Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Công thức giải phương trình lượng giác (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 11 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Công thức giải phương trình lượng giác (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

1. Lí thuyết

* Công thức nghiệm cơ bản

a) Phương trình sin x = m

Trường hợp 1: |m| > 1. Phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2: $\left|m\right|\le 1$. Phương trình có nghiệm.

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng sin của những góc đặc biệt thì:

$\sin x=m\iff \sin x=\sin \alpha$$\iff \left[\begin{array}{l}x=\alpha +k2\pi \\ x=\pi -\alpha +k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\right.$

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng sin của những góc đặc biệt thì:

$\sin x=m\iff \left[\begin{array}{l}x=\arcsin m+k2\pi \\ x=\pi -\arcsin m+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\right.$

- Các trường hợp đặc biệt:

$\begin{array}{l}\sin x=0\iff x=k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\\ \sin x=1\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\\ \sin x=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

b) Phương trình cos x = m

Trường hợp 1: |m| > 1. Phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2: $\left|m\right|\le 1$. Phương trình có nghiệm.

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng cos của những góc đặc biệt thì:

$\cos x=m\iff \cos x=\cos \alpha$$\iff \left[\begin{array}{l}x=\alpha +k2\pi \\ x=-\alpha +k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\right.$

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng cos của những góc đặc biệt thì:

$\cos x=m$$\iff \left[\begin{array}{l}x=\arccos m+k2\pi \\ x=-\arccos m+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\right.$

- Các trường hợp đặc biệt:

$\begin{array}{l}\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\\ \cos x=1\iff x=k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\\ \cos x=-1\iff x=\pi +k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

c) Phương trình: tan x = m. Điều kiện: $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng tan của những góc đặc biệt thì:

$\tan x=m\iff \tan x=\tan \alpha$$\iff x=\alpha +k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng tan của những góc đặc biệt thì:

$\tan x=m\iff x=\arctan m+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

d) Phương trình: cot x = m. Điều kiện: $x\ne k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng cot của những góc đặc biệt thì:

$\cot x=m\iff \cot x=\cot \alpha$$\iff x=\alpha +k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng cot của những góc đặc biệt thì:

$\cot x=m\iff x=\mathrm{arccot}m+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

* Mở rộng công thức nghiệm, với u(x) và v(x) là hai biểu thức của x.

2. Công thức

Khi đã cho số m, ta có thể tìm các giá trị arcsin m, arccos m, arctan m, arccot m bằng máy tính bỏ túi với các phím sin^-1; cos^-1; tan^-1.

Bước 1. Chỉnh chế độ rad hoặc độ

- Muốn tìm số đo radian:

ta ấn qw4 (đối với Casio fx - 570VN)

ta ấn qw22 (đối với Casio fx - 580VN X)

-  Muốn tìm số đo độ:

ta ấn qw3 (đối với Casio fx - 570VN)

ta ấn qw21 (đối với Casio fx - 580VN X)

Bước 2. Tìm số đo góc

Tìm góc $\alpha$ khi biết sin của góc đó bằng m, ta ấn lần lượt qj m =.

Tương tự đối với cos và tan.

Chú ý: Muốn tìm góc $\alpha$ khi biết cot của góc đó bằng m, ta ấn lần lượt ql1a m $)=.

Sau đó áp dụng công thức lượng giác để giải phương trình.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình sau:

a) $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

b) $\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$

c) $\cot 2x=\sqrt{3}$

Lời giải

a) $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\iff \sin x=\sin \frac{\pi }{4}$ (Bấm máy SHIFT + SIN + $\frac{\sqrt{2}}{2}$)

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ;x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

b) $\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$

$\iff \cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\cos \frac{\pi }{3}$ (Bấm máy SHIFT + COS + $\frac{1}{2}$)

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ x-\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \\ x=k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right) \end{gathered}$$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi ;x=k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

c) $\cot 2x=\sqrt{3}$

Điều kiện xác định: $\sin 2x\ne 0\iff 2x\ne k\pi \iff x\ne \frac{k\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Ta có $\cot 2x=\cot \frac{\pi }{6}$ (Bấm máy SHIFT + Tan + $\frac{1}{\sqrt{3}}$)

$\iff 2x=\frac{\pi }{6}+k\pi$

$\iff x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ (Thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2};k\in \mathbb{Z}$.

Ví dụ 2: Giải phương trình sau:

a) $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$

b) $\tan \left(3x+\frac{\pi }{4}\right)=\tan x$

Lời giải

a) $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}2x-\frac{\pi }{3}=x+\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 2x-\frac{\pi }{3}=-x-\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ 3x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ x=\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{3}\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right) \end{gathered}$$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ;x=\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{3};k\in \mathbb{Z}$.

b) Điều kiện xác định:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\cos \left(3x+\frac{\pi }{4}\right)\ne 0\\ \cos x\ne 0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}3x+\frac{\pi }{4}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3}\\ x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right) \end{gathered}$$

Ta có: $\tan \left(3x+\frac{\pi }{4}\right)=\tan x$

$\begin{array}{l}\iff 3x+\frac{\pi }{4}=x+k\pi \\ \iff 2x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \end{array}$

$\iff x=-\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ (Thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=-\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2};k\in \mathbb{Z}$.

4. Bài tập vận dụng

Câu 1. Phương trình lượng giác $2\cos \frac{x}{2}+\sqrt{3}=0$ có nghiệm là

A. $x=\pm \frac{5\pi }{6}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

B. $x=\pm \frac{5\pi }{3}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

C. $x=\pm \frac{5\pi }{3}+k4\pi ;k\in \mathbb{Z}$

D. $x=\pm \frac{5\pi }{6}+k4\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Câu 2. Phương trình $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1$ có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn $\left[\pi ;2\pi \right]$?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 3. Cho phương trình $\cot 3x=\cot (x+\sqrt{3})$. Nghiệm của phương trình là:

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{2}+k\frac{\pi }{2};k\in \mathbb{Z}$

C. $-\frac{\sqrt{3}}{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

D. $-\frac{\sqrt{3}}{2}+k\frac{\pi }{2};k\in \mathbb{Z}$

Đáp án:

1 – C, 2 – A, 3 – B

5. Bài tập tự luyện 

Bài 1: Giải các phương trình sau

a) cos(3x + π) = 0

b) cos (π/2 - x) = sin2x

Lời giải:

Bài 2: Giải các phương trình sau

a) sinx.cosx = 1

b) cos2 x - sin2 x + 1 = 0

Lời giải:

Bài 3: Giải các phương trình sau

a) cos2 x - 3cosx + 2 = 0

b) 1/(cos2 x) - 2 = 0.

Lời giải:

Bài 4: Giải các phương trình sau: (√3-1)sinx = 2sin2x.

Lời giải:

Xem thêm các dạng Toán 11 hay, chọn lọc khác:

Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác và cách giải

Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx và cách giải

Công thức tính GTNN - GTLN của hàm số lượng giác chi tiết

Công thức, cách biến đổi biểu thức a sinx + b cosx

Công thức, cách gộp nghiệm phương trình lượng giác