Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng (50 bài tập minh họa) gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 11 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

1. Lý thuyết

Tổng n số hạng đầu tiên S_n được xác định bởi công thức:

$$\begin{gathered} S_n=u_1+u_2+\mathrm{...}+u_n \\ =\frac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}=\frac{n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]}{2} \end{gathered}$$

Trong đó: u₁ là số hạng đầu tiên của cấp số cộng

                 d là công sai của cấp số cộng

2. Công thức

Tổng n số hạng đầu tiên $S_n=\frac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}$ hoặc $S_n=\frac{n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]}{2}$

Tổng của số hạng thứ k đến số hạng thứ n của dãy (với k < n):

S = u_k +  u_k+1 +  u_k+2 + … +  u_n = S_n – S_k-1

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số cộng (u_n) có u₅ = –15; u₂₀ = 60.

a) Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

b) Tính tổng S = u₂₁ +  u₂₂ +  u₂₃ + … +  u₂₀₀.

Lời giải

Gọi d là công sai của cấp số cộng, ta có:

u₂₀ – u₅ = u₁ + 19d – u₁ – 4d = 15d.

Khi đó: 15d = 60 – (– 15) = 75. Suy ra: d = 5.

Ta có: $u_5=u_1+4d=-15\iff u_1=-15-4d=-35$.

a) Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng:

$$\begin{gathered} S_{20}=\frac{n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]}{2} \\ =\frac{20\left[2.\left(-35\right)+19.5\right]}{2}=250 \end{gathered}$$

b) $S_{200}=\frac{n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]}{2}$

$=\frac{200\left[2.\left(-35\right)+199.5\right]}{2}=92500$

S = u₂₁ +  u₂₂ +  u₂₃ + … +  u₂₀₀ = S₂₀₀ – S₂₀ = 92 500 – 250 = 92 250.

Ví dụ 2:  Cho cấp số cộng (u_n) có dạng u_n = 4n – 1.

a) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

b) Tính tổng S = u₁ +  u₄ +  u₇ + u₁₀ +  u₁₃ + … +  u₃₀₁.

Lời giải

Ta có u₁ = 4.1 – 1 = 3 và d = u_n+1 – u_n = 4(n + 1) – 1 – (4n – 1) = 4

a) Tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng

$$\begin{gathered} S_{100}=\frac{n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]}{2} \\ =\frac{100\left[2.3+99.4\right]}{2}=20100 \end{gathered}$$

b) Dãy số là (v_n): u₁;  u₄;  u₇; u₁₀; …  u₃₀₁ là cấp số cộng với số hạng đầu tiên là u₁ và công sai d’ = u₄ – u₁ = 3d = 12.

Dãy (v_n) có $\frac{301-1}{3}+1=101$ số hạng

$\begin{array}{l}S=u_1+u_4+u_7+u_{10}+u_{13}+\dots {+}^{ }{u}_{301}\\ =\frac{101.\left[2.3+100.12\right]}{2}=60903.\end{array}$

4. Bài tập vận dụng 

Câu 1: Cho (u_n) là cấp số cộng và S_m = S_n với m ≠ n.Tính S_m+n

A. 0     B. S_m − S_n

C. S_n − S_m     D. S_n + S_m

Hướng dẫn giải:

* Ta có: 

Do S_m = S_n với m ≠ n nên ta có:

* Ta có:  (do (*)

Chọn A.

Câu 2: Tính tổng sau: S = 2 + 4 + 6 + ...+ (2n − 2) + 2n

Hướng dẫn giải:

Ta có dãy số 2, 4, 6,.., 2n − 2, 2n là cấp số cộng với công sai d = 2 và u₁ = 2, số hạng tổng quát u_n= 2 + 2(n-1) = 2n. Dãy số này có n số hạng.

Chọn B.

Câu 3: Gọi  Khi đó S₂₀ có giá trị là

A. 34     B. 30,5

C. 325    D. 32,5

Hướng dẫn giải:

Có

Chọn D

Câu 4: Cho dãy số (u_n) có d = –2; S₈ = 72. Tính u₁ ?

A. u₁ = 16    B. u₁ =- 16

C. u₁ = 8    D. u₁ = - 4

Hướng dẫn giải:

* Ta có:

* Lại có: u₈ = u₁ + 7d => u₈ – u₁ = 7d = -14 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 

Chọn A.

Câu 5: Cho dãy số (u_n) là một cấp số cộng có u₁ = -1; d = 2 và S_n= 483. Tính số các số hạng của cấp số cộng?

A. n = 20    B. n= 21

C. n= 22    D. n= 23.

Hướng dẫn giải:

Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là

Chọn D.

