Với Giải Bài tập trang 72 sách bài tập Toán 8 Tập 1 trong Bài 5: Hình chữ nhật – Hình vuông Sách bài tập Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán lớp 8.

Bài tập trang 72 sách bài tập Toán 8 Tập 1

Bài 4 trang 72 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A $\left(\hat{A}<90°\right)$, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Tia phân giác của góc ABD cắt EC và AC lần lượt tại M và P. Tia phân giác của góc ACE cắt DB và AB lần lượt tại Q và N. Chứng minh rằng:

a) $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$;

b) BH = CH;

c) Tam giác BOC vuông cân;

d) MNPQ là hình vuông.

Lời giải:

Chú ý: Câu c bổ sung dữ kiện “O là giao điểm của BP và CN”.

a) Ta có:

∆ABD vuông tại D (do BD là đường cao ∆ABC), suy ra $\widehat{ABD}+\widehat{BAC}=90°$;

∆AEC vuông tại E (do CE là đường cao ∆ABC), suy ra $\widehat{ACE}+\widehat{BAC}=90°$.

Do đó $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$.

b) ∆ABC cân tại A nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.

Mà $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$ (theo câu a).

Suy ra $\widehat{ABC}-\widehat{ABD}=\widehat{ACB}-\widehat{ACE}$ hay $\widehat{B_3}=\widehat{C_3}$.

Do đó ∆HBC cân tại H nên BH = CH.

c) Ta có $\widehat{B_2}=\frac{1}{2}\widehat{ABD}$ (do BP là tia phân giác $\widehat{ABD}$) và $\widehat{C_2}=\frac{1}{2}\widehat{ACE}$ (do CN là tia phân giác $\widehat{ACE}$)

Mà $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$, suy ra $\widehat{B_2}=\widehat{C_2}$.

∆OBC có $\widehat{B_3}=\widehat{C_3}$, $\widehat{B_2}=\widehat{C_2}$ nên $\widehat{B_3}+\widehat{B_2}=\widehat{C_3}+\widehat{C_2}$ hay $\widehat{OBC}=\widehat{OCB}$.

Suy ra ∆OBC cân tại O (1)

Mặt khác, vì $\widehat{C_2}=\widehat{B_1}$ (cùng bằng $\widehat{B_2}$) nên ta có

$\widehat{B_2}+\widehat{B_3}+\widehat{C_2}+\widehat{C_3}=\widehat{B_2}+\widehat{B_3}+\widehat{B_1}+\widehat{C_3}$

$=\widehat{EBC}+\widehat{ECB}=180°-\widehat{BEC}=180°-90°=90°$.

Mà $\widehat{OBC}+\widehat{OCB}=\widehat{B_2}+\widehat{B_3}+\widehat{C_2}+\widehat{C_3}=90°$

Suy ra $\widehat{BOC}=180°-\left(\widehat{OBC}+\widehat{OCB}\right)=180°-90°=90°$.

Do đó tam giác OBC vuông tại O (2)

Từ (1) và (2) suy ra ∆OBC vuông cân tại O.

d) ∆OBC cân tại O nên OB = OC. (3)

Xét ∆BMH và ∆CQH có:

$\widehat{B_2}=\widehat{C_2}$ (theo câu b);

BH = CH (do ∆HBC cân tại H);

$\widehat{BHM}=\widehat{CHQ}$ (hai góc đối đỉnh).

Do đó ∆BMH= ∆CQH (g.c.g).

Suy ra BM = CQ. (4)

Từ (3) và (4) suy ra OB ‒ BM = OC ‒ CQ hay OM = OQ. (5)

Mà ∆BNQ có BO là đường cao cũng đường phân giác nên ∆BNQ cân tại B.

Suy ra BO cũng là đường trung tuyến, nên O là trung điểm của QN hay ON = OQ.(6)

Chứng minh tương tự, ta được OP = OM. (7)

Từ (5), (6), (7) suy ra OM = ON = OQ = OP.

Khi đó ON + OQ = OM + OP hay NQ = MP.

Xét tứ giác MNPQ có: OM = OP và OQ = ON nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Mà NQ = MP nên MNPQ là hình chữ nhật.

Ta lại có MP ⊥ NP tại O nên MNPQ là hình vuông.

Bài 5 trang 72 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông ABCD. Lấy các điểm E, F, G, H theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA, sao cho AE = BF = CG = DH = a, BE = CF = DG = AH = b.

a) Tứ giác EFGH là hình gì?

b) Tính diện tích tư giác EFGH theo a và b.

Lời giải:

a) Xét các tam giác HAE, EBF, FCG, GDH có:

AE = BF = CG = DH = a, BE = CF = DG = AH = b (giả thiết);

$\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}=\hat{D}=90°$ (do ABCD là hình vuông)

Suy ra ∆HAE = ∆EBF = ∆FCG = ∆GDH (c.g.c) nên HE = EF = FG = GH

Do đó EFGH là hình thoi.

Ta lại có $\widehat{E_1}+\widehat{E_2}=\widehat{E_1}+\widehat{H_1}=90°$ nên $\widehat{E_3}=90°$.

Hình thoi EFGH có $\widehat{E_3}=90°$ nên EFGH là hình vuông.

b)Ta có S_ABCD = AB² = (a + b)² (1)

$S_{∆HAE}=\frac{1}{2}AE.AH=\frac{1}{2}ab$

nên$S_{∆HAE}+S_{∆EBF}+S_{∆FCG}+S_{∆GDH}=\frac{1}{2}ab.4=2ab$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra S_EFGH = (a + b)² ‒ 2ab = a² + 2ab + b² – 2ab = a² + b².

Bài 6 trang 72 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Trong hình chữ nhật có chu vi 100 m, hình nào có diện tích lớn nhất? Tính diện tích đó.

Lời giải:

Gọi một kích thước của hình chữ nhật là x (m).

Do chu vi hình chữ nhật là 100 m nên ta có kích thước cạnh còn lại của hình chữ nhật là $\frac{100}{2}-x=50-x$ (m).

Diện tích hình chữ nhật là:

S = x(50 ‒ x) = ‒x² + 50x = ‒(x² – 2.25x + 25² ‒ 25²) = ‒(x ‒ 25)² + 625 ≤ 625.

Giá trị lớn nhất của S bằng 625 tại x = 25.

Khi đó độ dài hai cạnh của hình chữ nhật là 25 m và 50 – 25 = 25 m, nên hình chữ nhật này là hình vuông.

Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật bằng 625 m², khi đó hình chữ nhật là hình vuông có cạnh dài 25 m.

Bài 7 trang 72 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Hình chữ nhật ABCD được chia thành bốn hình chữ nhật nhỏ như Hình 10. Biết diện tích ba hình chữ nhật nhỏ lần lượt là 10 cm² , 15 cm², 6 cm². Tính diện tích x (cm²) của hình chữ nhật nhỏ còn lại.

Lời giải:

Đặt AE = a; EB = b; AG = c; GD = d.

Do diện tích ba hình chữ nhật nhỏ lần lượt là 10 cm² , 15 cm², 6 cm² nên ta có:

ac= 10; bc = 6; ad =15.

Suy ra ac.bc.ad = 10.6.15, nên (ac)²bd = 9000

Hay 10².bd = 9 000, do đó bd = 9.

Vậy x = bd = 9 cm².