Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 11 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

 Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

1. Lý thuyết

- Dãy số (u_n) là một cấp số nhân khi $\frac{u_{n+1}}{u_n}=q$ không phụ thuộc vào n và q là công bội.

- Công thức số hạng tổng quát: u_n = u₁ . q^{n - 1} với $\forall n\in \mathbb{N},n\ge 2.$

2. Công thức

- Công thức số hạng tổng quát: u_n = u₁.q^{n - 1} với $\forall n\in \mathbb{N},n\ge 2.$

Do đó để tìm được số hạng tổng quát, ta cần tìm số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = 2 và u₂ = –6.

a) Xác định công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân.

b) Tính số hạng thứ 300 của cấp số nhân.

c) Số 118098 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân.

Lời giải

a) Ta có: $q=\frac{u_2}{u_1}=\frac{-6}{2}=-3$

Số hạng tổng quát của cấp số nhân: u_n = u₁.q^{n – 1} = 2.(–3)^n-1

b) Số hạng thứ 300 của cấp số nhân: u₃₀₀ = 2.( –3)^300-1 = – 2.3²⁹⁹.

c) Gọi số hạng thứ k là số 118098, ta có u_k = u₁.q^k-1 = 118098

$$\begin{gathered} \iff 2.{\left(-3\right)}^{k-1}=118098 \\ \iff {\left(-3\right)}^{k-1}=59049={\left(-3\right)}^{10} \\ \iff k=11 \end{gathered}$$

Vậy số 118098 là số hạng thứ 11 của cấp số nhân.

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (u_n) với $u_2=\frac{1}{4};u_5=16$.

a) Tìm u­₁ và công bội d.

b) Xác định công thức tổng quát của cấp số nhân.

c) Tính số hạng thứ 250 của cấp số nhân.

Lời giải

a) Ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{u}_2=\frac{1}{4}\\ u_5=16\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_{1}q=\frac{1}{4}\\ u_1{q}^4=16\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{q}^3=64=4^3\\ u_{1}q=\frac{1}{4}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}q=4\\ u_1=\frac{1}{16}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy $u_1=\frac{1}{16};q=4$.

b) Số hạng tổng quát: $u_n=u_1{q}^{n-1}=\frac{1}{16}{.4}^{n-1}=4^{n-3}$.

c) Số hạng thứ 250 của cấp số nhân:

u₂₅₀ = 4^250 - 3 = 4²⁴⁷

4. Bài tập vận dụng 

Câu 1: Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = 3 và u₈ = 384. Hỏi 12288 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy?

Hướng dẫn giải:

Ta có: u₈ = u₁ . q₇ nên 

Suy ra: Số hạng tổng quát của cấp số nhân là; u_n = 3. 2^n-1.

Ta có:

Vậy 12288 là số hạng thứ 13 của cấp số nhân.

Chọn A.

Câu 2: Cho cấp số nhân (u_n) với u₄ = 108 và u₂ = 3. Viết số hạng tổng quát của cấp số nhân; biết q > 0 ?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Khi đó; 

=> Số hạng tổng quát của cấp số nhân là:

Chọn C.

Câu 3: Cho cấp số nhân (u_n) với u₄ = 108 và u₂ = 3. Viết số hạng tổng quát của cấp số nhân; biết q > 0 ?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Khi đó; 

=> Số hạng tổng quát của cấp số nhân là:

Chọn C.

Câu 4: Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = 2 và u₇ = 128. Tìm q.

A .q= 2    B. q= - 2

C. q= ±3     D. q= ±2

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Vậy q = 2 hoặc q = −2

Chọn D.

Câu 5: Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = 3; q = 5. Viết 3 số hạng tiếp theo.

A. 15, 95, 275    B.15, 75, 375

C. 75, 375, 1975    D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Chọn B .

Câu 6: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn: . Tìm công sai của cấp số nhân đã cho?

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có:

Chọn C.

Câu 7: Giữa các số 160 và 5 hãy chèn vào 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân. Tính tổng bốn số đó?

Hướng dẫn giải:

Nếu giữa các số 160 và 5 ta chèn vào 4 số nữa để tạo thành cấp số nhân. Khi đó; ta được cấp số nhân có số hạng đầu là u₁ = 160 và số hạng thứ 6 là u₆ = 5.

Suy ra:

=> 4 số hạng ta cần thêm vào là: u₂ = 80; u₃ = 40; u₄ = 20 và u₅ = 10.

Suy ra tổng bốn số cần tìm là: 80 + 40 + 20 + 10= 150.

Chọn C.

Câu 8: Cho cấp số nhân (u_n) có các số hạng khác không, tìm u1 biết 

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Từ ( 1) và (2) lấy vế chia vế ta được:

Thay vào (1) ta tìm được u₁ = 1 hoặc u₁ = 8.

Chọn B.

Câu 9: Cho (u_n) là cấp số nhân thỏa mãn:  . Tìm u₁ và q?

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có:

Lấy (1) chia (2) vế chia vế ta được:

Đặt:  . Điều kiện |t| ≥ 2

Với 

Nếu 

Nếu 

Chọn C.

Câu 10: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn:  . Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân?

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có: 

Từ (1) và u₁ q ≠ 0 suy ra:

Từ (2) suy ra: 

Chọn B.

Câu 11: Cho cấp số nhân (u_n) với  . Số 222 là số hạng thứ mấy của (u_n) ?

Hướng dẫn giải:

Số hạng tổng quát của dãy số đã cho là:

Xét phương trình:

=> Không có giá trị nào của n thỏa mãn.

Vậy 222 không là số hạng của cấp số đã cho.

Chọn D.

Câu 12: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn: . Số hạng đầu tiên có dạng  trong đó a và b nguyên tố. Tính a+ b?

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có:

Từ (1) và (2) vế chia vế (chú ý u₁ ≠ 0 ) ta được:

Thay vào (1) suy ra:

Chọn C.

5. Bài tập tự luyện 

Bài 1: Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác không, tìm u₁ biết: 

Lời giải:

Bài 2: Tìm tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân, biết 

Lời giải:

Bài 3: Một cấp số nhân dương có 4 số hạng, công bội q bằng 1/4 lần số hạng thứ nhất, tổng của hai số hạng đầu bằng 24. Tìm tích các số hạng cấp số nhân đó?

Lời giải:

Gọi 4 số lập thành cấp số cộng là u₁,u₂,u₃,u₄

u₁=8,u₂=16,u₃=32,u₄=64. Khi đó tích cần tìm là: 8.6.32.64 = 98304.

Bài 4: Cho bốn số nguyên biết rằng ba số hạng đầu lập thành một cấp số nhân, ba số hạng sau lập thành một cấp số cộng. Tổng của hai số hạng đầu và cuối bằng 14, còn tổng hai số ở giữa bằng 12. Tổng của bốn số nguyên đó là?

Lời giải:

Gọi 4 số cần tìm là a,b,c,d. Dựa vào giả thiết ta có hệ:

Vậy tổng 4 số nguyên đó là: 2 + 4 + 8 +12 = 26.

Bài 5: Cho cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ 7 gấp 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm số hạng còn lại của CSN đó.

Lời giải:

Từ giả thiết ta có

Vậy u₁=2/9,u₂=2/3,u₃=2,u₄=6,u₅=18,u₆=54,u₇=162.

Xem các Phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác: 

Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân

Giới hạn của dãy số và cách giải bài tập

Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập

Hàm số liên tục và cách giải bài tập

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa hay, chi tiết