Câu 6: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn . Tìm số hạng đầu tiên của cấp số cộng .

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có :

Từ (1) suy ra :  thế vào (2) ta được

Đặt  khi đó phương trình (*) trở thành:

* Với  thì 

Với 

Với 

* Với t = 1 => d² = 1 ⇔ d= ±1

Với 

Với 

Vậy ứng với 4 trường hơp sẽ có 4 giá trị của u₁ thỏa mãn.

Chọn D.

Câu 7: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn: u₄ + u₈ + u₁₁ + u₁₇ = 100. Tính S₁₉

A. 475     B. 500

C. 1000     D. 750

Hướng dẫn giải:

* Theo giả thiết ta có:

* Do đó: 

Chọn A.

Câu 8: Cho (u_n) là cấp số cộng thỏa mãn:  . Tính tổng của số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.

A. 63     B. 67

C. 75     D. 81

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có:

=> Tổng của số hạng đầu và công sai của cấp số cộng là: 86 + (−19) = 67

Chọn B.

Câu 9: Cho một cấp số cộng (u_n) có u₁ = 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850 . Tính 

Hướng dẫn giải:

Gọi d là công sai của cấp số đã cho.

Ta có:

Chọn D.

Câu 10: Cho cấp số cộng (u_n) có u₅ = −10 và u₁₅ = 60. Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

A. S₂₀ = 560    B. S₂₀ = 480

C. S₂₀ = 570    D. S₂₀ = 475

Hướng dẫn giải:

Ta có: 

Theo giả thiết ta có: 

Tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

Chọn C.

Câu 11: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn: . Tính tổng S = u₅ + u₆ + ..+ u₃₀

A. – 1243     B. -1235

C. – 1345     D. - 1450

Hướng dẫn giải:

* Từ giả thiết bài toán, ta có:

* Ta có: u₅; u₆; ...; u₃₀ là cấp số cộng có 26 số hạng; số hạng đầu là u₅ = 2 + 4.(-3) = -10; công sai d = -3

=> Tổng 

Chọn B.

Câu 12: Cho (u_n) là cấp số cộng thỏa mãn: u₂ + u₃ + u₇ + u₁₀ + u₁₂ + u₁₇ = 300. Tính u₉ + u₈

A. 50     B. 150

C.75     D. 100

Hướng dẫn giải:

*Theo giả thiết ta có:

u₂ + u₃ + u₇ + u₁₀ + u₁₂ + u₁₇ = 300

⇔ u₁ + d + u₁ + 2d + u₁ + 6d + u₁ + 9d + u₁ +11d+ u₁ + 16d = 300

⇔ 6u₁ + 45d = 300 ⇔ 2u₁ + 15d = 100

* Do đó; 

Chọn D.

Câu 13: Cho cấp số cộng (u_n) có công sai d = 1 và u₂² − 2u₃² − u₄² đạt giá trị lớn nhất. Tính tổng S₂₀ của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

A.120    B. 125

C.130    D.135

Hướng dẫn giải:

Đặt a = u₁ thì

với mọi a.

Dấu bằng xảy ra khi a + 3 = 0 ⇔ a = −3.

Suy ra u₁ = −3.

Ta có .

Chọn C.

5. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho cấp số cộng: −4; −8; −12; −16...Tìm công sai của cấp số cộng và tổng của 10 số hạng đầu tiên?

A.110    B. -220

C.220    D. -110

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có: −16 − (−12) = −12 − (−8) = −8 − (−4) = −4

Nên công sai d = −4

Áp dụng công thức  nên tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng:

Câu 2: Cho dãy số (u_n) có d = 1; S₅ = 65. Tính u₂?

A. 12     B. 13

C. 14     D.10

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có: 

=>u₁ + u₅ = 26 (1)

Lại có: u₅ = u₁ + 4d = u₁ + 4

=> u₅ − u₁ = 4 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 

Số hạng thứ hai của dãy số là: u₂ = u₁ + d = 11 + 1 = 12

Câu 3: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn . Tính S = u₁ + u₄ + u₇ +..+ u₂₀₁₁ .

A. S = 2023 736    B. S = 2534134

C. S = 673044    D. S = 2198 650

Lời giải:

Đáp án: A

* Gọi d là công sai của cấp số cộng, theo giả thiết ta có:

Ta có công sai d = 3 và số hạng đầu u₁ = 1.

