Toán 12 (Kết nối tri thức) Bài 8: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Mai Hương Ngày: 15-03-2024 Lớp 12

170

Toptailieu biên soạn và giới thiệu lời giải Toán 12 (Kết nối tri thức) Bài 8: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ hay, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng trả lời câu hỏi SGK Toán 12 Bài 8 từ đó học tốt môn Toán 12.

Toán 12 (Kết nối tri thức) Bài 8: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Hoạt động 1 trang 67 SGK Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\vec{a} = (1; 0; 5)$ và $\vec{b} = (1; 3; 9)$ .

a) Biểu diễn hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ qua các vectơ đơn vị $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ .

b) Biểu diễn hai vectơ $\vec{a} + \vec{b}$ và $2 \vec{a}$ qua các vectơ đơn vị $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ , từ đó xác định tọa độ của hai vectơ đó.

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{a} = (1; 0; 5) = \vec{i} + 5 \vec{k}$ ; $\vec{b} = (1; 3; 9) = \vec{i} + 3 \vec{j} + 9 \vec{k}$ .

b) Ta có: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{i} + 5 \vec{k} + \vec{i} + 3 \vec{j} + 9 \vec{k} = 2 \vec{i} + 3 \vec{j} + 14 \vec{k}$ . Do đó, $\vec{a} + \vec{b} = (2; 3; 14)$

$2 \vec{a} = 2 (\vec{i} + 5 \vec{k}) = 2 \vec{i} + 10 \vec{k}$ . Do đó, $2 \vec{a} = (2; 0; 10)$

Câu hỏi trang 67 SGK Toán 12 Tập 1: Nếu tọa độ của vectơ $\vec{a}$ là (x; y; z) thì tọa độ của vectơ đối của $\vec{a}$ là gì?

Lời giải:

Vectơ đối của $\vec{a}$ là $- \vec{a}$ .

Tọa độ của vectơ đối của $\vec{a}$ là: $(- x; - y; - z)$ .

Luyện tập 1 trang 68 SGK Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ $\vec{u} = (1; 8; 6), \vec{v} = (- 1; 3; - 2)$ và $\vec{w} = (0; 5; 4)$ . Tìm tọa độ của vectơ $\vec{u} - 2 \vec{v} + \vec{w}$ .

Lời giải:

$\vec{u} - 2 \vec{v} + \vec{w} = (1; 8; 6) - 2 (- 1; 3; - 2) + (0; 5; 4) = (1 + 2; 8 - 6 + 5; 6 + 4 + 4) = (3; 7; 14)$

Hoạt động 2 trang 68 SGK Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có $A (x_{A}; y_{A}; z_{A}), B (x_{B}; y_{B}; z_{B})$ và $C (x_{C}; y_{C}; z_{C})$ .

a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tìm tọa độ của M theo tọa độ của A và B.

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm tọa độ của G theo tọa độ của A và B và C.

Lời giải:

Ta có: $\vec{O A} = (x_{A}; y_{A}; z_{A}), \vec{O B} = (x_{B}; y_{B}; z_{B}), \vec{O C} = (x_{C}; y_{C}; z_{C})$

a) Vì M là trung điểm của AB nên $\vec{O M} = \frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B})$ $\Rightarrow {\begin{cases} x_{M} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} \\ y_{M} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} \\ z_{M} = \frac{z_{A} + z_{B}}{2} \end{cases}$ .

Do đó, $M (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}; \frac{z_{A} + z_{B}}{2})$ .

b) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\vec{O G} = \frac{1}{3} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C})$

$\Rightarrow {\begin{cases} x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} \\ y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} \\ z_{G} = \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} \end{cases}$ . Do đó, $G (\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}; \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3})$ .

Luyện tập 2 trang 69 SGK Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A (2; 9; - 1), B (9; 4; 5)$ và $G (3; 0; 4)$ . Tìm tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC nhận G là trọng tâm.

Lời giải:

Để G là trọng tâm của tam giác ABC thì

${\begin{cases} x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} \\ y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} \\ z_{G} = \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} x_{C} = 3 x_{G} - x_{A} - x_{B} = 3.3 - 2 - 9 = - 2 \\ y_{C} = 3 y_{G} - y_{A} - y_{B} = 3.0 - 9 - 4 = - 13 \\ z_{C} = 3 z_{G} - z_{A} - z_{B} = 3.4 + 1 - 5 = 8 \end{cases}$

Vậy $C (- 2; - 13; 8)$

Luyện tập 5 trang 76 SGK Toán 12 Tập 1:Với các giả thiết như trong Ví dụ 5, hãy xác định tọa độ của các chiếc máy bay sau 10 phút tiếp theo (tính từ thời điểm máy bay ở điểm B).

Lời giải:

Gọi D(x; y; z) là vị trí của máy bay sau 10 phút bay tiếp theo (tính từ thời điểm máy bay ở điểm B). Vì hướng của máy bay không đổi nên $\vec{A B}$ và $\vec{B D}$ cùng hướng. Do vận tốc máy bay không đổi và thời gian bay từ A đến B bằng thời gian bay từ B đến D nên $A B = B D$ . Do đó, $\vec{B D} = \vec{A B} = (140; 50; 1)$ .

Mặt khác: $\vec{B D} = (x - 940; y - 550; z - 8)$ nên ${\begin{cases} x - 940 = 140 \\ y - 550 = 50 \\ z - 8 = 1 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = 1 080 \\ y = 600 \\ z = 9 \end{cases}$

Vậy D(1 080; 600; 9). Vậy tọa độ của máy bay trong 10 phút tiếp theo là (1 080; 600; 9).

Luyện tập 6 trang 71 SGK Toán 12 Tập 1: Trong tình huống mở đầu, hãy tính độ lớn của góc $α$

Lời giải:

Theo Ví dụ 6 ta có: $\vec{A^{'} B^{'}} = (- 120; 0; 300); | \vec{A^{'} B^{'}} | = 60 \sqrt{29} c m, O^{'} (0; 450; 0),$ $A^{'} (240; 450; 0)$

Do đó, $\vec{A^{'} O^{'}} = (- 240; 0; 0) \Rightarrow | \vec{A^{'} O^{'}} | = 240 c m$

Ta có: $\cos (\vec{A^{'} B^{'}}; \vec{A^{'} O^{'}}) = \frac{\vec{A^{'} B^{'}} . \vec{A^{'} O^{'}}}{| \vec{A^{'} B^{'}} | . | \vec{A^{'} O^{'}} |} = \frac{(- 120) (- 240) + 0.0 + 300.0}{60 \sqrt{29} .240} = \frac{2 \sqrt{29}}{29}$

$\Rightarrow \hat{B^{'} A^{'} O^{'}} \approx 68^{0}$ . Vậy $α \approx 68^{0}$

Luyện tập 7 trang 72 SGK Toán 12 Tập 1: Trong Ví dụ 7, khinh khí cầu thứ nhất hay thứ hai ở xa điểm xuất phát hơn? Giải thích vì sao

Lời giải:

Theo Ví dụ 7 ta có, khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là A(2; 1; 0,5), khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là $B (- 1; - 1, 5; 0, 8)$ .

Ta có: $O A = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + 0, 5^{2}} = \frac{\sqrt{21}}{2} k m$ , $O B = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 1, 5)}^{2} + 0, 8^{2}} = \frac{\sqrt{389}}{10} k m$ .