Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm M(4; -5), N(2; -1), P(3; -8)

Với giải Luyện tập 3 trang 45 SGK Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 10 Luyện tập 3 trang 45 SGK Toán 10 Tập 2

Luyện tập 3 trang 45 SGK Toán 10 Tập 2: Viết phương trình đường tròn $(C)$ đi qua ba điểm $M (4; - 5), N (2; - 1), P (3; - 8)$ .

Phương pháp giải:

Tâm $J$ là giao điểm của hai đường trung trực của tam giác MNP và bán kính $R = J M$ .

Lời giải:

Gọi $d, Δ$ lần lượt là đường trung trực của hai đoạn thẳng MN, NP. Đường thẳng d đi qua trung điểm I của đoạn MN và vuông góc với MN.

Ta có: ${\begin{cases} x_{I} = \frac{x_{M} + x_{N}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3 \\ y_{I} = \frac{y_{M} + y_{N}}{2} = \frac{- 5 - 1}{2} = - 3 \end{cases} \Rightarrow I (3; 3); \vec{M N} = (- 2; 4) \Rightarrow \vec{n_{d}} = \frac{- 1}{2} \vec{M N} = (1; - 2)$

Phương trình tổng quát của $d$ là: $1 (x - 3) - 2 (y + 3) = 0 \Leftrightarrow x - 2 y - 9 = 0$ .

Tương tự, ta có phương trình đường thẳng $Δ$ là: $x - 7 y - 34 = 0$ .

Gọi $J$ là tâm đường tròn đi qua ba điểm M, N, P. Khi đó $J = d \cap Δ$ , do đó tọa điểm $J$ thỏa mãn hệ phương trình ${\begin{cases} x - 7 y - 34 = 0 \\ x - 2 y - 9 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = - 1 \\ y = - 5 \end{cases} \Rightarrow J (- 1; - 5)$

Từ đó ta tìm được $R = J M = 5$

Vậy phương trình đường tròn $(C)$ là: ${(x + 1)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = 25$ .

Cách 2:

Gọi phương trình đường tròn cần tìm là (C): $x^{2} + y^{2} + 2 a x + 2 b y + c = 0$ $(a^{2} + b^{2} - c > 0)$

$M (4; - 5), N (2; - 1), P (3; - 8)$ thuộc (C) nên ta có:

${\begin{cases} 16 + 25 + 8 a - 10 b + c = 0 \\ 4 + 1 + 4 a - 2 b + c = 0 \\ 9 + 64 + 6 a - 16 b + c = 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} 8 a - 10 b + c = - 41 \\ 4 a - 2 b + c = - 5 \\ 6 a - 16 b + c = - 73 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} a = 1 \\ b = 5 (t h ỏ a m ã n) \\ c = 1 \end{cases}$