I. KHỐI ĐA DIỆN LỒI
Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H). Khi đó đa diện giới hạn (H) được gọi là đa diện lồi.
Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng đi qua một mặt của nó.
II . KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
Định nghĩa
Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:
- Các mặt là những đa giác đều n cạnh.
- Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng p cạnh.
Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại {n, p}.
Định lí
Chỉ có năm khối đa diện đều. Đó là:
- Loại {3; 3}: khối tứ diện đều.
- Loại {4; 3}: khối lập phương.
- Loại {3; 4}: khối bát diện đều.
- Loại {5; 3}: khối 12 mặt đều.
- Loại {3; 5}: khối 20 mặt đều.
| Khối đa diện đều | Số đỉnh | Số cạnh | Số mặt | Loại | |
| Tứ diện đều |  |
4 | 6 | 4 | {3;3} |
| Khối lập phương |  |
8 | 12 | 6 | {4;3} |
| Bát diện đều |  |
6 | 12 | 8 | {3;4} |
| Mười hai mặt đều |  |
20 | 30 | 12 | {5;3} |
| Hai mươi mặt đều |  |
12 | 30 | 20 | {3;5} |
Chú ý. Gọi Đ là tổng số đỉnh, C là tổng số cạnh và M là tổng các mặt của khối đa diện đều loại {n; p}. Ta có
pĐ = 2C = nM
- Xét tứ diện đều
- Xét khối lập phương
- Xét bát diện đều
- Xét khối mười hai mặt đều
- Xét khối hai mươi mặt đều
B. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Cho các hình khối sau:
Áp dụng các tính chất của khối đa diện lồi H: ''Đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của H luôn thuộc H''. Chọn B.
Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình không phải đa diện lồi là
A. Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. D. Hình 4.
Câu 2. Cho các hình khối sau:
Có hai khối đa diện lồi là: Hình 1 & Hình 4. Chọn B.
Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số đa diện lồi là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 3. Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình nào trong các hình sau đây?
A. Bát diện đều. B. Tứ diện đều. C. Lục giác đều. D. Ngũ giác đều.
Chọn A.
Câu 4. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của một hình lập phương.
B. Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều.
C. Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình lập phương.
D. Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của một hình tứ diện đều.
Chọn B.
Câu 5. Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành
A. các đỉnh của một hình tứ diện đều.
B. các đỉnh của một hình bát diện đều.
C. các đỉnh của một hình mười hai mặt đều.
D. các đỉnh của một hình hai mươi mặt đều.
Chọn B.
Câu 6. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Tồn tại khối tứ diện là khối đa diện đều.
B. Tồn tại khối lặng trụ đều là khối đa diện đều.
C. Tồn tại khối hộp là khối đa diện đều.
D. Tồn tại khối chóp tứ giác đều là khối đa diện đều.
Trong 5 loại khối đa diện đều không tồn tại khối chóp có đáy là tứ giác.
Chọn D.
Câu 7. Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều như hình vẽ
Khối tứ diện đều Khối lập phương Bát diện đều
Hình 12 mặt đều Hình 20 mặt đều
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4.
B. Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh.
C. Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng.
D. Khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều có cùng số đỉnh.
Khối lập phương có 6 mặt. Do đó A sai.
Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh là 12. Chọn B.
Khối tứ diện đều không có tâm đối xứng. Do đó C sai.
Khối 12 mặt đều có 20 đỉnh. Khối 20 mặt đều có 12 đỉnh. Do đó D sai.
Câu 8. Mỗi khối đa diện đều mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của ba mặt thì số đỉnh Đ và số cạnh C của các khối đa diện đó luôn thỏa mãn:
A. Đ=C-2. B. Đ≥C. C. 3Đ=2C. D. 3C=2Đ.
Do mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng ba mặt nên suy ra số cạnh của khối đa diện là 3Đ. Mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có hệ thức 3Đ=2C.
Chọn C.
Câu 9. Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại 4;3 là:
A. 4π. B. 8π. C. 12π. D. 10π.
Khối đa diện đều loại 4;3 là khối lập phương, gồm 6 mặt là các hình vuông nên tổng các góc bằng 6.2π=12π. Chọn C.
Câu 10. Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại 3;5 là:
A. 12π. B. 16π. C. 20π. D. 24π.
Khối đa diện đều loại 3;5 là khối hai mươi mặt đều, gồm 20 mặt là các tam giác đều nên tổng các góc bằng 20.π=20π. Chọn C.
Câu 11. Tổng độ dài l của tất cả các cạnh của một tứ diện đều cạnh a.
A. l=4a. B. l=6a. C. l=6. D. l=4.
Tứ diện đều có tất cả 6 cạnh nên có tổng độ dài các cạnh là 6a. Chọn B.
