Với Giải SBT Toán 10 Tập 1 trong Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10.

SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Bài 1 trang 79 SBT Toán 10: Cho tam giác ABC với $BC=a;AC=b;AB=c$ và $a=b$. Chứng minh rằng:

$c^2=2a^2(1-\cos C)$.

Lời giải:

Áp dụng định lí côsin ta có:

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

Mặt khác $a=b$, thay $a=b$ vào phương trình trên ta có:

$c^2=a^2+a^2-2a.a\cos C=2a^2-2a^2\cos C$

$=2a^2\left(1-\cos C\right)$ (đpcm)

Bài 2 trang 79 SBT Toán 10: Tính các góc chưa biết của tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) $\hat{A}={42}^{\circ },\hat{B}={63}^{\circ }$

b) $BC=10,AC=20,\hat{C}={80}^{\circ }$

c) $AB=15,AC=25,BC=30$

Lời giải:

a) Ta có $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}={180}^{\circ }$

Suy ra: $\hat{C}={180}^{\circ }-\left(\hat{A}+\hat{B}\right)={180}^{\circ }-\left({42}^{\circ }+{63}^{\circ }\right)={75}^{\circ }$

b) Áp dụng định lí côsin ta có:

$\begin{array}{l}{a}^2=b^2+c^2-2bc\cos A\\ \iff A{B}^2=B{C}^2+A{C}^2-2.BC.AC.\cos C\\ \Rightarrow AB=\sqrt{B{C}^2+A{C}^2-2.BC.AC.\cos C}=\sqrt{{10}^2+{20}^2-\mathrm{2.10.20.}\cos 80}\simeq 20,75\end{array}$

Áp dụng định lí sin ta có:

$\begin{array}{l}\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}=\frac{20,75}{\sin 80}\\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}\sin B\simeq 0,95\\ \sin A\simeq 0,48\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\hat{B}\simeq {71}^{\circ }{40}^{\prime }\\ \hat{A}\simeq {28}^{\circ }{20}^{\prime }\end{array}\end{array}$

c) Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:

$\begin{array}{l}\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{{25}^2+{15}^2-{30}^2}{\mathrm{2.25.15}}=-\frac{1}{15}\Rightarrow \hat{A}\simeq {93}^{\circ }{49}^{\prime }\\ \cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{{30}^2+{15}^2-{25}^2}{\mathrm{2.30.15}}=\frac{5}{9}\Rightarrow \hat{B}\simeq {56}^{\circ }{15}^{\prime }\\ \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{{30}^2+{25}^2-{15}^2}{\mathrm{2.30.25}}=\frac{13}{15}\Rightarrow \hat{C}\simeq {29}^{\circ }{56}^{\prime }\end{array}$

Bài 3 trang 79 SBT Toán 10: Để xác định chiều cao của một tòa nhà cao tầng, một người đứng tại điểm M, sử dụng giác kế nhìn thấy đỉnh tòa nhà với góc nâng $\widehat{RQA}={79}^{\circ }$, người đó lùi ra xa một khoảng cách $LM=50$ m thì nhìn thấy đỉnh tòa nhà với góc nâng $\widehat{RPA}={65}^{\circ }$. Hãy tính chiều cao của tòa nhà, biết rằng khoảng cách từ mặt đất đến ống ngắm của giác kế đó là $PL=QM=1,4$ m (hình 6)

Lời giải:

Ta có chiều cao của nhà cao tầng là $AO=AR+RO=AR+1,4$

Góc $\widehat{AQR}$ là góc ngoài của tam giác APQ tại đỉnh Q suy ra $\widehat{AQR}=\widehat{APQ}+\widehat{QAP}\Rightarrow \widehat{QAP}=\widehat{AQR}-\widehat{APQ}={79}^{\circ }-{65}^{\circ }={14}^{\circ }$

Áp dụng định lí sin vào tam giác APQ ta có:

