Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu lời Giải Toán 8 Bài tập ôn tập cuối năm hay, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng trả lời câu hỏi Sgk Toán 8 từ đó học tốt môn Toán 8.

Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài tập ôn tập cuối năm

Giải Toán 8 trang 135 Tập 2

Bài 1 trang 135 Toán 8 Tập 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a) (2x + y)² + (5x – y)² + 2(2x + y)(5x – y);

b) (2x – y³)(2x + y³) – (2x – y²)(4x² + 2xy² + y²).

Lời giải:

a) (2x + y)² + (5x – y)² + 2(2x + y)(5x – y)

= 4x² + 4xy + y² + 25x² – 10xy + y² + 2(10x² – 2xy + 5xy – y²)

= 4x² + 4xy + y² + 25x² – 10xy + y² + 20x² – 4xy + 10xy – 2y²

= 49x².

b) (2x – y³)(2x + y³) – (2x – y²)(4x² + 2xy² + y²)

= [(2x)² – (y³)²] – [(2x)³ – y³]

= 4x² – y⁶ – 8x³ + y⁶

= – 8x³ + 4x².

Bài 2 trang 135 Toán 8 Tập 2: Cho đa thức P = x² – y² + 6x + 9.

a) Phân tích đa thức P thành nhân tử.

b) Sử dụng kết quả của câu a để tìm thương của phép chia đa thức P cho x + y + 3.

Lời giải:

a) P = x² – y² + 6x + 9

= (x² + 6x + 9) – y²

= (x + 3)² – y²

= (x + 3 – y)(x + 3 + y).

b) P : (x + y + 3) = (x + 3 – y)(x + 3 + y) : (x + 3 + y) = x + 3 – y.

Bài 3 trang 135 Toán 8 Tập 2: Cho đa thức f(x) = x² – 15x + 56.

a) Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử.

b) Tìm x sao cho f(x) = 0.

Lời giải:

a) f(x) = x² – 15x + 56 = x² – 7x – 8x + 56

= (x² – 7x) – (8x – 56)

= x(x – 7) – 8(x – 7)

= (x – 8)(x – 7).

b) f(x) = 0 hay (x – 8)(x – 7) = 0, điều này xảy ra khi x – 8 = 0 hoặc x – 7 = 0.

Từ đó suy ra hai giá trị của x để f(x) = 0 là x = 7 và x = 8.

Bài 4 trang 135 Toán 8 Tập 2: Cho phân thức $P=\frac{2x^3+6x^2}{2x^3-18x}$

a) Viết điều kiện xác định và rút gọn phân thức P.

b) Có thể tính giá trị của P tại x = –3 được không? Vì sao?

c) Tính giá trị của phân thức P tại x = 4.

d) Với giá trị nguyên nào của x thì P nhận giá trị nguyên?

Lời giải:

a) Điều kiện xác định của phân thức là:

2x³ – 18x ≠ 0 hay 2x(x² – 9) ≠ 0 hay 2x(x – 3)(x + 3) ≠ 0 (*).

Ta có

$P=\frac{2x^3+6x^2}{2x^3-18x}=\frac{2x^2(x+3)}{2x\left(x^2-9\right)}$$=\frac{2x^2(x+3)}{2x(x-3)(x+3)}=\frac{x}{x-3}$.

b) Vì x = – 3 không thỏa mãn điều kiện xác định (*) ở câu a nên giá trị của phân thức P tại x = – 3 không xác định. Vậy không thể tính giá trị của P tại x = –3.

c) Thay x = 4 (thỏa mãn điều kiện (*)) vào P ta được: $P=\frac{4}{4-3}=4$.

d) Ta có $P=\frac{x}{x-3}=\frac{x-3+3}{x-3}=1+\frac{3}{x-3}$.

P nguyên khi và chỉ khi $\frac{3}{x-3}$ nguyên, khi đó (x – 3) ∊ Ư(3) = {1; –1; 3; –3}.

Kết hợp điều kiện xáđịnh suy ra x ∊ {2; 4; 6}.