Câu 12. Tổng độ dài l của tất cả các cạnh của khối mười hai mặt đều cạnh bằng 2.
A. l=8. B. l=16. C. l=24. D. l=60.
Khối mười hai mặt đều có 30 cạnh nên có tổng độ dài tất cả các cạnh bằng l=30.2=60. Chọn B.
Câu 13. Cho hình đa diện đều loại 4;3 cạnh a. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. S=4 a2. B. S=6 a2. C. S=8 a2. D. S=10a2.
Đa diện đều loại 4;3 là khối lập phương nên có 6 mặt là các hình vuông cạnh a. Vậy hình lập phương có tổng diện tích tất cả các mặt là S=6a2. Chọn B.
Câu 14. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hình bát diện đều cạnh a. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. S=43 a2. B. S=3 a2. C. S=23 a2. D. S=8a2.
Hình bát diện đều là hình có tám mặt bằng nhau và mỗi mặt là một tam giác đều. Gọi S0 là diện tích tam giác đều cạnh a → S0=a234.
Vậy diện tích S cần tính là S=8.S0=8.a234=23 a2. Chọn C.
Câu 15. Cho hình 20 mặt đều có cạnh bằng 2. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. S=103. B. S=203. C. S=20. D. S=10.
Hình 20 đều là hình có 20 mặt bằng nhau và mỗi mặt là một tam giác đều.
Gọi S0 là diện tích tam giác đều cạnh bằng 2 → S0=22.34=3.
Vậy diện tích S cần tính là S=20.S0=203 . Chọn B.
Câu 16: Khối 20 mặt đều có bao nhiêu cạnh?
A. 24 cạnh B. 28 cạnh C. 30 cạnh D. 40 cạnh
Cách 1. Dựa vào lí thuyết (nhận xét c)
Cách 2. Mỗi mặt của nó là tam giác đều nên số cạnh của nó bằng
Đáp án là C
Câu 17: Khối 12 mặt đều có bao nhiêu đỉnh ?
A. 10 đỉnh B. 12 đỉnh C. 18 đỉnh D. 20 đỉnh
Cách 1. Dựa vào lí thuyết (nhận xét b)
Cách 2. Khối 12 mặt đều thuộc loại (5 ;3) nên ta có 5.12=3d=2c. Suy ra d=20.
Đáp án là D
Câu 18: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?
A. Số mặt của một hình đa diện đều luôn là số chẵn
B. Số đỉnh của một hình đa diện đều luôn là số chẵn
C. Số cạnh của một hình đa diện đều luôn là số chẵn
D. Tồn tại một hình đa diện đều có số cạnh là số lẻ
Cách 1. Dựa vào lí thuyết (nhận xét a, b, c)
Cách 2. Áp dụng công thức pm = 2x , thay m = 4, 8, 12, 20, ta thấy ngay c chẵn. Với hình lập phương ta có 4m = 2c nên c chẵn.
Suy ra D là mệnh đề sai.
Câu 19: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Khối lập phương là khối đa diện lồi
B. Khối chóp là khối đa diện lồi
C. Khối lăng trụ là khối đa diện lồi
D. Ghép hai khối đa diện lồi sẽ được một khối đa diện lồi
Câu 20: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Khối đa diện đều loại (p;q) là khối đa diện có các tính chất sau:
a) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều
b) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt
B. Khối đa diện đều loại (p;q) là khối đa diện có các tính chất sau:
a) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh
b) Mỗi cạnh của nó là cạnh chung của đúng hai mặt
C. Khối đa diện đều loại (p;q) là khối đa diện có các tính chất sau:
a) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh
b) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt
D. Khối đa diện đều loại (p;q) là khối đa diện có các tính chất sau:
a) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh
b) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt
Dựa vào định nghĩa khối đa diện đều.
Khối đa diện đều loại (p;q) là khối đa diện có các tính chất sau:
* Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh
* Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.
Câu 21: Khối lập phương là khối đa diện đều thuộc loại nào?
A. (4; 3) B. (3; 4) C. (5; 3) D. (3; 5)
Câu 22: Khối bát diện là khối đa diện đều thuộc loại nào?
A. (4; 3) B. (3; 4) C. (5; 3) D. (3; 5)
Câu 23: Khối 12 mặt đều là khối đa diện đều thuộc loại nào?
A. (4; 3) B. (3; 4) C. (5; 3) D. (3; 5)
Câu 24: Khối 20 mặt đều là khối đa diện đều thuộc loại nào?
A. (4; 3) B. (3; 4) C. (5; 3) D. (3; 5)
Câu 25: Khối bát diện đều có bao nhiêu cạnh?
