Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Công thức tính GTNN - GTLN của hàm số lượng giác (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 11 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Công thức tính GTNN - GTLN của hàm số lượng giác (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

1. Lí thuyết

a) Sử dụng tính bị chặn của hàm số lượng giác

$-1\le \sin \left[u\left(x\right)\right]\le 1$; $0\le {\sin }^2\left[u\left(x\right)\right]\le 1$; $0\le \left|\sin \left[u\left(x\right)\right]\right|\le 1$

$-1\le \cos \left[u\left(x\right)\right]\le 1$; $0\le {\cos }^2\left[u\left(x\right)\right]\le 1$; $0\le \left|\cos \left[u\left(x\right)\right]\right|\le 1$

b) Dạng y = asinx + bcosx + c

Bước 1: Đưa hàm số về dạng chỉ chứa sin[u(x)] hoặc cos[u(x)]:

y = asinx + bcosx + c$=\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x\right)+c$

$\iff y=\sqrt{a^2+b^2}.\sin \left(x+\alpha \right)+c$ với $\alpha$ thỏa mãn

$\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}};\sin \alpha =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Bước 2: Đánh giá $-1\le \sin \left(x+\alpha \right)\le 1\forall x\in ℝ$

2. Công thức

a) Dạng y = asin[u(x)] + b hoặc y = acos[u(x)] + bTa có: $-\left|a\right|+b\le y\le \left|a\right|+b$

Hàm số có giá trị nhỏ nhất là –|a| + b và giá trị lớn nhất là |a| + b.

b) Dạng y = asin²[u(x)] + b ; y = a|sin[u(x)]| + b;

Dạng y = acos²[u(x)] + b; y = a|cos[u(x)]| + b (với a khác 0)

+ Trường hợp 1:  a > 0. Ta có: $b\le y\le a+b$.

Hàm số có giá trị nhỏ nhất là b và giá trị lớn nhất là a + b.

+ Trường hợp 2: a < 0. Ta có: $a+b\le y\le b$.

Hàm số có giá trị nhỏ nhất là a + b và giá trị lớn nhất là b.

c) Dạng y = asinx + bcosx + c

Ta có: $-\sqrt{a^2+b^2}+c\le y\le \sqrt{a^2+b^2}+c$

Hàm số có giá trị nhỏ nhất là $-\sqrt{a^2+b^2}+c$ và giá trị lớn nhất là $\sqrt{a^2+b^2}+c$.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau:

a) y = 3sin(2x+1) – 7

b) $y=-2{\cos }^2\left(x+\frac{\pi }{3}\right)+1$

Lời giải

a) y = 3sin(2x+1) – 7

Cách 1: Áp dụng công thức ta có: $-3-7\le y\le 3-7\iff -10\le y\le -4$

Cách 2: Giải chi tiết

Ta có $-1\le \sin \left(2x+1\right)\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff -3\le 3\sin \left(2x+1\right)\le 3\forall x\in ℝ\\ \iff -10\le \sin \left(2x+1\right)-7\le -4\forall x\in ℝ\\ \iff -10\le y\le -4\end{array}$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là -4 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -10.

b) $y=-2{\cos }^2\left(x+\frac{\pi }{3}\right)+1$

Cách 1: Áp dụng công thức ta có: $-2+1\le y\le 1\iff -1\le y\le 1$.

Cách 2: Giải chi tiết

Ta có $0\le {\cos }^2\left(x+\frac{\pi }{3}\right)\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff 0\le 2{\cos }^2\left(x+\frac{\pi }{3}\right)\le 2\forall x\in ℝ\\ \iff -2\le -2{\cos }^2\left(x+\frac{\pi }{3}\right)\le 0\forall x\in ℝ\\ \iff -1\le -2{\cos }^2\left(x+\frac{\pi }{3}\right)+1\le 1\forall x\in ℝ\\ \iff -1\le y\le 1\end{array}$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 5sin2x – 12cosx + 2

Lời giải

Cách 1: Áp dụng công thức ta có:

$$\begin{gathered} -\sqrt{5^2+{12}^2}+2\le y\le \sqrt{5^2+{12}^2}+2 \\ \iff -11\le y\le 15 \end{gathered}$$

Cách 2: Giải chi tiết

Ta có: y = 5sin2x – 12cosx + 2

$\begin{array}{l}\iff y=13\left(\frac{5}{13}\sin 2x-\frac{12}{13}\cos 2x\right)+2\\ \iff y=13\left(\sin 2x\cos \alpha -\cos 2x\sin \alpha \right)+2\end{array}$

$\iff y=13\sin \left(2x-\alpha \right)+2$ với $\frac{5}{13}=\cos \alpha ;\frac{12}{13}=\sin \alpha$.