$\frac{PQ}{\sin \widehat{PAQ}}=\frac{AQ}{\sin \widehat{APQ}}=\frac{50}{\sin {14}^{\circ }}\Rightarrow AQ=\frac{50}{\sin {14}^{\circ }}.\sin {65}^{\circ }$

Xét tam giác AQR ta có:

$\frac{AR}{\sin \widehat{AQR}}=\frac{AQ}{\sin \widehat{ARQ}}=\frac{\frac{50}{\sin {14}^{\circ }}.\sin {65}^{\circ }}{\sin {90}^{\circ }}\Rightarrow AR=\frac{\frac{50}{\sin {14}^{\circ }}.\sin {65}^{\circ }}{\sin {90}^{\circ }}.\sin {79}^{\circ }\simeq 183,87$

$\Rightarrow AO\simeq 183,87+1,4=185,27$

Vậy tòa nhà cao xấp xỉ 185,27 m

Bài 4 trang 79 SBT Toán 10: Một vệ tinh quay quanh Trái Đất, đang bay phía trên hai trạm quan sát ở hai thành phố Hồ Chí Minh và Cần Thơ. Khi vệ tinh nằm giữa hai trạm này, góc nâng của nó được quan sát đồng thời là ${55}^{\circ }$tại thành phố Hồ Chí Minh và ${80}^{\circ }$ tại Cần Thơ. Hỏi khi đó vệ tinh cách trạm quan sát tại Cần Thơ bao xa? Biết rằng, khoảng cách giữa hai trạm quan sát là 127 km.

Lời giải:

Ta có:

$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}={180}^{\circ }\Rightarrow \hat{C}={180}^{\circ }-\left(\hat{A}+\hat{B}\right)={180}^{\circ }-\left({80}^{\circ }+{55}^{\circ }\right)={45}^{\circ }$

Sử dụng định lí sin ta có:

$\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{127}{\sin {45}^{\circ }}\Rightarrow AC=\frac{127}{\sin {45}^{\circ }}.\sin {55}^{\circ }\simeq 147,124$ km

Vậy khi đó vệ tinh cách trạm quan sát tại Cần Thơ xấp xỉ 147,124 km

Bài 5 trang 79 SBT Toán 10: Tính khoảng cách AB giữa nóc hai tòa cao ốc. Cho biết khoảng cách từ hai điểm đó đến một vệ tinh viễn thông lần lượt là 360 km, 340 km và góc nhìn từ vệ tinh đến A và B là $13,2^{\circ }$ (hình 8)

Lời giải:

Áp dụng định lí côsin ta có:

$\begin{array}{l}A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2AC.BC.\cos C\\ \Rightarrow AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2-2AC.BC.\cos C}=\sqrt{{360}^2+{340}^2-\mathrm{2.360.340.}\cos 13,2^{\circ }}\simeq 82,87\end{array}$Vậy khoảng cách AB giữa hai nóc tòa cao ốc xấp xỉ 82,87 km

Bài 6 trang 79 SBT Toán 10: Một chiếc tàu khởi hành từ bến cảng, đi về hướng Bắc 15km, sau đó bẻ lái ${20}^{\circ }$ về hướng Tây Bắc và đi thêm 12 km nữa (hình 9). Tính khoảng cách từ tàu đến bến cảng.

Lời giải:

Góc $\widehat{ACx}$ là góc bù với góc $\widehat{ACB}$, suy ra $\widehat{ACB}={180}^{\circ }-\widehat{ACx}={180}^{\circ }-{20}^{\circ }={160}^{\circ }$

Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC ta có:

$\begin{array}{l}A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2AC.BC.\cos C\\ \Rightarrow AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2-2AC.BC.\cos C}=\sqrt{{12}^2+{15}^2-\mathrm{2.12.15.}\cos {160}^{\circ }}\simeq 26,6\end{array}$

Vậy khoảng cách từ tàu đến bến cảng xấp xỉ 26,6 km