Bài 5 trang 135 Toán 8 Tập 2: Cho biểu thức $P=\left(\frac{x+y}{1-xy}+\frac{x-y}{1+xy}\right):\left(1+\frac{x^2+y^2+2x^2{y}^2}{1-x^2{y}^2}\right)$, trong đó x và y là hai biến thỏa mãn điều kiện x²y² – 1 ≠ 0.

a) Tính mỗi tổng $A=\frac{x+y}{1-xy}+\frac{x-y}{1+xy}$ và $B=1+\frac{x^2+y^2+2x^2{y}^2}{1-x^2{y}^2}$.

b) Từ kết quả câu a, hãy thu gọn P và giải thích tại sao giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của biến y.

c) Chứng minh đẳng thức $P=1-\frac{{\left(1-x\right)}^2}{1+x^2}$.

d) Sử dụng câu c, hãy tìm các giá trị của x và y sao cho P = 1.

Lời giải:

a) $A=\frac{x+y}{1-xy}+\frac{x-y}{1+xy}$$=\frac{\left(x+y\right)\left(1+xy\right)+\left(x-y\right)\left(1-xy\right)}{\left(1-xy\right)\left(1+xy\right)}$

$=\frac{x+x^{2}y+y+x{y}^2+x-x^{2}y-y+x{y}^2}{1-x^2{y}^2}$

$=\frac{2x+2x{y}^2}{1-x^2{y}^2}$

$B=1+\frac{x^2+y^2+2x^2{y}^2}{1-x^2{y}^2}$$=\frac{1-x^2{y}^2+x^2+y^2+2x^2{y}^2}{1-x^2{y}^2}=\frac{1+x^2+y^2+x^2{y}^2}{1-x^2{y}^2}$

$=\frac{\left(1+x^2\right)+y^2\left(1+x^2\right)}{1-x^2{y}^2}=\frac{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}{1-x^2{y}^2}$.

b) P = A : B $=\frac{2x+2x{y}^2}{1-x^2{y}^2}$:$\frac{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}{1-x^2{y}^2}$

$=\frac{2x\left(1+y^2\right)}{1-x^2{y}^2}.\frac{1-x^2{y}^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}$$=\frac{2x}{1+x^2}$ (*)

Trong biểu thức (*) ta thấy không xuất hiện biến y, chứng tỏ giá trị của biểu thức P nếu xác định thì nó không phụ thuộc vào biến y.

c) Ta có $1-\frac{{\left(1-x\right)}^2}{1+x^2}$$=\frac{1+x^2-1+2x-x^2}{1+x^2}=\frac{2x}{1+x^2}$.

So sánh kết quả này với (*) suy ra $P=1-\frac{{\left(1-x\right)}^2}{1+x^2}$

d) Để P = 1 thì $1-\frac{{\left(1-x\right)}^2}{1+x^2}=1$, tức là $\frac{{\left(1-x\right)}^2}{1+x^2}=0$, suy ra (1 – x)² = 0, do đó x = 1.

Vì x²y² – 1 ≠ 0 nên với x = 1 thì y² – 1 ≠ 0 hay y ≠ 1; y ≠ –1.

Vậy để P = 1 thì x = 1 và y ≠ 1; y ≠ –1.

Bài 6 trang 135 Toán 8 Tập 2: Bảng giá cước của một hãng taxi như sau:

a) Tính số tiền taxi phải trả khi di chuyển 35 km.

b) Lập công thức tính số tiền taxi y (đồng) phải trả khi di chuyển x kilômét, với 1 < x ≤ 30. Từ đó tính số tiền taxi phải trả khi di chuyển 30 km.

c) Nếu một người phải trả số tiền taxi là 268 400 đồng, hãy tính quãng đường người đó đã di chuyển bằng taxi.

Lời giải:

a) Số tiền phải trả khi di chuyển 1 km đầu là 10 000 đồng.

Số tiền phải trả khi di chuyển 29 km tiếp theo là 29 . 13 600 = 394 400 (đồng).

