2 π; k \in ℤ$ .

c) $\cot 2 x = \sqrt{3}$

Điều kiện xác định: $\sin 2 x \neq 0 \Leftrightarrow 2 x \neq k π \Leftrightarrow x \neq \frac{k π}{2} (k \in ℤ)$ .

Ta có $\cot 2 x = \cot \frac{π}{6}$ (Bấm máy SHIFT + Tan + $\frac{1}{\sqrt{3}}$ )

$\Leftrightarrow 2 x = \frac{π}{6} + k π$

$\Leftrightarrow x = \frac{π}{12} + \frac{k π}{2} (k \in ℤ)$ (Thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x = \frac{π}{12} + \frac{k π}{2}; k \in ℤ$ .

Ví dụ 2: Giải phương trình sau:

a) $\cos (2 x - \frac{π}{3}) = \cos (x + \frac{π}{6})$

b) $\tan (3 x + \frac{π}{4}) = \tan x$

Lời giải

a) $\cos (2 x - \frac{π}{3}) = \cos (x + \frac{π}{6})$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x - \frac{π}{3} = x + \frac{π}{6} + k 2 π \\ 2 x - \frac{π}{3} = - x - \frac{π}{6} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k 2 π \\ 3 x = \frac{π}{6} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k 2 π \\ x = \frac{π}{18} + \frac{k 2 π}{3} \end{array} (k \in ℤ)$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x = \frac{π}{2} + k 2 π; x = \frac{π}{18} + \frac{k 2 π}{3}; k \in ℤ$ .

b) Điều kiện xác định:

$\{\begin{cases} \cos (3 x + \frac{π}{4}) \neq 0 \\ \cos x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x + \frac{π}{4} \neq \frac{π}{2} + k π \\ x \neq \frac{π}{2} + k π \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq \frac{π}{12} + \frac{k π}{3} \\ x \neq \frac{π}{2} + k π \end{cases} (k \in ℤ)$