Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Công thức, cách gộp nghiệm phương trình lượng giác (HAY NHẤT 2024) gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 11 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Công thức, cách gộp nghiệm phương trình lượng giác (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

1. Lý thuyết

Biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác:

Cung lượng giác $\alpha +\frac{k2\pi }{m};k\in \mathbb{Z}$ được biểu diễn bởi m điểm trên đường tròn lượng giác (các điểm cách nhau đúng góc $\frac{2\pi }{m}$)

Bước 1: Xác định điểm M biểu diễn cung.

Bước 2: Xác định m – 1 điểm còn lại cách đều điểm M một góc $\frac{2\pi }{m}$. (Hoặc chia đường tròn thành m phần bằng nhau, bắt đầu chia từ điểm M, ta được m – 1 điểm còn lại).

2. Công thức

Sau khi biểu diễn họ nghiệm trên đường tròn lượng giác

* Ta hợp các nghiệm bằng cách:

- Tìm ra các điểm cách đều nhau. Tìm khoảng cách giữa chúng là $\beta$.

- Công thức biểu diễn các điểm đó là $x=\alpha +k\beta \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ với $\alpha$ là 1 cung bất kì của 1 điểm trong các điểm đó.

* Loại nghiệm:

- Ta bỏ đi những điểm không xác định và tìm công thức biểu diễn các điểm còn lại như phần hợp nghiệm.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Hợp các họ nghiệm sau:

a) $\left[\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

b) $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k\pi \\ x=\frac{2\pi }{3}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

c) $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{k\pi }{3}\\ x\ne \pi +k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Lời giải

a) $\left[\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Bước 1: Biểu diễn $x=k\pi =0+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ trên đường tròn lượng giác.

- Xác định điểm M₁ biểu diễn cung 0.

- Điểm còn lại cách M₁ một góc $\mathrm{\pi }$ (tức nửa đường tròn lượng giác) là điểm M₂ trên hình vẽ.

Bước 2: Biểu diễn $x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ trên đường tròn lượng giác.

- Xác định điểm N₁ biểu diễn cung $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$.

- Điểm còn lại cách N₁ một góc $\mathrm{\pi }$ (tức nửa đường tròn lượng giác) là điểm N₂ trên hình vẽ.

Bước 3: Hợp nghiệm

Ta thấy 4 điểm cách đều nhau một góc $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

Công thức biểu diễn 4 điểm đó là: $x=0+k\frac{\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ hay $x=\frac{k\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

b) $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k\pi \\ x=\frac{2\pi }{3}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Bước 1: Biểu diễn $x=\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ trên đường tròn lượng giác.

- Xác định điểm M₁ biểu diễn cung $\frac{\pi }{6}$.

- Điểm còn lại cách M₁ một góc $\mathrm{\pi }$ (tức nửa đường tròn lượng giác) là điểm M₂ trên hình vẽ.

Bước 2: Biểu diễn $x=\frac{2\pi }{3}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ trên đường tròn lượng giác.

- Xác định điểm N₁ biểu diễn cung $\frac{2\pi }{3}$.

- Điểm còn lại cách N₁ một góc $\mathrm{\pi }$ (tức nửa đường tròn lượng giác) là điểm N₂ trên hình vẽ.

Bước 3: Hợp nghiệm

Ta thấy 4 điểm cách đều nhau một góc $\frac{\pi }{2}$ và chọn điểm bắt đầu là $\frac{\pi }{6}$.

Công thức biểu diễn 4 điểm đó là: $x=\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

c) $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{k\pi }{3}\\ x\ne \pi +k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Bước 1: Biểu diễn $x=\frac{k\pi }{3}=0+\frac{k2\pi }{6}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ trên đường tròn lượng giác. (Có 6 điểm biểu diễn)

- Xác định điểm M₁ biểu diễn cung 0.

- Điểm còn lại cách M₁ một góc $\frac{\pi }{3}$ (hoặc chia đường tròn thành 6 phần, bắt đầu chia từ điểm M₁) là các điểm M₂; M₃; M₄; M₅; M₆ trên hình vẽ.

Bước 2: Biểu diễn điểm $x\ne \pi +k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ trên đường tròn lượng giác.

-  Xác định điểm N biểu diễn cung $\mathrm{\pi }$.

- Các điểm còn lại cách N đúng $2\mathrm{\pi }$ (tức là 1 vòng tròn lượng giác). Tức là chỉ có 1 điểm N biểu diễn $x\ne \pi +k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ trên đường tròn.

Bước 3: Loại nghiệm

Ta thấy điểm M₄ trùng với N. Nên ta chỉ nhận các điểm M₁; M₂; M₃; M₅; M₆.

- Điểm M₂; M₅ cách nhau một góc $\mathrm{\pi }$ và chọn điểm bắt đầu là M₂ có góc lượng giác là $\frac{\pi }{3}$. Công thức biểu diễn hai điểm M₂; M₅ là $x=\frac{\pi }{3}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

- Điểm M₃; M₆ cách nhau một góc $\mathrm{\pi }$ và chọn điểm bắt đầu là M₆ có góc lượng giác là $-\frac{\pi }{3}$. Công thức biểu diễn hai điểm M₃; M₆ là $x=-\frac{\pi }{3}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

- Điểm M₁: công thức biểu diễn là $x=0+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Vậy các họ nghiệm thu được là $x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi ;x=2k\pi ;\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) sin2x – 2sinx = 0

b) tan3x = tanx

Lời giải

a) Ta có: sin2x – 2sinx = 0

$\begin{array}{l}\iff 2\sin x\cos x-2\sin x=0\\ \iff 2\sin x\left(\cos x-1\right)=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}\sin x=0\\ \cos x=1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

Ta kết hợp nghiệm:

Bước 1: Biểu diễn $x=k\pi =0+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ trên đường tròn lượng giác.