Số tiền phải trả khi di chuyển 5 km cuối cùng là 5 . 11 000 = 55 000 (đồng).

Vậy số tiền phải trả cho 35 km di chuyển là:

10 000 + 394 400 + 55 000 = 459 400 (đồng).

b) Vì 1 < x ≤ 30 nên số tiền trả y cho quãng đường x kilômét gồm hai phần: Phần thứ nhất là giá mở cửa 10 000 đồng; phần thứ hai là trả cho quãng đường x – 1 kilômét tiếp theo. Vậy công thức tính cần tìm là

y = 10 000 + (x – 1) . 13 600 hay y = 13 600x – 3 600 (đồng). (*)

Áp dụng, nếu người đó di chuyển 30 km thì số tiền phải trả là:

13 600 . 30 – 3 600 = 404 400 (đồng).

c) Do số tiền đã trả cho taxi là 268 400 đồng, ít hơn 404 400 đồng, nên quãng đường đã di chuyển không quá 30 km. Vậy để tính quãng đường này ta có thể dùng công thức (*).

Ta có:

13 600x – 3 600 = 268 400

x = (268 400 + 3 600) : 13 600

x = 20.

Vậy quãng đường người đó di chuyển bằng taxi là 20 km.

Bài 7 trang 135 Toán 8 Tập 2: Với giá trị nào của m, đường thẳng y = mx + 1 (m ≠ 0):

a) song song với đường thẳng y = 3x.

b) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng – 2?

c) đồng quy với các đường thẳng y = 5x – 2 và y = –x + 4 (tức là ba đường thẳng này cắt nhau tại một điểm)? Với giá trị m tìm được, hãy vẽ ba đường thẳng này trên cùng một hệ trục tọa độ để kiểm nghiệm lại kết quả.

Lời giải:

a) Đường thẳng y = mx + 1 (m ≠ 0) song song với đường thẳng y = 3x khi hai đường thẳng có cùng hệ số góc, tức là ra m = 3.

b) Đường thẳng y = mx + 1 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng –2 tức nó đi qua điểm (–2; 0). Điều đó, xảy ra khi 0 = m . (– 2) + 1, tức là khi m = $\frac{1}{2}$.

c) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng y = –x + 4 và y = 5x – 2 là

5x – 2 = –x + 4

6x = 6

x = 1.

Thay x = 1 vào đường thẳng y = 5x – 2, có y = 5 . 1 – 2 = 3.

Vậy giao điểm của hai đường thẳng y = –x + 4 và y = 5x – 2 là điểm (1; 3).

Ba đường thẳng đã cho đồng quy khi đường thẳng y = mx + 1 đi qua điểm (1; 3).

Thay x = 1, y = 3 vào đường thẳng y = mx + 1 có 3 = m + 1, suy ra m = 2.

Vậy m = 2 thì ba đường thẳng đã cho đồng quy tại điểm (1; 3).

Với m = 2, đồ thị của ba hàm số là ba đường thẳng như hình dưới đây.

Hình học và đo lường

Giải Toán 8 trang 136 Tập 2

Bài 8 trang 136 Toán 8 Tập 2: Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi H là trung điểm của OB, K là trung điểm của OD.

a) Hỏi tứ giác AHCK là hình gì?

b) Hình bình hành ABCD phải thỏa mãn điều kiện gì để tứ giác AHCK là:

– một hình thoi?

– một hình chữ nhật?

– một hình vuông?

Lời giải:

a) Vì O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD nên O là trung điểm của AC và BD.

Ta có H là trung điểm của BO suy ra HB = HO = $\frac{1}{2}OB$;

K là trung điểm của OD nên OK = KD = $\frac{1}{2}OD$.

Mà OB = OD (O là trung điểm của BD) nên OK = OH, suy ra O là trung điểm của HK.

Tứ giác AHCK có O là trung điểm của hai đường chéo AC và HK.

Suy ra tứ giác AHCK là hình bình hành.

b)

+ Muốn tứ giác AHCK là hình thoi ta cần thêm điều kiện hai đường chéo AC và HK vuông góc với nhau, cũng có nghĩa là hai đường chéo của hình bình hành ABCD vuông góc với nhau, vậy để tứ giác AHCK là hình thoi thì tứ giác ABCD là hình thoi.

