Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx (HAY NHẤT 2024) gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 11 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Phương pháp giải Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx (HAY NHẤT 2024)

1. Lý thuyết

- Phương trình bậc nhất đối với sin và cos có dạng: a.sinx + b.cosx = c (với a; b là các số thực, a; b khác 0).

- Điều kiện có nghiệm: $a^2+b^2\ge c^2$.

2. Các dạng bài tập

Dạng 1: Giải phương trình bậc nhất đối với sin và cos

- Phương pháp giải:

Chia cả hai vế của phương trình cho $\sqrt{a^2+b^2}$, ta được:

$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$ (*)

* Đặt $\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}};\sin \alpha =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ với $\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}};\sin \alpha =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Khi đó phương trình (*) đưa về dạng

$\sin x\cos \alpha +\cos x\sin \alpha =\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$\iff \sin \left(x+\alpha \right)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

* Hoặc đặt $\sin \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}};\cos \alpha =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ với $\alpha \in \left[0;2\pi \right)$

Khi đó phương trình (*) đưa về dạng

$\sin x\sin \alpha +\cos x\cos \alpha =\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$\iff \cos \left(x-\alpha \right)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

* Phương trình có nghiệm khi

$$\begin{gathered} 0\le \left|\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|\le 1\iff \left|c\right|\le \sqrt{a^2+b^2} \\ \iff c^2\le a^2+b^2 \end{gathered}$$.

Chú ý: Các công thức đặc biệt

- Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) $\sin 4x+\sqrt{3}\cos 4x=\sqrt{2}$

b) 5sin2x +12cos2x = 13

c) sin²x - 2cosxsinx + 1 = 0

Lời giải

a) $\sin 4x+\sqrt{3}\cos 4x=\sqrt{2}$

$\iff \frac{1}{2}\sin 4x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 4x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (1)

Đặt $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2};\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Khi đó (1)$\iff \sin 4x\cos \frac{\pi }{3}+\cos 4x\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\iff \sin \left(4x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\iff \left[\begin{array}{l}4x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ 4x+\frac{\pi }{3}=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}4x=-\frac{\pi }{12}+k2\pi \\ 4x=\frac{5\pi }{12}+k2\pi \end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{48}+\frac{k\pi }{2}\\ x=\frac{5\pi }{48}+\frac{k\pi }{2}\end{array}\right.(k\in \mathbb{Z}) \end{gathered}$$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=-\frac{\pi }{48}+\frac{k\pi }{2};x=\frac{5\pi }{48}+\frac{k\pi }{2};k\in \mathbb{Z}$.

b) $5\sin 2x+12\cos 2x=13$

$\iff \frac{5}{13}\sin 2x+\frac{12}{13}\cos 2x=1$ (2)

Đặt $\cos \alpha =\frac{5}{13};\sin \alpha =\frac{12}{13}$ với $\alpha \in \left[0;2\pi \right)$

Khi đó (2)$\iff \sin 2x\cos \alpha +\cos 2x\sin \alpha =1$

$$\begin{gathered} \iff \sin \left(2x+\alpha \right)=1 \\ \begin{array}{l}\iff 2x+\alpha =\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\\ \iff 2x=-\alpha +\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\\ \iff x=-\frac{\alpha }{2}+\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array} \end{gathered}$$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=-\frac{\alpha }{2}+\frac{\pi }{4}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$ với $\cos \alpha =\frac{5}{13};\sin \alpha =\frac{12}{13}$.

c) sin²x - 2cosxsinx + 1 = 0

$\begin{array}{l}\iff \frac{1-\cos 2x}{2}-\sin 2x+1=0\\ \iff 1-\cos 2x-2\sin 2x+2=0\\ \iff \cos 2x+2\sin 2x=3\end{array}$

Ta thấy: 1² + 2² < 3². Vậy phương trình trên vô nghiệm.

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) $3\sin 3x-\sqrt{3}\cos 9x=1+4{\sin }^{3}3x$

b) $\cos 3x-\sin 5x=\sqrt{3}(\cos 5x-\sin 3x)$

Lời giải

a) $3\sin 3x-\sqrt{3}\cos 9x=1+4{\sin }^{3}3x$

$\begin{array}{l}\iff 3\sin 3x-4{\sin }^{3}3x-\sqrt{3}\cos 9x=1\\ \iff \sin 9x-\sqrt{3}\cos 9x=1\\ \iff \frac{1}{2}\sin 9x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 9x=\frac{1}{2}\\ \iff \sin 9x.\cos \frac{\pi }{3}-\cos 9x.\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\end{array}$
$\begin{array}{l}\iff \sin \left(9x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\\ \iff \left[\begin{array}{l}9x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 9x-\frac{\pi }{3}=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.\\ \iff \left[\begin{array}{l}9x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ 9x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{9}\\ x=\frac{7\pi }{54}+\frac{k2\pi }{9}\end{array}\right.,\left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{9}$; $x=\frac{7\pi }{54}+\frac{k2\pi }{9}$$\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=-\frac{\pi }{12}-k\pi ;x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4};k\in \mathbb{Z}$.

