Toptailieu biên soạn và giới thiệu lời giải Toán 12 (Kết nối tri thức) Bài 6: Vectơ trong không gian hay, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng trả lời câu hỏi SGK Toán 12 Bài 6 từ đó học tốt môn Toán 12.
Toán 12 (Kết nối tri thức) Bài 6: Vectơ trong không gian
a) Các đoạn thẳng này cho biết gì về hướng và độ lớn của các các lực căng dây?
b) Các đoạn thẳng này có cùng nằm trong một mặt phẳng không?
Lời giải:
a) Các đoạn thẳng này có hướng lên trên (về phía móc cần cẩu) và độ dài của các đoạn thẳng thể hiện cho độ lớn của các lực căng dây và được lấy tỉ lệ với độ lớn của các lực căng dây.
b) Các đoạn thẳng này không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Lời giải:
Một số ví dụ khác:
a) Hướng bay của khinh khí cầu:
b) Hướng đi của thuyền trên sông:
Luyện tập 1 trang 47 SGK Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ (H.2.6). Trong các vectơ :
a) Hai vectơ nào có giá cùng nằm trong mặt phẳng (ABCD)?
b) Hai vectơ nào có cùng độ dài?
Lời giải:
a) Trong các vectơ , hai vectơ có giá nằm trong mặt phẳng (ABCD)
b) Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên
Tam giác ADD’ vuông tại D nên theo định lý Pythagore ta có:
Tam giác ADC vuông tại D nên theo định lý Pythagore ta có:
Do đó, hay . Vậy hai vectơ có cùng độ dài.
Hoạt động 2 trang 47 SGK Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ (H.2.7)
a) So sánh độ dài hai vectơ và .
b) Nhận xét về giá của hai vectơ và .
c) Hai vectơ và có cùng phương không? Có cùng hướng không?
Lời giải:
a) Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên ABCD và DCC’D’ là các hình bình hành. Suy ra, . Do đó, .
b) Vì ABCD và DCC’D’ là các hình bình hành nên AB//CD, CD//C’D’. Do đó, AB//C’D’. Vậy giá của hai vectơ và song song với nhau.
c) Hai vectơ và cùng phương và cùng hướng.
Lời giải:
Giả sử có ba vectơ , và sao cho: và .
Vì nên hai vectơ , có cùng hướng và (1)
Vì nên hai vectơ , có cùng hướng và (2)
Từ (1) và (2) ta có hai vectơ , có cùng hướng và . Do đó,
Do đó, hai vectơ cùng bằng một vectơ thứ ba thì hai vectơ đó bằng nhau.
Luyện tập 2 trang 48 SGK Toán 12 Tập 1: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
a) Trong ba vectơ và , vectơ nào bằng vectơ .
b) Gọi M là một điểm thuộc cạnh AD. Xác định điểm N sao cho .
Lời giải:
a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB//CD và . Do đó, hai vectơ và có cùng độ dài và cùng hướng nên hai vectơ đó bằng nhau.
Vì AB và SC chéo nhau nên hai vectơ và không cùng phương. Do đó, hai vectơ và không bằng nhau.
Vì hai vectơ và không cùng phương nên hai vectơ và không bằng nhau.
b) Qua M vẽ đường thẳng song song với AB cắt BC tại N.
Tứ giác ABNM có: AB//MN, AM//BN nên tứ giác ABNM là hình bình hành. Do đó, , lại có: AB//MN nên hai vectơ cùng độ dài và cùng hướng. Suy ra, . Vậy điểm N cần tìm là giao điểm của đường thẳng qua M song song với AB và cạnh BC.
Lời giải:
Gọi vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy từ tầng 15 lên tầng 22 của tòa nhà là . Gọi vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy từ tầng 22 lên tầng 29 của tòa nhà là .
Vì hai vectơ và đều dịch chuyển từ tầng thấp lên tầng cao nên hai vectơ và có cùng hướng (1).
Độ dài vectơ là: , độ dài vectơ là: nên (2)
Từ (1) và (2) ta có: . Vậy các vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy trong hai lần di chuyển đó có bằng nhau.
b) Giải thích vì sao AA’C’C là hình bình hành, từ đó suy ra .