+ Muốn tứ giác AHCK là hình chữ nhật, ta cần thêm điều kiện hai đường chéo AC và HK bằng nhau, cũng có nghĩa là đường chéo AC của hình bình hành ABCD bằng nửa đường chéo BD (Do H, K lần lượt là trung điểm của OB và OD).

Vậy để tứ giác AHCK là hình chữ nhật điều kiện là: ABCD có đường chéo BD dài gấp hai lần đường chéo AC.

+ Tứ giác AHCK là hình vuông khi nó vừa là hình thoi, vừa là hình chữ nhật. Muốn vậy, thêm kết quả hai câu trên, tứ giác ABCD thỏa mãn điều kiện vừa là hình thoi và vừa có đường chéo BD dài gấp hai lần đường chéo AC.

Bài 9 trang 136 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC. Các đường trung tuyến AF, BE và CD cắt nhau tại G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của BG và CG.

a) Chứng minh rằng tứ giác DEKI là hình bình hành.

b) Biết AF = 6 cm. Tính độ dài các đoạn thẳng DI và EK.

Lời giải:

a) Xét tam giác ABC có:

CD là đường trung tuyến của tam giác ABC nên D là trung điểm của AB

BE là đường trung tuyến của tam giác ABC nên E là trung điểm của AC

Do đó, DE là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra DE // BC và $DE=\frac{1}{2}BC$ (1).

Tương tự, có IK là đường trung bình của tam giác GBC.

Suy ra IK // BC và $IK=\frac{1}{2}BC$ (2).

Từ (1) và (2), suy ra DE // IK và DE = IK.

Vậy DEKI là hình bình hành.

b) Có điểm G là trọng tâm của tam giác ABC.

Suy ra AG = $\frac{2}{3}$AF =$\frac{2}{3}.6$ = 4 cm.

Lại có E và K lần lượt là trung điểm của AC và CG nên EK là đường trung bình của tam giác CAG, do đó EK = $\frac{1}{2}$AG = $\frac{1}{2}.4$ = 2 cm.

Vì DEKI là hình bình hành nên DI = EK = 2 cm.

Bài 10 trang 136 Toán 8 Tập 2: Hình sau mô tả một dụng cụ đo bề dày (nhỏ hơn 1 cm) của số sản phẩm. Dụng cụ này gồm một thước AC = 10 cm, có vạch chia đến 1 mm, gắn với một bản kim loại có cạnh thẳng AB sao cho khoảng cách BC = 1 cm.

Muốn đo bề dày của vật, ta kẹp vật vào giữa bản kim loại và thước (đáy của vật áp vào bề mặt của thước AC). Khi đó trên thước ta đọc đường “bề dày” d của vật (trên hình vẽ ta có d = 5,5 mm). Hãy giải thích tại sao với dụng cụ đó, ta có thể đo được bề dày d của các vật (với d < 10 mm).

Lời giải:

Kẹp vật vào giữa bản kim loại và thước như cách sử dụng, ta gọi B'C' là đoạn ứng với bề dày d cần đo của vật (nghĩa là d = B'C'). Dễ thấy B'C' // BC vì cùng vuông góc với AC. Do đó, ∆AB'C' ∽ ∆ABC, suy ra $\frac{B\text{'}C\text{'}}{BC}=\frac{AC\text{'}}{AC}$.

Vì BC = 1 cm, AC = 10 cm nên $B\text{'}C\text{'}=\frac{AC\text{'}}{10}$.

Vậy bề dày d của vật đúng bằng $\frac{1}{10}$ độ dài (cm) của đoạn AC'. Do đó, chẳng hạn trên thước đo, AC' = 5,5 cm thì có nghĩa là $d=\frac{\mathrm{5,5}}{10}=\mathrm{0,55}$ cm = 5,5 mm.