Dạng 2: Tìm điều kiện để phương trình a.sinx + b.cosx = c có chứa tham số m có nghiệm

- Phương pháp giải:

Điều kiện có nghiệm: $a^2+b^2\ge c^2$.

- Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình: (m-1)cosx + 2sinx = m+3  có nghiệm.

Lời giải

Để phương trình có nghiệm: ${\left(m-1\right)}^2+2^2\ge {\left(m+3\right)}^2$

$\begin{array}{l}\iff m^2-2m+1+4\ge m^2+6m+9\\ \iff -8m\ge 4\iff m\le -\frac{1}{2}\end{array}$

Vậy $m\le -\frac{1}{2}$ thì phương trình (m-1)cosx + 2sinx = m+3 có nghiệm.

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình: (m-1)sinx + mcosx = m+1  có nghiệm.

Lời giải

Để phương trình có nghiệm: ${\left(m-1\right)}^2+m^2\ge {\left(m+1\right)}^2$

$\begin{array}{l}\iff m^2-2m+1+m^2\ge m^2+2m+1\\ \iff m^2-4m\ge 0\\ \iff m\left(m-4\right)\ge 0\\ \iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}m\ge 0\\ m-4\ge 0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}m\le 0\\ m-4\le 0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}m\ge 0\\ m\ge 4\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}m\le 0\\ m\le 4\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m\ge 4\\ m\le 0\end{array}\right.\end{array}$

Vậy $m\ge 4$ hoặc $m\le 0$ thì phương trình (m-1)sinx + mcosx = m+1 có nghiệm.

3. Bài tập vận dụng

Câu 1. Họ nghiệm của phương trình $\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x+1=0$ là:

A. $\left[\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\frac{\pi }{3}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

B. $\left[\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

C. $\left[\begin{array}{l}x=2k\pi \\ x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

D. $\left[\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\frac{2\pi }{3}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Câu 2. Có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng $\left(0;2\pi \right)$ của phương trình cos4x – sin4x = 1?

A. 5

B. 3

C. 6

D. 7

Câu 3. Họ nghiệm của phương trình: $\sin 3x-\sqrt{3}\cos 3x=2\cos 5x$ là:

A. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{5\pi }{48}+\frac{k\pi }{5}\\ x=-\frac{5\pi }{12}-k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

B. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{5\pi }{48}+\frac{k\pi }{4}\\ x=-\frac{5\pi }{12}-k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

C. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{5\pi }{48}+\frac{k\pi }{4}\\ x=-\frac{5\pi }{12}-k\frac{\pi }{2}\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

D. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{5\pi }{48}+\frac{k\pi }{4}\\ x=-\frac{5\pi }{12}-k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

4. Bài tập tự luyện

Câu 1: Giải phương trình : sinx + cosx= √2

A. x= 

B. x= 

C. x= 

D. x= 

Lời giải:

Chọn A.

Câu 2: Giải phương trình : √3 sinx- √3 cosx=0?

A. x= 

B. x= 

C. x= 

D. x= 

Lời giải:

Chọn C.

Câu 3: Giải phương trình: √6 sinx- √2 cosx=2

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn D.

Câu 4: Một họ nghiệm của phương trình :  là:

A. x=

B. x=

C. x=

D. Tất cả sai.

Lời giải:

Phương trình : là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx và (〖√8)²+ (√10)² < (2√5)²

⇒ Phương trình đã cho vô nghiệm.

Chọn D.

Câu 5: Giải phương trình:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn B.   

Câu 6: Giải phương trình: 

A. 

B. 

C. 

D.Tất cả sai

Lời giải:

Chọn A

Câu 7: Giải phương trình: 

A.

B.

C.  

D.

Lời giải:

Chọn C.

Câu 8: Giải phương trình:

A.

B.

C.  

D.

Lời giải:

Chọn A

Xem thêm Phương pháp giải các dạng bài tập hay, chi tiết khác:

Công thức tính GTNN - GTLN của hàm số lượng giác chi tiết

Công thức giải phương trình lượng giác cơ bản

Công thức, cách biến đổi biểu thức a sinx + b cosx

Công thức, cách gộp nghiệm phương trình lượng giác

Quy tắc đếm và cách giải các dạng bài tập