Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Công thức, cách biến đổi biểu thức a sinx + b cosx (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 11 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Công thức, cách biến đổi biểu thức a sinx + b cosx (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

1. Lý thuyết

y = asinx + bcosx $=\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x\right)$

(Điều kiện: $a^2+b^2\ne 0$)

Đặt $\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}};\sin \alpha =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Khi đó: $y=\sqrt{a^2+b^2}.\left(\sin x\cos \alpha +\cos x\sin \alpha \right)$

$\iff y=\sqrt{a^2+b^2}.\sin \left(x+\alpha \right)$

Công thức đặc biệt:

2. Công thức

a) Giải phương trình asinx + bcosx = c. Phương trình có nghiệm khi $a^2+b^2\ge c^2$.

Ta có: $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$\Rightarrow \boxed{\sin \left(x+\alpha \right)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}}$ với $\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}};\sin \alpha =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

(Bấm máy tính để tìm góc $\alpha$).

Sau đó, đưa về phương trình lượng giác cơ bản để giải.

b) Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số có dạng y = asinx + bcosx + c

Ta có: $-\sqrt{a^2+b^2}+c\le y\le \sqrt{a^2+b^2}+c$

Hàm số có giá trị nhỏ nhất là $-\sqrt{a^2+b^2}+c$ và giá trị lớn nhất là $\sqrt{a^2+b^2}+c$.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình sau:

a) $\sin 2x+\sqrt{3}\cos 2x=\sqrt{2}$

b) cosx – sinx = 1

Lời giải

a) $\sin 2x+\sqrt{3}\cos 2x=\sqrt{2}$

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}\iff \frac{1}{2}\sin 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \iff \sin 2x\cos \frac{\pi }{3}+\cos 2x\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array} \\ \iff \sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \iff \left[\begin{array}{l}2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ 2x+\frac{\pi }{3}=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}2x=-\frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 12}}+k2\pi \\ 2x=\frac{{\displaystyle 5\pi }}{{\displaystyle 12}}+k2\pi \end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=-\frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 24}}+k\pi \\ x=\frac{{\displaystyle 5\pi }}{{\displaystyle 24}}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right) \end{gathered}$$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=-\frac{\pi }{24}+k\pi ;x=\frac{5\pi }{24}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

b) cosx – sinx = 1

$\iff \sqrt{2}cos\left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1$ (Áp dụng công thức)

$\begin{array}{l}\iff \cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \iff \left[\begin{array}{l}x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}\right.\\ \iff \left[\begin{array}{l}x=k2\pi \\ x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=k2\pi ;x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số sau: $y=\sqrt{3}\sin 5x+\cos 5x+1$

Lời giải

Cách 1: Áp dụng công thức ta có:

$$\begin{gathered} -\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+1^2}+1\le y\le \sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+1^2}+1 \\ \iff -1\le y\le 3 \end{gathered}$$

Cách 2: Giải chi tiết

Ta có: $y=\sqrt{3}\sin 5x+\cos 5x+1$

$\begin{array}{l}\iff y=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 5x+\frac{1}{2}\cos 5x\right)+1\\ \iff y=2\left(\sin 5x\cos \frac{\pi }{6}+\cos 5x\sin \frac{\pi }{6}\right)+1\\ \iff y=2\sin \left(5x+\frac{\pi }{6}\right)+1\end{array}$

Ta có $-1\le \sin \left(5x+\frac{\pi }{6}\right)\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff -2\le 2\sin \left(5x+\frac{\pi }{6}\right)\le 2\forall x\in ℝ\\ \iff -1\le 2\sin \left(5x+\frac{\pi }{6}\right)+1\le 3\forall x\in ℝ\\ \iff -1\le y\le 3\end{array}$

Vậy hàm số có giá trị lớn nhất là 3 và giá trị nhỏ nhất là -1.

4. Bài tập vận dụng

Câu 1. Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

A. 3sinx + cosx = 3

B. $\sqrt{3}\sin x-\cos x=-3$

C. $\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x=2$

D. 3sinx – 4cosx = 5

Câu 2. Phương trình $\sin x+\sqrt{3}\cos x=2$ có tập nghiệm là:

A. $\frac{5\pi }{6}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

B. $\frac{5\pi }{6}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

C. $\frac{\pi }{6}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

D. $-\frac{\pi }{6}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

Câu 3. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y=\sin 3x-\cos 3x+3$ lần lượt là

A. $\sqrt{2}+3$ và $-\sqrt{2}-3$

B. $\sqrt{2}+3$ và $-\sqrt{2}+3$

C. $\sqrt{2}-3$ và $-\sqrt{2}-3$

D. $\sqrt{2}-3$ và $-\sqrt{2}+3$

Đáp án: 1 – B, 2 – C, 3 – B

5. Bài tập tự luyện 

Câu 1: Nghiệm của phương trình sinx+ cosx= 1 là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có: sinx+ cosx= 1

Chọn A.

Câu 2: Nghiệm của phương trình  là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn C.

Câu 3: Nghiệm của phương trình  là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn D

Câu 4: Giải phương trình:

A. x= π/8+k.π

B. x= π/3+k.2.π

C. x= π/4+k.π

D. x= π/2+k.π

Lời giải

Chọn C.

Câu 5: Nghiệm của phương trình  là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn D.

Câu 6: Giải phương trình 2sinx+ 2cosx = 3

A.

B.

C.

D.Đáp án khác

Với sinα=3/(2√2)

Lời giải

Ta có: 2sinx+ 2cosx= 3

Chọn A.

Câu 7: Tìm một họ nghiệm của phương trình: 3sin (x- 10⁰) + 6cos(x-10⁰) = -7

A. x= 

B.Phương trình vô nghiệm

C. x= 

D.Tất cả sai

Lời giải

Phương trình đã cho có dạng a.sinx+ b.cosx = c - là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

Trong đó; a= 3; b= 6 và c= - 7

⇒ 32 + 62 < (-7)2

⇒ Phương trình đã cho vô nghiệm.

Chọn B.

Câu 8: Giải phương trình : - 3cosx+ 4sinx = 5

A. x= 

B. x= 

C. x= 

D. Đáp án khác

Trong đó: 

Lời giải

Ta có; 3cosx+ 4sinx= 5

Chọn C.

Xem thêm các dạng Toán 11 hay, chọn lọc khác:

Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác và cách giải

Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx và cách giải

Công thức tính GTNN - GTLN của hàm số lượng giác chi tiết

Công thức giải phương trình lượng giác cơ bản

Công thức, cách gộp nghiệm phương trình lượng giác