Bài 11 trang 136 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A. Hai đường phân giác BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm I.

a) Chứng minh ΔBIC ∽ ΔEIF.

b) Chứng minh FB² = FI ∙ FC.

c) Cho biết AB = 6 cm, BC = 3 cm. Tính EF.

Lời giải:

a) Do BE là đường phân giác của góc B nên ta có $\frac{EA}{EC}=\frac{BA}{BC}$ (1).

Tương tự với đường phân giác CF ta có $\frac{FA}{FB}=\frac{CA}{CB}$ (2).

Do tam giác ABC cân tại A nên BA = AC, kết hợp với (1) và (2) suy ra $\frac{EA}{EC}=\frac{FA}{FB}$

Do đó, theo định lí Thalès đảo ta có EF // BC. Suy ra ∆BIC ∽ ∆EIF.

b) Ta có $\widehat{ABE}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$ (do BE là đường phân giác của góc B)

$\widehat{BCF}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$ (do CF là đường phân giác của góc C)

$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (do tam giác ABC cân tại A).

Do đó, $\widehat{ABE}=\widehat{BCF}$.

Hai tam giác BFI và CFB có góc F chung và $\widehat{ABE}=\widehat{BCF}$ (chứng minh trên).

Do đó ∆BFI ∽ ∆CFB (g.g).

Suy ra $\frac{FB}{FC}=\frac{FI}{FB}\Rightarrow F{B}^2=FI\cdot FC$ (đpcm).

c) Theo câu a) ta có $\frac{FA}{FB}=\frac{CA}{CB}$ hay $\frac{FB}{FA}=\frac{BC}{BA}$.

Ta có EF // BC (chứng minh trên), do đó

$\frac{BC}{EF}=\frac{AB}{AF}\Rightarrow \frac{BC}{EF}=\frac{\left(AF+FB\right)}{AF}$$=1+\frac{FB}{FA}=1+\frac{BC}{BA}=1+\frac{3}{6}=\frac{3}{2}$.

Từ đó ta có $\frac{3}{FE}=\frac{3}{2}\Rightarrow FE=2$ cm.

Giải Toán 8 trang 137 Tập 2

Bài 12 trang 137 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông, có các đường cao BE, CF cắt nhau tại điểm H.

a) Giả sử ABC là tam giác nhọn. Chứng minh rằng ΔABE ∽ ΔACF; từ đó suy ra ΔAEF ∽ ΔABC. Kết quả đó còn đúng không, nếu ABC là tam giác tù (chỉ cần xét 2 trường hợp: góc A tù và góc B tù)?

b) Cho biết AB = 10 cm, BC = 15 cm và BE = 8 cm. Tính EF.

Lời giải:

a) Khi tam giác ABC nhọn ta có hình dưới đây.

Hai tam giác ABE vuông ở E và tam giác ACF vuông ở F có góc A chung nên chúng đồng dạng với nhau, suy ra $\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}$ hay $\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AF}$.

Hai tam giác ABC và AEF có góc A chung xen giữa hai cặp cạnh tỉ lệ nên chúng đồng dạng. Vậy ∆AEF ∽ ∆ABC.

Khi ABC là tam giác tù, kết quả đó vẫn đúng.

b) Theo định lí Pythagore, trong tam giác vuông ABE ta có: AB² = AE² + BE².

Suy ra AE² = AB² – BE² = 10² – 8² = 36. Suy ra AE = 6 (cm).

Theo kết quả câu a, ta có: ∆AEF ∽ ∆ABC.

Suy ra $\frac{FE}{CB}=\frac{AE}{AB}\Rightarrow FE=\frac{BC\cdot AE}{AB}=\frac{15\cdot 6}{10}=9$ (cm).

Vậy EF = 9 cm.

Thống kê và xác suất

Bài 13 trang 137 Toán 8 Tập 2: Cho bảng thống kê sau:

Để so sánh số lượng học sinh ở mỗi mức xếp loại của hai ta nên dùng biểu đồ nào? Hãy vẽ biểu đồ đó.