Ta có $-1\le \sin \left(2x-\alpha \right)\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff -13\le 13\sin \left(2x-\alpha \right)\le 13\forall x\in ℝ\\ \iff -11\le 13\sin \left(2x-\alpha \right)+2\le 15\forall x\in ℝ\\ \iff -11\le y\le 15\end{array}$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 15 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -11.

4. Bài tập vận dụng

Câu 1. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y=7-2\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$lần lượt là:

A. 4 và 7

B. -2 và 7

C. 5 và 9

D. -2 và 2

Câu 2. Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = 4cos2x – 3sin2x + 6 là:

A. 3 và 10

B. 1 và 11

C. 6 và 10

D. -1 và 13

Câu 3. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = 3 – 2|sinx| lần lượt là

A. 1 và 0

B. 3 và 2

C. 3 và -2

D. 3 và 1

Đáp án:

1 – C, 2 – B, 3 – D

5. Bài tập tự luyện 

Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 2sin5x – 1

A. min y = -3, max y = 3

B. min y = -1, max y = 1

C. min y = -1, max y=3

D. min y = -3, max y = 1

Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=1+3\cos \left(\frac{\pi }{4}-3x\right)$

A. min y = -2, max y = 4

B. min y = 2, max y = 4

C. min y = -2, max y = 3

D. min y = -1, max y = 4

Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\left|\cos \left(-2x^2+\frac{\pi }{3}\right)\right|+1$

A. max y = 1, min y = 0

B. max y = 2, min y = 0

C. max y = 1, min y = -1

D. max y = 2,  min y = 1

Câu 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=2\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)+3$

A. min y = 2, max y = 5

B. min y = 1, max y = 4

C. min y = 1,max y = 5

D. min y = 1, max y = 3

Câu 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{2\sin x+3}$

A. $\max y=\sqrt{5}$, min y = 1

B. $\max y=\sqrt{5}$, $\min y=2\sqrt{5}$

C. $\max y=\sqrt{5}$, min y = 2

D. $\max y=\sqrt{5}$, min y = 3

Câu 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=3+2\sqrt{2+{\sin }^{2}2x}$

A. $\min y=3+2\sqrt{2},\max y=3+2\sqrt{3}$

B. $\min y=2+2\sqrt{2},\max y=3+2\sqrt{3}$

C. $\min y=3-2\sqrt{2},\max y=3+2\sqrt{3}$

D. $\min y=3+2\sqrt{2},\max y=3+3\sqrt{3}$

Câu 7. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 – 2cos²3x

A. min y = 1, max y = 2

B. min y = 1, max y = 3

C. min y = 2, max y = 3

D. min y = -1, max y = 3

Câu 8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin²x – 4sinx + 5

A. max y = 9, min y = 2

B. max y = 10, min y = 2

C. max y = 6, min y = 1

D. max y = 5, min y = 1

Câu 9. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = cos2x + 4cosx – 2

A. max y = 3, min y = -7

B. max y = -1, min y = -5

C. max y = 4, min y = -1

D. max y = 3,  min y = -5

Câu 10. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3sin x + 4cosx + 1

A. max y = 6, min y = -2

B. max y = 4, min y = -4

C. max y = 6, min y = -4

D. max y = 6, min y = -1

Câu 11. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{3}\cos x+\sin x+4$

A. min y = 2, max y = 4

B. min y = 2, max y = 6

C. min y = 4, max y = 6

D. min y = 2, max y = 8

Câu 12. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 4sin 6x + 3cos 6x

A. min y = -5, max y = 5

B. min y = -4, max y = 4

C. min y = -3, max y = 5

D. min y = -6, max y = 6

Câu 13. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2sin²x + 3sin2x – 4cos²x

A. $\min y=-3\sqrt{2}-1,\max y=3\sqrt{2}+1$

B. $\min y=-3\sqrt{2}-1,\max y=3\sqrt{2}-1$

C. $\min y=-3\sqrt{2},\max y=3\sqrt{2}-1$

D. $\min y=-3\sqrt{2}-2,\max y=3\sqrt{2}-1$

Câu 14. Giá trị lớn nhất của hàm số $y=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x+2}$ là

A. 1

B. $\sqrt{2}$

C. $\frac{1}{2}$

D. 2

Câu 15. Gọi M, m lần lượt là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{\cos x+2\sin x+3}{2\cos x-\sin x+4}$. Giá trị của M+m là:

A. $\frac{20}{11}$

B. $\frac{24}{11}$

C. $\frac{4}{11}$

D. $\frac{15}{2}$

Bảng đáp án

Xem thêm các dạng Toán 11 hay, chọn lọc khác:

Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác và cách giải

Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx và cách giải

Công thức giải phương trình lượng giác cơ bản

Công thức, cách biến đổi biểu thức a sinx + b cosx

Công thức, cách gộp nghiệm phương trình lượng giác