* Ta có các số hạng u₁; u₄; u₇;...; u₂₀₁₁ lập thành một cấp số cộng gồm:  số hạng với công sai d’ = 3d = 9.

nên ta có: 

Câu 4: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn: . Tính tổng 20 số hạng đầu của cấp số cộng là :

A. −565    B. −530

C. −652    D. −285

Lời giải:

Đáp án: B

* Từ giả thiết bài toán, ta có:

Tổng của 20 số hạng đầu: 

Câu 5: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn . Tính tổng S= u₅ + u₇ + ..+ u₂₀₁₁

A. S = 3028760    B. S = 3420198

C. S = 3034088    D. S = 3298701

Lời giải:

Đáp án: C

* Theo giả thiết ta có:

=> Số hạng thứ 5 là: u₅ = u₁ + 4d = 1 + 4.3 = 13

* Ta có u₅; u₇..,u₂₀₁₁ lập thành cấp số cộng với công sai d' = 2d = 6 và có  số hạng nên .

Câu 6: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn: . Tìm số hạng đầu của cấp số cộng .

Lời giải:

Đáp án: A

Theo giả thiết ta có:

Vậy số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: 

Câu 7: Cho (u_n) là cấp số cộng thỏa mãn: . Tìm số hạng thứ 5 của cấp số cộng.

A. 10    B. 5

C. 8    D.0

Lời giải:

Đáp án: D

Theo giả thiết ta có:

=> Số hạng thứ 5 của cấp số cộng là: u₅ = u₁ + 4d = 0

Câu 8: Cho (u_n) là cấp số cộng thỏa mãn: u₂ + u₂₂ = 20. Tính S₂₃?

A. 120     B. 230

C. 150     D. 200

Lời giải:

Đáp án: B

Theo giả thiết thì u₂ + u₂₂ = 20

⇔ u₁ + d + u₁ + 21d = 20

⇔ 2u₁ + 22d = 20

Lại có: 

Câu 9: Cho (u_n) là cấp số cộng thỏa mãn: u₂₁ + u₅₉ = 30. Tính u₂₀ + u₅₉ + u₁₅₈ + 3u₁

A.90     B.120

C.150     D. 180

Lời giải:

Đáp án: A

* Theo giả thiết ta có: u₁ + u₅₉ = 30

⇔ u₁ + 20d+ u1 + 58d = 30

⇔ 2u₁ + 78d = 30

* Do đó; u₂₀ + u₅₉ + u₁₅₈ + 3u₁

= u₁ + 19d + u₁ + 58d + u₁ + 157d + 3u₁

= 6u₁ + 234 = 3. (2u₁ + 78d) = 3 . 30 = 90.

Câu 10: Cho (u_n) là cấp số cộng. Đặt S_n = m; S_n = m với (m ≠ n). Tính S_m+n

A. – m- n     B.n+ m

C .2n+2m     D.n.m

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có S_m = n nên 

Tương tự do S_n = m nên: 2nu₁ + (n² − n)d = 2m

Từ (1) và (2) vế trừ vế ta được :

Do m ≠ n nên:

Mặt khác ta có: 

Thay kết quả (*) vào biểu thức của S_m+n ta được: 

Câu 11: Tính tổng sau: S = 100² − 99² + 98² − 97² + ..+ 2² − 1²

A. 5000    B.5050

C.5100    D. 5150

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có:

S = 100² – 99² + 98² – 97² + ...+ 2² - 1²

⇔ S = (100 - 99) . ( 100+ 99)+ (98- 97). (98+ 97)+ ...+ ( 2-1)(2+ 1)

⇔ S = 199 + 195 + 191+ ...+ 3

Ta có dãy số 199, 195, 191,.., 3 là cấp số cộng với công sai d = -4, số hạng đầu tiên u₁ = 199 và có  số hạng

Vậy tổng 

Câu 12: Cho cấp số cộng có tổng của n số hạng đầu tiên được tính bởi công thức S_n = 4n − n². Gọi M là tổng của số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng đó. Khi đó :

A. M = 7    B. M= 4

C. M=- 1    D. M= 1

Lời giải:

Đáp án: D

Ta có:

Câu 13: Người ta trồng 3003 cây theo hình một tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây; hàng thứ 2 có 2 cây; hàng thứ 3 có 3 cây...hỏi có bao nhiêu hàng?

A.76     B.77

C.78     D.79

Lời giải:

Đáp án: B

Gọi số hàng cây là n.

Gọi số cây lần lượt trên các hàng là 1;2;3..;n.

Đây là một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 1; d = 1.

Ta có:

Vậy số hàng cần tìm là 77.

Xem các Phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác:

Công thức cấp số nhân

Công thức tính công bội của cấp số nhân

Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân

Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân

Giới hạn của dãy số và cách giải bài tập