- Xác định điểm M₁ biểu diễn cung 0.

- Điểm còn lại cách M₁ một góc $\mathrm{\pi }$ (tức nửa đường tròn lượng giác) là điểm M₂ trên hình vẽ.

Bước 2: Biểu điễn $x=k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ trên đường tròn lượng giác.

-  Xác định điểm N biểu diễn cung 0.

- Các điểm còn lại cách N đúng $2\mathrm{\pi }$ (tức là 1 vòng tròn lượng giác). Tức là chỉ có 1 điểm N biểu diễn $x=k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ trên đường tròn.

Bước 3: Kết hợp nghiệm

Ta thấy hai họ nghiệm lồng nhau. Vậy chỉ cần lấy họ nghiệm $x=k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Kết luận: Họ nghiệm của phương trình là $x=k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

b) tan3x = tanx

Điều kiện xác định:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\cos 3x\ne 0\\ \cos x\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}\\ x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right) \end{gathered}$$

Ta có: tan3x = tanx

$\begin{array}{l}\iff 3x=x+k\pi \\ \iff 2x=k\pi \\ \iff x=\frac{k\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

Kết hợp với điều kiện xác định như sau:

Bước 1: Biểu diễn $x=k\frac{\pi }{2}=\frac{k2\pi }{4}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ trên đường tròn lượng giác. (Có 4 điểm biểu diễn)

- Xác định điểm M₁ biểu diễn cung 0.

- Điểm còn lại cách M₁ một góc $\frac{\pi }{2}$ (hoặc chia đường tròn thành 4 phần, bắt đầu chia từ điểm M₁) là các điểm M₂; M₃; M₄ trên hình vẽ.

Bước 2: Biểu diễn $x\ne \frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ trên đường tròn lượng giác. (Có 6 điểm biểu diễn)

- Xác định điểm N₁ biểu diễn cung $\frac{\mathrm{\pi }}{6}$.

- Điểm còn lại cách N₁ một góc $\frac{\mathrm{\pi }}{3}$ (hoặc chia đường tròn thành 6 phần, bắt đầu chia từ điểm N₁) là các điểm N₂; N₃; N₄; N₅; N₆ trên hình vẽ.

Bước 3: Biểu điễn $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ trên đường tròn lượng giác.

- Xác định điểm P₁ biểu diễn cung $\frac{\pi }{2}$.

- Điểm còn lại cách P₁ một góc $\mathrm{\pi }$ (tức nửa đường tròn lượng giác) là điểm P₂ trên hình vẽ.

Bước 4: Loại nghiệm

Nghiệm của phương trình là các điểm M. Các điểm không thỏa mãn điều kiện xác định là các điểm N, P.

Theo hình vẽ ta chỉ lấy được nghiệm là biểu diễn bởi điểm M₁ và M₃.

Điểm M₁; M₃ cách nhau một góc  và chọn điểm bắt đầu là M₁ có góc lượng giác là 0. Công thức biểu diễn hai điểm M₁; M₃ là $x=k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ hay $x=k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

4. Bài tập vận dụng

Câu 1. Phương trình $\frac{\sin x}{1+\cos x}=0$ có nghiệm là:

A. $k\mathrm{\pi }$

B. $k2\mathrm{\pi }$

C. $(2k+1)\frac{\pi }{2}$

D. $(2k+1)\mathrm{\pi }$

Câu 2. Cho phương trình ${\cos }^{2}x=\frac{1}{2}$. Các nghiệm của phương trình là:

A. $-\frac{\pi }{2}+k\pi$

B. $\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$

C. $\pm \frac{\pi }{2}+k2\pi$

D. $\frac{\pi }{2}+k2\pi$

5. Bài tập tự luyện

Bài 1: Giải phương trình: |sinx| = cos2x.

Lời giải:

Với sinx ≥ 0 (*) thì phương trình đã cho tương đương với

Dễ thấy nghiệm (2) không thỏa (*)

Biểu diễn nghiệm (1) lên đường tròn lượng giác ta được các điểm A1, A2 , A3. Trong đó chỉ có hai điểm A1, A2 nằm phía trên Ox.

Hai điểm này ứng với các cung x=π/6+k2 π,x=5π/6+ k2 π.

Với sinx < 0 (**) thì phương trình đã cho tương đương với

Dễ thấy (3) không thỏa (**)

Biểu diễn (4) trên đường tròn lượng giác ta được các điểm B1, B2, B3. Trong đó chỉ có hai điểm B2,B3 nằm dưới Ox (sinx < 0)

Hai điểm đó ứng với cung: x = (-π)/6 + k2 π, x = -5π/6 + k2 π .

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = ±π/6 + k π, (k ∈ Z).

Bài 2: Giải phương trình: cos3x.tan4x = sin5x.

Lời giải:

Điều kiện: cos4x ≠ 0

Phương trình

Bài 3: Giải phương trình:

Lời giải:

Giải pt (2) ta có các nghiệm:

Vì các nghiệm của phương trình phải thỏa điều kiện (1) nên ta tìm cách biểu diễn các nghiệm qua sinx.

Bài 4: Giải phương trình: tanx + cotx = 2.

Lời giải:

Biểu diễn các điểm trên vòng tròn lượng giác:

Xem thêm các dạng Toán 11 hay, chọn lọc khác:

Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác và cách giải

Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx và cách giải

Công thức tính GTNN - GTLN của hàm số lượng giác chi tiết

Công thức giải phương trình lượng giác cơ bản

Công thức, cách biến đổi biểu thức a sinx + b cosx