SBT Toán 11 trang 7 Tập 1 (Kết nối tri thức)

Ngọc Nguyễn Ngày: 23-09-2023 Lớp 11

247

Với Giải trang 7 SBT Toán lớp 11 trong Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác Sách bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán lớp 11.

SBT Toán 11 trang 7 Tập 1 (Kết nối tri thức)

Bài 1.1 trang 7 SBT Toán 11 Tập 1: Hoàn thành bảng sau:

Số đo độ

20°

150°

500°

Số đo

rađian

\frac{11 π}{2}

\frac{- 5 π}{6}

\frac{7 π}{15}

Lời giải:

Ta có: $20 ° = 20. \frac{π}{180} = \frac{π}{9}$ ; $150 ° = 150. \frac{π}{180} = \frac{5 π}{6}$ ; $500 ° = 500. \frac{π}{180} = \frac{25 π}{9}$ ;

$\frac{11 π}{2} = \frac{11 π}{2} . (\frac{180}{π}) \begin{matrix} ° \end{matrix} = 990 °$ ; $\frac{- 5 π}{6} = \frac{- 5 π}{6} . (\frac{180}{π}) \begin{matrix} ° \end{matrix} = - 150 °$ ; $\frac{7 π}{15} = \frac{7 π}{15} . (\frac{180 °}{π}) = 84 °$ .

Khi đó ta có

Số đo độ

20°

990°

150°

500°

– 150°

84°

Số đo

rađian

\frac{π}{9}

\frac{11 π}{2}

\frac{5 π}{6}

\frac{25 π}{9}

\frac{- 5 π}{6}

\frac{7 π}{15}

Bài 1.2 trang 7 SBT Toán 11 Tập 1: Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm Q biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau:

a) $\frac{π}{6}$ ; b) $\frac{- 5 π}{7}$ ;

c) 270°; d) – 415°.

Lời giải:

a) Điểm Q trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo là $\frac{π}{6}$ được xác định như hình dưới đây.

SBT Toán 11 (Kết nối tri thức) Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác (ảnh 1)

b) Điểm Q trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo là $\frac{- 5 π}{7}$ được xác định như hình dưới đây.

SBT Toán 11 (Kết nối tri thức) Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác (ảnh 2)

c) Điểm Q trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo là 270° được xác định như hình dưới đây.

SBT Toán 11 (Kết nối tri thức) Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác (ảnh 3)

d) Điểm Q trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo là – 415° được xác định như hình dưới đây.

SBT Toán 11 (Kết nối tri thức) Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác (ảnh 4)

Bài 1.3 trang 7 SBT Toán 11 Tập 1: Một đường tròn có bán kính 20 m. Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là:

a) $\frac{2 π}{7}$ ; b) 36°.

Lời giải:

a) Ta có l = Rα = 20 . $\frac{2 π}{7} = \frac{40 π}{7}$ (m).

b) Ta có l = R . $\frac{π a}{180} = 20. \frac{π .36}{180} = 4 π$ (m).

Bài 1.4 trang 7 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cos x = $- \frac{5}{13}$ (90° < x < 180°). Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc x.

Lời giải:

Từ đẳng thức sin² x + cos² x = 1, suy ra

sin² x = 1 – cos² x = $1 - {(- \frac{5}{13})}^{2} = \frac{144}{169}$

Mặt khác 90° < x < 180° nên sinx > 0. Do đó sin x = $\sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$ .

Suy ra tan x = $\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{12}{13} : (- \frac{5}{13}) = - \frac{12}{5}$ , cot x = $\frac{\cos x}{\sin x} = (- \frac{5}{13}) : \frac{12}{13} = - \frac{5}{12}$ .

Bài 1.5 trang 7 SBT Toán 11 Tập 1: Cho sin a + cos a = m. Hãy tính theo m.

a) sin a cos a;

b) sin³ a + cos³ a;

c) sin⁴ a + cos⁴ a.

Lời giải:

a) Ta có: sin a + cos a = m nên (sin a + cos a)² = m²

hay sin² a + cos² a + 2sin a cos a = m² hay 1 + 2sin a cos a = m².

Từ đó suy ra sin a cos a = $\frac{m^{2} - 1}{2}$ .

b) sin³ a + cos³ a = (sin a + cos a)³ – 3sin a cos a(sin a + cos a)

= m³ – 3m $\frac{m^{2} - 1}{2} = \frac{3 m - m^{3}}{2}$ .

c) sin⁴ a + cos⁴ a = (sin² a + cos² a)² – 2sin² a cos² a

= 1 – 2(sin a cos a)² = $1 - 2. {(\frac{m^{2} - 1}{2})}^{2} = 1 - \frac{{(m^{2} - 1)}^{2}}{2}$ .

Bài 1.6 trang 7 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) cos⁴ x – sin⁴ x = 2 cos² x – 1;

b) tan² x – sin² x = tan² x . sin² x;

c) (sin x + cos x)² + (sin x – cos x)² = 2.

Lời giải:

a) Ta có VT = cos⁴ x – sin⁴ x

= (cos² x – sin² x)(cos² x + sin² x)

= cos² x – sin² x

= cos² x – (1 – cos² x) = 2 cos² x – 1 = VP.

b) Ta có

VT = tan² x – sin² x = $\frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x} - \sin^{2} x$ $= \frac{\sin^{2} x - \sin^{2} x \cos^{2} x}{\cos^{2} x}$ $= \frac{\sin^{2} x (1 - \cos^{2} x)}{\cos^{2} x}$