Với Giải trang 32 Tập 1 SBT Toán lớp 11 trong Bài tập cuối chương 1 Sách bài tập Toán lớp 11 Cánh Diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán lớp 11.

SBT Toán 11 trang 32 Tập 1 (Cánh Diều)

Bài 65 trang 32 SBT Toán 11 Tập 1: Giá trị của biểu thức A = (2sin x – cos x)² + (2cos x + sin x)² bằng:

A. 5.

B. 3.

C. 4.

D. 2.  

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có A = (2sin x – cos x)² + (2cos x + sin x)²

= 4sin² x – 4sin x cos x + cos² x + 4cos² x + 4cos x sin x + sin² x

= 5sin² x + 5cos² x

= 5(sin² x + cos² x)

= 5 . 1 = 5.

Bài 66 trang 32 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu hai góc a và b có tan a = $\frac{1}{3}$  và tan b = $\frac{1}{2}$  thì giá trị của tan(a – b) bằng:

A. $\frac{1}{7}$ .

B. $-\frac{1}{5}$ .

C. $-\frac{1}{7}$ .

D. 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $\tan \left(a-b\right)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}=\frac{\frac{1}{3}-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{3}.\frac{1}{2}}=\frac{-\frac{1}{6}}{\frac{7}{6}}=-\frac{1}{7}$ .

Bài 67 trang 32 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu $\cos 2\alpha =\frac{\sqrt{3}}{6}$  thì giá trị của biểu thức $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{3}\right)$  bằng:

A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

B. $\frac{-3+\sqrt{3}}{12}$ .

C. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

D. $\frac{3+\sqrt{3}}{12}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{3}\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\cos 2\alpha +\cos \frac{2\pi }{3}\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{2}\right)=\frac{-3+\sqrt{3}}{12}$.

Bài 68 trang 32 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình cos 2x = 0 có các nghiệm là:

A. $x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

B. $x=\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

C. $x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

D. $x=k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có cos 2x = 0 $\iff 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ $\iff x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$  .

Bài 69 trang 32 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình tan x = $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ có các nghiệm là: 

A. $x=\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

B. $x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

C. $x=\frac{\pi }{3}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

D. $x=-\frac{\pi }{3}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Do $\tan \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{\sqrt{3}}$  nên tan x = $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ $\iff \tan x=\tan \left(-\frac{\pi }{6}\right)$

$\iff x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Bài 70 trang 32 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh mỗi đẳng thức sau là đúng:

a) sin 45° . cos 30° + cos(– 45°) . sin(– 30°) = sin 15°;

b) $\tan \frac{9\pi }{20}=\frac{1+\tan \frac{\pi }{5}}{1-\tan \frac{\pi }{5}}$ .

Lời giải:

a) Ta có VT = sin 45° . cos 30° + cos(– 45°) . sin(– 30°)

                   = sin 45° . cos 30° + cos 45° . (– sin 30°)

= sin 45° . cos 30° – cos 45° . sin 30°

= sin(45° – 30°)

= sin 15° = VP  (đpcm).

b) Ta có $\tan \frac{9\pi }{20}=\tan \left(\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{5}\right)=\frac{\tan \frac{\pi }{4}+\tan \frac{\pi }{5}}{1-\tan \frac{\pi }{4}.\tan \frac{\pi }{5}}=\frac{1+\tan \frac{\pi }{5}}{1-\tan \frac{\pi }{5}}$.

Vậy $\tan \frac{9\pi }{20}=\frac{1+\tan \frac{\pi }{5}}{1-\tan \frac{\pi }{5}}$  (đpcm).

Bài 71 trang 32 SBT Toán 11 Tập 1: Cho sin(45°– α) = $\frac{1}{2\sqrt{2}}$ .

a) Chứng minh rằng ${\sin }^2\left(45°-\alpha \right)=\frac{1-\sin 2\alpha }{2}$ .

b) Tính sin 2α.

Lời giải:

a) Sử dụng công thức hạ bậc và quan hệ lượng giác của hai góc phụ nhau, ta có:

${\sin }^2\left(45°-\alpha \right)=\frac{1-\cos \left(90°-2\alpha \right)}{2}=\frac{1-\sin 2\alpha }{2}$.

Vậy ${\sin }^2\left(45°-\alpha \right)=\frac{1-\sin 2\alpha }{2}$ (đpcm).

b) Vì sin(45°– α) = $\frac{1}{2\sqrt{2}}$  nên sin²(45°– α) = ${\left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)}^2=\frac{1}{8}$ .

Theo câu a) ta có ${\sin }^2\left(45°-\alpha \right)=\frac{1-\sin 2\alpha }{2}$ , do đó $\frac{1-\sin 2\alpha }{2}=\frac{1}{8}$ .

Từ đó suy ra $\sin 2\alpha =\frac{3}{4}$ .

Bài 72 trang 32 SBT Toán 11 Tập 1: Giải phương trình:

a) $\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$ ;

b) $\sin \left(\frac{x}{3}+\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;

c) $\cos \left(2x+\frac{\pi }{5}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

d) $2\cos \frac{x}{2}+\sqrt{3}=0$ ;

e) $\sqrt{3}\tan \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)-1=0$ ;

g) cot(3x + π) = – 1.

Lời giải:

a) Do $\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$  nên $\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$ $\iff \sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)$

b) Do $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$  nên $\sin \left(\frac{x}{3}+\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\iff \sin \left(\frac{x}{3}+\frac{\pi }{2}\right)=\sin \frac{\pi }{3}$

c) Do $\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$  nên  $\cos \left(2x+\frac{\pi }{5}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\iff \cos \left(2x+\frac{\pi }{5}\right)=\cos \frac{\pi }{4}$

d) $2\cos \frac{x}{2}+\sqrt{3}=0$

$\iff \cos \frac{x}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

  $\iff \cos \frac{x}{2}=\cos \frac{5\pi }{6}$    (do $\cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ )

e) $\sqrt{3}\tan \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)-1=0$

$\iff \tan \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\iff \tan \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\tan \frac{\pi }{6}$            (do $\tan \frac{\pi }{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ )

$\iff 2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff 2x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff x=-\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

g) Do $\cot \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-1$  nên cot(3x + π) = – 1 $\iff \cot \left(3x+\pi \right)=\cot \left(-\frac{\pi }{4}\right)$

$\iff 3x+\pi =-\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff 3x=-\frac{5\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff x=-\frac{5\pi }{12}+k\frac{\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$