Lời giải:
a) Vì nên hai vectơ và cùng hướng và cùng độ dài.
Vì nên hai vectơ và cùng hướng và cùng độ dài.
Do đó, hai vectơ và cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, AB//A’B’ và . Do đó, tứ giác ABB’A’ là hình bình hành. Suy ra, AA’//BB’ và hai vectơ có cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, .
Vì nên hai vectơ và cùng hướng và cùng độ dài.
Vì nên hai vectơ và cùng hướng và cùng độ dài.
Do đó, hai vectơ và cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, BC//B’C’ và . Do đó, tứ giác CBB’C’ là hình bình hành. Suy ra, CC’//BB’ và hai vectơ có cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, .
b) Vì hai vectơ có cùng hướng và cùng độ dài; hai vectơ có cùng hướng và cùng độ dài nên hai vectơ và có cùng hướng và cùng độ dài. Do đó, AA’//CC’ và nên tứ giác AA’C’C là hình bình hành. Suy ra, và AC//A’C’. Do đó, hai vectơ có cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, .
Luyện tập 3 trang 50 SGK Toán 12 Tập 1: Trong Ví dụ 3, hãy tính độ dài của vectơ .
Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài mỗi cạnh bằng 1 (H.2.12).
Lời giải:
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên DCC’D’ là hình vuông. Do đó, .
Ta có:
Vì độ dài mỗi cạnh hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ bằng 1 nên .
Vậy
Luyện tập 4 trang 50 SGK Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện ABCD (H.2.13). Chứng minh rằng .
Lời giải:
Ta có:
(đpcm)
Hoạt động 4 trang 50 SGK Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ (H.2.14).
a) Hai vectơ và có bằng nhau hay không?
b) Hai vectơ và có bằng nhau hay không?
Lời giải:
a) Vì ABCD là hình bình hành nên
b) Ta có: (1)
Vì ABCD. A’B’C’D’ là hình hộp nên AA’D’D và DD’C’C là hình bình hành. Do đó, AA’//DD’, và , DD’//CC’. Suy ra, AA’//CC’ và . Suy ra, tứ giác AA’C’C là hình bình hành. Suy ra: (2)
Từ (1) và (2) ta có:
Lời giải:
Quy tắc hình hộp với các vectơ có điểm đầu là B là:
Luyện tập 5 trang 50 SGK Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp hình chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng
Lời giải:
Vì ABCD là hình chữ nhật nên
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật nên
Ta có:
Lời giải:
Các vectơ biểu diễn hai lực đó có độ dài bằng nhau và hướng của chúng là ngược nhau.
Luyện tập 6 trang 52 SGK Toán 12 Tập 1: Trong Ví dụ 6, chứng minh rằng:
Lời giải:
a) Tứ giác ABCD là hình bình hành nên , AB//CD. Suy ra (vì M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD) và BM//DN. Do đó, tứ giác DMBN là hình bình hành, do đó, và BN//DM. Hai vectơ và có cùng độ dài và ngược hướng nên và là hai vectơ đối nhau.
b) Theo a ta có:
Do đó,
Lời giải:
Vectơ biểu diễn vận tốc của mỗi làn có cùng độ lớn và hướng ngược nhau nên chúng là hai vectơ đối nhau.
a) Hai vectơ và có cùng phương không? Có cùng hướng không?
Lời giải:
a) Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN//BC.
Vì BCC’B’ là hình bình hành nên BC//B’C’. Suy ra: MN//B’C’.
Do đó hai vectơ và có cùng phương và cùng hướng.
b) Vì BCC’B’ là hình bình hành nên
Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC nên
Suy ra: .
Lời giải:
Hai vectơ và bằng nhau vì chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Hai vectơ và bằng nhau chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Lời giải:
Vì
Tam giác SAB có: nên FE//AB và .
Vì hai vectơ và cùng hướng nên (1)
Vì ABCD là hình bình hành nên và AB//CD. Do đó, (2)
Từ (1) và (2) ta có:
Lời giải:
Theo ví dụ 8 ta có:
Lời giải:
Vì trong quá trình máy bay tăng vận tốc từ 900km/h lên 920km/h máy bay giữ nguyên hướng bay nên vectơ và có cùng hướng. Do đó, với k là một số thực dương nào đó (1).