Lời giải:

Để so sánh số lượng học sinh ở mỗi mức xếp loại của hai ta nên dùng biểu đồ cột kép. Ta vẽ biểu đồ như hình sau:

Bài 14 trang 137 Toán 8 Tập 2: Báo điện tử VnExpress đã khảo sát ý kiến của bạn đọc về phương án xử lý cầu Long Biên với câu hỏi “Bạn ủng hộ phương án xử lý nào với cầu Long Biên”. Người trả lời chỉ được chọn một trong ba phương án: “Bảo tồn”, “Vừa bảo tồn vừa sử dụng”, “Di dời, xây cầu mới”.

a) Dữ liệu thu được thuộc loại nào?

b) Tỉ lệ lựa chọn các phương án được chọn trong biểu đồ sau:

Biết tổng số lượt bạn đọc tham gia trả lời câu hỏi là 1 819. Tính số lượt bạn đọc lựa chọn mỗi phương án.

Lời giải:

a) Dữ liệu thu được không là số, không thể sắp xếp thứ tự.

b)

Tỉ lệ lựa chọn phương án “Bảo tồn” là 34%, do đó số lượt bạn đọc lựa chọn phương án “Bảo tồn” là:

1 819 . 34% ≈ 618 (lượt).

Tỉ lệ lựa chọn phương án “Vừa bảo tồn vừa sử dụng” là 54%, do đó số lượt bạn đọc lựa chọn phương án “Vừa bảo tồn vừa sử dụng” là:

1 819 . 54% ≈ 982 (lượt).

Tỉ lệ lựa chọn phương án “Di dời, xây cầu mới” là 12%, do đó số lượt bạn đọc lựa chọn phương án “Di dời, xây cầu mới” là:

1 819 . 12% ≈ 218 (lượt).

Bài 15 trang 137 Toán 8 Tập 2: Một túi đựng 24 viên bi giống hệt nhau chỉ khác màu, trong đó có 9 viên bi màu đỏ, 6 viên bi màu xanh, 4 viên bi màu vàng và 5 viên bi màu đen. Bạn An lấy ngẫu nhiên một viên bi từ trong túi.

a) Có bao nhiêu kết quả có thể? Các kết quả có thể này có đồng khả năng không? Tại sao?

b) Tính khả năng để xảy ra mỗi kết quả có thể đó.

c) Tính xác suất để An lấy được:

– Viên bi màu đỏ hoặc màu vàng;

– Viên bi màu đen hoặc màu xanh;

– Viên bi không có màu đen.

Lời giải:

a) Có 4 kết quả có thể là:

A: “An bốc được viên bi màu đỏ”;

B: “An bốc được viên bi màu xanh”;

C: “An bốc được viên bi màu vàng”;

D: “An bốc được viên bi màu đen”.

Các kết quả có thể này không đồng khả năng vì số lượng các viên bi màu đỏ, màu xanh, màu vàng, màu đen là khác nhau.

b) Khả năng để xảy ra mỗi kết quả có thể là:

$P\left(A\right)=\frac{9}{24};P\left(B\right)=\frac{6}{24};P\left(C\right)=\frac{4}{24}=\frac{1}{6};P\left(D\right)=\frac{5}{24}$.

c) Gọi E là biến cố “An bốc được viên bi màu đỏ hoặc màu vàng”. Có 9 + 4 = 13 viên bi màu đỏ hoặc màu vàng, tức là có 13 kết quả thuận lợi cho biến cố E.

Vậy $P\left(E\right)=\frac{13}{24}$.

Gọi F là biến cố: “An bốc được viên bi màu đen hoặc xanh”. Có 5 + 6 = 11 viên bi màu đen hoặc màu xanh, tức là có 11 kết quả thuận lợi cho biến cố F.

Vậy $P\left(F\right)=\frac{11}{24}$.

Gọi G là biến cố: “An bốc được viên bi không có màu đen”. Có 5 viên bi màu đen nên có 24 – 5 = 19 viên bi không có màu đen, tức là có 19 kết quả thuận lợi cho biến cố G.

Vậy $P\left(G\right)=\frac{19}{24}$.

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: