Với Giải trang 43 SBT Toán lớp 11 trong Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm Sách bài tập Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán lớp 11.

 SBT Toán 11 trang 43 Tập 2 (Chân trời sáng tạo)

Bài 1 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\frac{-3x^2}{2}+\frac{2}{x}+\frac{x^3}{3}$;

b) y = (x² − 1)(x² – 4)(x² + 9);

c) $y=\frac{x^2-2x}{x^2+x+1}$;

d) $y=\frac{1-2x}{x+1}$;

e) y = xe^{2x + 1};

g) y = (2x + 3)3^{2x + 1};

h) y = xln²x;

i) $y={\log }_2\left(x^2+1\right)$.

Lời giải:

a) $y^{\text{'}}=\frac{\left(-3\right)\mathrm{.2.}x}{2}+\frac{2.(-1)}{x^2}+\frac{3x^2}{3}=-3x-\frac{2}{x^2}+x^2$.

b) y = (x² − 1)(x² – 4)(x² + 9)

= (x⁴ – 5x² + 4)(x² + 9)

= x⁶ – 5x⁴ + 4x² + 9x⁴ – 45x² + 36

= x⁶ + 4x⁴ – 41x² + 36.

y' = 6x⁵ + 16x³ – 82x

c) $y^{\text{'}}=\frac{{\left(x^2-2x\right)}^{\text{'}}\left(x^2+x+1\right)-\left(x^2-2x\right){\left(x^2+x+1\right)}^{\text{'}}}{{\left(x^2+x+1\right)}^2}$

$=\frac{\left(2x-2\right)\left(x^2+x+1\right)-\left(x^2-2x\right)\left(2x+1\right)}{{\left(x^2+x+1\right)}^2}$

$=\frac{\left(2x^3-2\right)-\left(2x^3-3x^2-2x\right)}{{\left(x^2+x+1\right)}^2}=\frac{3x^2+2x-x}{{\left(x^2+x+1\right)}^2}$.

d) $y^{\text{'}}=\frac{{\left(1-2x\right)}^{\text{'}}\left(x+1\right)-\left(1-2x\right){\left(x+1\right)}^{\text{'}}}{{\left(x+1\right)}^2}$

$=\frac{\left(-2\right)\left(x+1\right)-\left(1-2x\right)}{{\left(x+1\right)}^2}=-\frac{3}{{\left(x+1\right)}^2}.$

e) $y\text{'}=x\text{'}{e}^{2x+1}+x\left(e^{2x+1}\right)\text{'}=e^{2x+1}+x.{\left(2x+1\right)}^{\text{'}}.e^{2x+1}$

$=e^{2x+1}+x\mathrm{.2.}{e}^{2x+1}=\left(2x+1\right)e^{2x+1}$.

g) $y^{\text{'}}=\left(2x+3\right)3^{2x+1}={\left(2x+3\right)}^{\text{'}}{3}^{2x+1}+\left(2x+3\right){\left(3^{2x+1}\right)}^{\text{'}}$

$={2.3}^{2x+1}+\left(2x+3\right){\left(2x+1\right)}^{\text{'}}{3}^{2x+1}.\ln 3$

$={2.3}^{2x+1}+\left(2x+3\right){\mathrm{.2.3}}^{2x+1}.\ln 3$

h) $y^{\text{'}}=x^{\text{'}}l{n}^{2}x+x{\left(l{n}^{2}x\right)}^{\text{'}}={\ln }^{2}x+x.2\ln x.\frac{1}{x}$

$={\ln }^{2}x+2\ln x$.

i) $y\text{'}={\log }_2\left(x^2+1\right)=\frac{{\left(x^2+1\right)}^{\text{'}}}{\left(x^2+1\right)\ln 2}=\frac{{\left(x^2+1\right)}^{\text{'}}}{\left(x^2+1\right)\ln 2}=\frac{2x}{\left(x^2+1\right)\ln 2}$.

Bài 2 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số $f\left(x\right)=3x^3-4\sqrt{x}$. Tính $f\left(4\right);f^{\text{'}}\left(4\right);f\left(a^2\right);f^{\text{'}}\left(a^2\right)$ (a là hằng số khác 0).

Lời giải:

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=3.3x^2-\frac{4}{2\sqrt{x}}=9x^2-\frac{2}{\sqrt{x}}$.

• $f\left(4\right)={3.4}^3-4\sqrt{4}=184$.

• $f^{\text{'}}\left(4\right)={9.4}^2-\frac{2}{\sqrt{4}}=143$.

Vậy 

Bài 3 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = (1 + x²)²⁰;

b) $y=\frac{2+x}{\sqrt{1-x}}$.

