Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu giải Sách bài tập Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm các bài tập từ đó nâng cao kiến thức và biết cách vận dụng phương pháp giải vào các bài tập trong SBT Toán 11 Bài 1.

SBT Toán 11 (Cánh diều) Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

Bài 1 trang 88 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC là tam giác đều và ABB’A’ là hình chữ nhật. Gọi M là trung điểm của BC (Hình 4).

a) Số đo giữa hai đường thẳng AB và B’C’ bằng:

A. 30°;

B. 45°;

C. 60°;

D. 90°.

b) Số đo giữa hai đường thẳng AB và CC’ bằng:

A. 30°;

B. 45°;

C. 60°;

D. 90°.

c) Số đo giữa hai đường thẳng AM và A’C’ bằng:

A. 30°;

B. 45°;

C. 60°;

D. 90°.

Lời giải:

a) Đáp án đúng là: C

Do tam giác ABC đều nên $\widehat{ABC}=60°$.

Ta có: BC // B’C’ nên $\left(AB,B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)=\left(AB,BC\right)=\widehat{ABC}=60°$.

b) Đáp án đúng là: D

Do ABB’A là hình chữ nhật nên $\widehat{AB{B}^{\text{'}}}=90°$.

Ta có: BB’ // CC’ nên $\left(AB,C{C}^{\text{'}}\right)=\left(AB,B{B}^{\text{'}}\right)=\widehat{AB{B}^{\text{'}}}=90°$.

c) Đáp án đúng là: A

Do tam giác ABC đều, AM là đường trung tuyến nên AM cũng là đường phân giác của $\widehat{BAC}$.

Suy ra: $\widehat{MAC}=\frac{1}{2}\widehat{BCA}=30°$.

Ta có: AC // A’C’ nên $\left(AM,A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)=\left(AM,AC\right)=\widehat{MAC}=30°$.

Bài 2 trang 89 SBT Toán 11 Tập 2: Hình 5 gợi nên hình ảnh một số cặp đường thẳng vuông góc với nhau. Hãy chỉ ra ba cặp đường thẳng vuông góc với nhau.

Lời giải:

Ba cặp đường thẳng vuông góc với nhau có thể là: a và b, b và c, c và d.

Bài 3 trang 89 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông.

a) Chứng minh rằng AB ⊥ A’D’ và AC ⊥ B’D’.

b) Tính góc giữa hai đường thẳng AC và A’B’.

Lời giải:

a) ⦁ Do ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên A’D’ // AD (tính chất hình hộp).

Mà AB ⊥ AD (vì ABCD là hình vuông)

Từ đó, suy ra AB ⊥ A’D’.

⦁ Do ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên ta có BB’ // DD’ và BB’ = DD’.

Suy ra B’D’DB là hình bình hành nên ta có B’D’ // BD.

Mà AC ⊥ BD (vì ABCD là hình vuông)

Từ đó, suy ra AC ⊥ B’D’.

b) Xét hình vuông ABCD có: $\widehat{CAB}=\frac{1}{2}\widehat{DAB}=45°$.

Mà AB // A’B’ nên $\left(AC,A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right)=\left(AC,AB\right)=\widehat{CAB}=45°$.

Vậy góc giữa hai đường thẳng AC và A’B’ bằng 45°.

Bài 4 trang 89 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ MNPQ.M’N’P’Q’ có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng M’N ⊥ P’Q.

Lời giải:

Do MNPQ.M’N’P’Q’ là hình lăng trụ có tất cả các cạnh bằng nhau nên PQ = QQ’ = P’Q’ = PP’. Suy ra PQQ’P’ là hình thoi nên có: P’Q ⊥ PQ’. (1)

Tương tự: ta cũng có M’Q’QM và MQPN là hai hình thoi.

Suy ra:

⦁ NP // MQ mà MQ // M’Q’ nên NP // M’Q’.

⦁ NP = MQ mà MQ = M’Q’ nên NP = M’Q’.

Từ đó, ta có: NPQ’M’ là hình bình hành, suy ra M’N // PQ’. (2)

Từ (1), (2) ta có: M’N ⊥ P’Q.

Bài 5 trang 89 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính góc giữa hai đường thẳng AD và BC, biết $MN=a\sqrt{3}$và AD = BC = 2a.

Lời giải:

Gọi O là trung điểm AC.

Do O, M lần lượt là trung điểm AC và AB nên OM là đường trung bình của tam giác ABC.

$\Rightarrow OM=\frac{1}{2}BC=a$ và OM // BC.

Tương tự ta có: ON là đường trung bình của tam giác ACD.

$\Rightarrow ON=\frac{1}{2}AD=a$ và ON // AD.

Khi đó: (AD, BC) = (ON, OM).

Xét tam giác MON, theo hệ quả định lí Cosin ta có:

$\cos \widehat{MON}=\frac{O{M}^2+O{N}^2-M{N}^2}{2OM.ON}=\frac{a^2+a^2-{\left(a\sqrt{3}\right)}^2}{2a.a}=-\frac{1}{2}$.

Nên $\widehat{MON}=120°$.

Suy ra: $\left(AD,BC\right)=\left(ON,OM\right)=180°-\widehat{MON}=180°-120°=60°$.

Vậy góc giữa hai đường thẳng AD và BC là 60°.

Xem thêm các bài SBT Toán 11 Cánh Diều hay, chi tiết khác:

Bài 1 trang 88 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC là tam giác đều và ABB’A’ là hình chữ nhật. Gọi M là trung điểm của BC (Hình 4).

Bài 2 trang 89 SBT Toán 11 Tập 2: Hình 5 gợi nên hình ảnh một số cặp đường thẳng vuông góc với nhau. Hãy chỉ ra ba cặp đường thẳng vuông góc với nhau.

Bài 3 trang 89 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông.

Bài 4 trang 89 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ MNPQ.M’N’P’Q’ có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng M’N ⊥ P’Q.

Bài 5 trang 89 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính góc giữa hai đường thẳng AD và BC, biết và AD = BC = 2a.