A. 8 cạnh B. 12 cạnh C. 24 cạnh D. 30 cạnh
Câu 26: Khối 12 mặt đều có bao nhiêu cạnh?
A. 12 cạnh B. 20 cạnh C. 24 cạnh D. 30 cạnh
Câu 27: Khối 20 mặt đều có bao nhiêu cạnh?
A. 20 cạnh B. 28 cạnh C. 30 cạnh D. 40 cạnh
Khối 20 mặt đều có 30 cạnh
Câu 28: Các mặt của khối 12 mặt đều là những đa giác nào?
A. Tam giác đều B. hình vuông C. ngũ giác đều D. lục giác đều
Câu 29: Các mặt của khối 20 mặt đều là những đa giác nào?
A. Tam giác đều B. hình vuông C. ngũ giác đều D. lục giác đều
Câu 30: Khối bát diện đều có bao nhiêu đỉnh?
A. 6 đỉnh B. 8 đỉnh C. 10 đỉnh D. 12 đỉnh
Câu 31: Khối 20 mặt đều có bao nhiêu đỉnh?
A. 12 đỉnh B. 16 đỉnh C. 20 đỉnh D. 24 đỉnh
Câu 32: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Tâm các mặt của hình bát diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều
B. Tâm các mặt của một hình bát diện đều là các đỉnh của một hình bát diện đều
C. Tâm các mặt của một hình 12 mặt đều là các đỉnh của một hình 12 mặt đều
D. Tâm các mặt của một hình 20 mặt đều là các đỉnh của một hình 20 mặt đều
Câu 33: Điền vào chỗ trống cụm từ nào cho dưới đây để được một mệnh đề đúng?
“Tâm các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của một….”
A. Hình 12 mặt đều C. Hình lập phương
B. Hình bát diện đều D. Hình tứ diện đều
Câu 34: Điền vào chỗ trống cụm từ nào cho dưới đây để được một mệnh đề đúng?
“Trung điểm các cạnh của hình tứ diện đều là các đỉnh của một….”
A. Hình tứ diện đều C. hình bát diện đều
B. Hình lập phương D. hình 12 mặt đều
Câu 35: Điền vào chỗ trống cụm từ nào cho dưới đây để được một mệnh đề đúng?
“Tồn tại hình đa diện đều mà các mặt của nó là những….”
A. Đa giác tám cạnh đều C. ngũ giác đề
B. Đa giác bảy cạnh đều D. lục giác đều
Câu 36: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Tồn tại hình đa diện đều mà các mặt của nó là những tam giác đều
B. Tồn tại hình đa diện đều mà các mặt của nó là những hình vuông
C. Tồn tại hình đa diện đều mà các mặt của nó là những ngũ giác đều
D. Tồn tại hình đa diện đều mà các mặt của nó là những lục giác đều
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
* Tồn tại hình đa diện đều mà các mặt của nó là những tam giác đều. Đó là khối hai mươi mặt đều.
* Tồn tại hình đa diện đều mà các mặt của nó là những hình vuông. Đó là hình lập phương.
* Tồn tại hình đa diện đều mà các mặt của nó là những ngũ giác đều. Đó là khối mười hai mặt đều.
Mệnh đề: Tồn tại hình đa diện đều mà các mặt của nó là những lục giác đều là sai.
Câu 37: Trong các hình đa diện đều sau, hình nào có số đỉnh lớn hơn số mặt?
A. Hình tứ diện đều C. hình 12 mặt đều
B. Hình bát diện đều D. hình 20 mặt đều
Câu 38: Trong các hình đa diện đều sau, hình nào có số đỉnh nhỏ hơn số mặt?
A. Hình tứ diện đều C. hình 12 mặt đều
B. Hình lập phương D. hình 20 mặt đều
Hình tứ diện đều có 4 đỉnh và 4 mặt
Hình lập phương có 8 đỉnh và 6 mặt
Hình 12 mặt đều có 12 mặt và 20 đỉnh
Hình 20 mặt đều có 20 mặt và 12 đỉnh
Chọn D
Câu 39: Mỗi hình dưới đây gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó).
Số đa diện lồi trong các hình vẽ trên là:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Hai đa diện lồi là hình 1 và 4.
Câu 40: Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng?
A. Tồn tại các khối đa diện đều loại (5;3)
B. Tồn tại các khối đa diện đều loại (5;4)
C. Tồn tại các khối đa diện đều loại (5;5)
D. Tồn tại các khối đa diện đều loại (4;5)
Tồn tại các khối đa diện đều loại (5;3) gọi là khối mười hai mặt đều.
CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK
- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền
- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.
2021 © All Rights Reserved.