Gọi lần lượt là vận tốc của của chiếc máy bay khi đạt 900km/h và 920km/h.
Suy ra
Vì lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay nên
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
b) Áp dụng định lí côsin cho hai tam giác OAB và O’A’B’ để giải thích vì sao
Lời giải:
a) Ta có:
Mà
Do đó,
b) Áp dụng định lí côsin vào tam giác AOB ta có:
Áp dụng định lí côsin vào tam giác A’O’B’ ta có:
Vì
Do đó,
Lời giải:
Góc giữa hai vectơ cùng hướng bằng .
Góc giữa hai vectơ ngược hướng bằng .
Lời giải:
Vì ABC.A’B’C’ là lăng trụ tam giác đều nên AA’B’B là hình chữ nhật. Suy ra, . Do đó: (do BB’C’C là hình chữ nhật)
Vì AA’B’B là hình chữ nhật nên .
Do đó, .
Vì tam giác A’B’C’ là tam giác đều nên . Do đó, .
Lời giải:
Công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng: Tích vô hướng của hai vectơ và là một số, kí hiệu là , được xác định bởi công thức sau:
.
Luyện tập 10 trang 57 SGK Toán 12 Tập 1: Trong Ví dụ 10, hãy tính các tích vô hướng và
Lời giải:
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD trong hình vuông ABCD. Do đó, O là trung điểm của BD, O là trung điểm của AC.
Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a nên độ dài đường chéo BD là
Gọi E là trung điểm của SC. Mà O là trung điểm của AC nên OE là đường trung bình của tam giác SAC, do đó, OE//SA, . Suy ra:
Vì O là trung điểm của BD nên
Vì tam giác SBC có ba cạnh bằng nhau nên tam giác SBC là tam giác đều. Do đó, BE là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác SBC. Do đó, .
Ta có: nên EOB vuông tại O. Do đó,
Ta có:
Tứ giác ABCD là hình vuông nên
Ta có:
Vì tam giác SAB có ba cạnh bằng nhau nên tam giác SAB đều, suy ra
Suy ra:
Luyện tập 11 trang 57 SGK Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng .
Lời giải:
Giả sử cạnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ bằng 1. Khi đó,
Gọi E’ là giao điểm của hai đường chéo A’C’ và B’D’ của hình vuông A’B’C’D’. Khi đó, E’ là trung điểm của A’C’ và B’D’. Suy ra và .
Gọi E là trung điểm của CC’. Mà E’ là trung điểm của A’C’ nên EE’ là đường trung bình của tam giác A’C’C. Do đó, và
Áp dụng định lí Pythagore vào A’C’C vuông tại C’ có:
Áp dụng định lí Pythagore vào D’C’E vuông tại C’ có:
Vì nên E’D’E vuông tại E’. Do đó,
Ta có: (đpcm)
Lời giải:
Ta có:
Vì lực có độ lớn không đổi và vật di chuyển một quãng đường không đổi nên A lớn nhất khi lớn nhất. Do đó, . Khi đó, lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật. Vậy công sinh ra sẽ lớn nhất khi lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật.
Khi kéo (hoặc đẩy) các vật nặng, ta nên kéo (hoặc đẩy) cùng cùng hướng với chuyển động của vật.
a) Nếu và đều cùng hướng với thì và cùng hướng.
b) Nếu và đều ngược hướng với thì và cùng hướng.
c) Nếu và đều cùng hướng với thì và ngược hướng.
d) Nếu và đều ngược hướng với thì và ngược hướng.
Lời giải:
Các câu đúng: Nếu và đều cùng hướng với thì và cùng hướng.
Nếu và đều ngược hướng với thì và cùng hướng.
Lời giải:
Vì B’BAA’ là hình chữ nhật nên
Vì tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên tam giác BAD vuông tại A.
Do đó, (định lí Pythagore), suy ra:
Vì BB’D’D là hình chữ nhật nên tam giác DD’B vuông tại D
Theo định lí Pythagore ta có:
CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK
- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền
- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.
2021 © All Rights Reserved.