SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180

Phương Thảo Ngày: 13-01-2023 Lớp 10

549

Với Giải SBT Toán 10 Tập 1 trong Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10.

SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180

Bài 1 trang 69 SBT Toán 10 Tập 1: Tính giá trị của $T = 4 \cos 60^{\circ} + 2 \sin 135^{\circ} + 3 \cot 120^{\circ}$

Lời giải:

Thay các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã biết ta được:

$\begin{array}{l} T = 4 \cos 60^{\circ} + 2 \sin 135^{\circ} + 3 \cot 120^{\circ} \\ = 4. \frac{1}{2} + 2. \frac{\sqrt{2}}{2} + 3. (- \frac{\sqrt{3}}{3}) \\ = 2 + \sqrt{2} - \sqrt{3} \end{array}$

Bài 2 trang 69 SBT Toán 10 Tập 1: Chứng minh rằng

a) $\sin 138^{\circ} = \sin 42^{\circ}$

b) $\tan 125^{\circ} = - \cot 35^{\circ}$

Phương pháp giải:

a) $\sin α = \sin (180^{\circ} - α)$

b) $\tan α = - \tan (180^{\circ} - α) (a \neq 90^{\circ})$

Lời giải:

a) Ta có:

$\begin{array}{l} \sin α = \sin (180^{\circ} - α) \\ \Rightarrow \sin 138^{\circ} = \sin (180^{\circ} - 138^{\circ}) = \sin 42^{\circ} \end{array}$

b) Ta có:

$\begin{array}{l} \tan α = - \tan (180^{\circ} - α) (a \neq 90^{\circ}) \\ \Rightarrow \tan 125^{\circ} = - \tan (180^{\circ} - 125^{\circ}) = - \tan 55^{\circ} \end{array}$ (1)

Mà: $\tan α = \cot (90^{\circ} - α)$

Hay $\tan 55^{\circ} = \cot (90^{\circ} - 55^{\circ}) = \cot 35^{\circ}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\tan 125^{\circ} = - \cot 35^{\circ}$ (đpcm)

Bài 3 trang 69 SBT Toán 10 Tập 1: Tìm góc $α (0^{\circ} \leq α \leq 180^{\circ})$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\cos α = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

b) $\sin α = \frac{\sqrt{3}}{2}$

c) $\tan α = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

d) $\cot α = - 1$

Phương pháp giải:

Sử dụng máy tính cầm tay hoặc tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt.

Lời giải:

Dựa vào bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biết ta có:

a) $\cos α = - \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow α = 150^{\circ}$

b) $\sin α = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow α = 60^{\circ}$

c) $\tan α = - \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow α = 150^{\circ}$

d) $\cot α = - 1 \Rightarrow α = 135^{\circ}$

Bài 4 trang 69 SBT Toán 10 Tập 1: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:

a) $\tan B = - \tan (A + C)$

b) $\sin C = \sin (A + B)$

Phương pháp giải:

Dựa vào mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác giữa hai góc phụ nhau, bù nhau

Lời giải:

a) Ta có:

$\begin{array}{l} \tan α = - \tan (180^{\circ} - α) \\ \Leftrightarrow \tan B = - \tan (180^{\circ} - B) \end{array}$

Mặt khác ta có ABC là tam giác nên $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^{\circ} \Rightarrow 180^{\circ} - \hat{B} = \hat{A} + \hat{C}$

Suy ra $\tan B = - \tan (A + C)$ (đpcm)

b) Ta có:

$\begin{array}{l} \sin α = \sin (180^{\circ} - α) \\ \Leftrightarrow \sin C = \sin (180^{\circ} - C) \end{array}$

Mặt khác ta có ABC là tam giác nên $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^{\circ} \Rightarrow 180^{\circ} - \hat{C} = \hat{A} + \hat{B}$

Suy ra $\sin C = \sin (A + B)$ (đpcm)

Bài 5 trang 69 SBT Toán 10 Tập 1: Chứng minh rằng với mọi góc $x (0^{\circ} \leq x \leq 90^{\circ})$ , ta đều có:

a) $\sin x = \sqrt{1 - \cos^{2} x}$

b) $\cos x = \sqrt{1 - \sin^{2} x}$

c) $\tan^{2} x = \frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x} (x \neq 90^{\circ})$ d) $\cot^{2} x = \frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} x} (x \neq 0^{\circ})$

Lời giải:

a) Theo định nghĩa ta có $\sin x = y_{0}, \cos x = x_{0}$

Với $(x_{0}, y_{0})$ là tọa độ điểm M sao cho $\hat{x O M} = x$

Ta có $x^{2} + y^{2} = 1 \Leftrightarrow \sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$

$\Rightarrow \sin^{2} x = 1 - \cos^{2} x$

Mà $0^{\circ} \leq x \leq 90^{\circ}$ nên $\sin x > 0$

$\Rightarrow \sin x = \sqrt{1 - \cos^{2} x}$

b) Tương tự câu a) ta có:

$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = 1 \Leftrightarrow \sin^{2} x + \cos^{2} x = 1 \\ \Rightarrow \cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x \end{array}$

Mà $0^{\circ} \leq x \leq 90^{\circ}$ nên $\cos x > 0$ $\Rightarrow \cos x = \sqrt{1 - \sin^{2} x}$

c) Với $x_{0} \neq 0$ ta có

$\tan x = \frac{y_{0}}{x_{0}} = \frac{\sin x}{\cos x}, \cos x \neq 0$

$\Rightarrow \tan^{2} x = {(\frac{\sin x}{\cos x})}^{2} \Rightarrow \tan^{2} x = \frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x}$ (với $\cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 90^{\circ}$ ) đpcm

c) Với $y_{0} \neq 0$ ta có

$\cot x = \frac{x_{0}}{y_{0}} = \frac{\cos x}{\sin x}, \sin x \neq 0$

$\Rightarrow \cot^{2} x = {(\frac{\cos x}{\sin x})}^{2} \Rightarrow \cot^{2} x = \frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} x}$ (với $\sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 0^{\circ}$ ) đpcm

Bài 6 trang 69 SBT Toán 10 Tập 1: Cho góc x với $\cos x = - \frac{1}{2}$ . Tính giá trị của biểu thức $S = 4 \sin^{2} x + 8 \tan^{2} x$

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l} \sin x = \sqrt{1 - \cos^{2} x} \Rightarrow \sin^{2} x = 1 - \cos^{2} x \\ \Rightarrow \sin^{2} x = 1 - {(- \frac{1}{2})}^{2} = \frac{3}{4} \end{array}$