Lời giải:

a) $y\text{'}=20{\left(1+x^2\right)}^{19}.{\left(1+x^2\right)}^{\text{'}}=20{\left(1+x^2\right)}^{19}.2x=40x{\left(1+x^2\right)}^{19}$.

b) $y^{\text{'}}=\frac{{\left(2+x\right)}^{\text{'}}\sqrt{1-x}-\left(2+x\right){\left(\sqrt{1-x}\right)}^{\text{'}}}{{\left(\sqrt{1-x}\right)}^2}$

$=\frac{\sqrt{1-x}-\left(2+x\right)\frac{{\left(1-x\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{1-x}}}{{\left(\sqrt{1-x}\right)}^2}$

$=\frac{\sqrt{1-x}-\left(2+x\right)\left(-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\right)}{\left(1-x\right)}$

$=\frac{2\left(1-x\right)+\left(2+x\right)}{2\left(1-x\right)\sqrt{1-x}}=\frac{4-x}{2\left(1-x\right)\sqrt{1-x}}$.

Bài 4 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\frac{x}{\sin x-\cos x}$;

b) $y=\frac{\sin x}{x}$;

c) $y=\sin x-\frac{1}{3}{\sin }^{3}x$;

d) y = cos (2sinx).

Lời giải:

a) $y^{\text{'}}=\frac{x^{\text{'}}\left(\sin x-\cos x\right)-x{\left(\sin x-\cos x\right)}^{\text{'}}}{{\left(\sin x-\cos x\right)}^2}$

$=\frac{\left(\sin x-\cos x\right)-x\left(\cos x+\sin x\right)}{{\left(\sin x-\cos x\right)}^2}$.

b) $y^{\text{'}}=\frac{{\left(\sin x\right)}^{\text{'}}x-\sin x.x^{\text{'}}}{x^2}=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$

c) $y^{\text{'}}=\sin x-\frac{1}{3}{\sin }^{3}x=\cos x-\frac{1}{3}\mathrm{.3.}{\sin }^{2}x.{\left(\sin x\right)}^{\text{'}}$

$=\cos x-{\sin }^{2}x.\cos x=\cos x\left(1-{\sin }^{2}x\right)$

$=\cos x.{\cos }^{2}x={\cos }^{3}x$.

d) $y^{\text{'}}=-\sin \left(2sinx\right).{\left(2\sin x\right)}^{\text{'}}=-\sin \left(2\sin x\right).2\cos x$

$=-2\sin \left(2\sin x\right)\cos x$

Bài 5 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số sau:

a) y = xsin 2x;

b) y = cos²x;

c) y = x⁴ – 3x³ + x² − 1.

Lời giải:

a) $y^{\text{'}}=x^{\text{'}}\sin 2x+x{\left(\sin 2x\right)}^{\text{'}}=\sin 2x+x\cos 2x.2$

$=\sin 2x+2x\cos 2x$.

$y^{\text{'}\text{'}}=\cos 2x+{\left(2x\right)}^{\text{'}}\cos 2x+2x{\left(\cos 2x\right)}^{\text{'}}$

$=2\cos 2x+2\cos 2x+2x\left(-\sin 2x\right).2$

$=4\cos 2x-4x\sin 2x$

b) $y^{\text{'}}=2\cos x.\left(-\sin x\right)=-2\sin x\cos x=-\sin 2x$

$y^{\text{'}\text{'}}=-\cos 2x.2=-2\cos 2x$.

c) $y^{\text{'}}=4x^3–3.3x^2+2x=4x^3–9x^2+2x$.

$y^{\text{'}\text{'}}=4.3x^2-9.2x+2=12x^2-18x+2$.

Bài 6 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình s = 100 + 2t – t² trong đó thời gian được tính bằng giây và s được tính bằng mét.

a) Tại thời điểm nào chất điểm có vận tốc bằng 0?

b) Tìm vận tốc và gia tốc của chất điểm tại thời điểm t = 3s.

Lời giải:

Ta có $s^{\text{'}}\left(t\right)=-2t+2$, suy ra ${s^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(t\right)=-2$.

a) Vận tốc chất điểm bằng 0 khi $s^{\text{'}}\left(t\right)=-2t+2=0$ hay t = 1

Vậy vận tốc chất điểm bằng 0 khi t = 1 s.

b) Khi t = 3s, ta có:

• $s^{\text{'}}\left(3\right)=\left(-2\right).3+2=-4$ (m/s);

• $s^{\text{'}\text{'}}\left(t\right)=-2$ (m/s²).

Vậy khi t = 3 s thì vận tốc của chất điểm là −4 m/s; gia tốc của chất điểm là −2 m/s².