Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180

Hoàng Huyền Trang Ngày: 13-02-2023 Lớp 10

670

Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 1. Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 sách Chân trời sáng tạo giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10 Tập 1. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180

1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

HĐ Khám phá 1 trang 61 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O bán kính $R = 1$ nằm phía trên trục hoành được gọi là nửa đường tròn đơn vị. Cho trước một góc nhọn $α,$ lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\hat{x O M} = α .$ Giả sử điểm M có tọa độ $(x_{0}; y_{0}) .$ Trong tam giác vuông OHM, áp dụng cách tính các tỉ số lượng giác của một góc nhọn đã học ở lớp 9, chứng tỏ rằng:

$\sin α = y_{0}; \cos α = x_{0}; \tan α = \frac{y_{0}}{x_{0}}; \cot α = \frac{x_{0}}{y_{0}} .$

HĐ Khám phá 1 trang 61 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 2)

Phương pháp giải:

Tam giác vuông OHM có $α = \hat{x O M}$

$\sin α = \frac{M H}{O M}; \cos α = \frac{O H}{O M}; \tan α = \frac{\sin α}{\cos α}; \cot α = \frac{\cos α}{\sin α} .$

Lời giải

Ta có: tam giác vuông OHM vuông tại H và s $α = \hat{x O M}$

Do đó: $\sin α = \frac{M H}{O M}; \cos α = \frac{O H}{O M} .$

Mà $M H = y_{0}; O H = x_{0}; O M = 1.$

$\Rightarrow \sin α = \frac{y_{0}}{1} = y_{0}; \cos α = \frac{x_{0}}{1} = x_{0} .$

$\Rightarrow \tan α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{y_{0}}{x_{0}}; \cot α = \frac{\cos α}{\sin α} = \frac{x_{0}}{y_{0}} .$

Câu hỏi trang 62 Toán 10

Thực hành 1 trang 62 Toán 10 Tập 1: Tìm các giá trị lượng giác của góc $135^{o}$

Phương pháp giải:

Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\hat{x O M} = 135^{o}$

Khi đó hoành độ và tung độ của điểm M lần lượt là các giá trị $\cos 135^{o}, \sin 135^{o}$

Từ đó suy ra $\tan 135^{o} = \frac{\sin 135^{o}}{\cos 135^{o}}, \cot 135^{o} = \frac{\cos 135^{o}}{\sin 135^{o}} .$

Lời giải

Lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\hat{x O M} = 135^{o}$ , H là hình chiếu vuông góc của M trên Oy.

Thực hành 1 trang 62 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Ta có: $\hat{M O y} = 135^{o} - 90^{o} = 45^{o}$ .

Tam giác OMH vuông cân tại H nên $O H = M H = \frac{O M}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Vậy tọa độ điểm M là $(- \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}) .$

Vậy theo định nghĩa ta có:

$\begin{array}{l} \sin 135^{o} = \frac{\sqrt{2}}{2}; \cos 135^{o} = - \frac{\sqrt{2}}{2}; \\ \tan 135^{o} = - 1; \cot 135^{o} = - 1. \end{array}$

Chú ý

Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính các giá trị lượng giác góc $135^{o}$

Với các loại máy tính fx-570 ES (VN hoặc VN PLUS) ta làm như sau:

Bấm phím “SHIFT” “MODE” rồi bấm phím “3” (để chọn đơn vị độ)

Tính $\sin 135^{o}$ , bấm phím: sin 1 3 5 $^{o}$ ’’’ = ta được kết quả là $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Tính $\cos 135^{o}$ ,bấm phím: cos 1 3 5 $^{o}$ ’’’ = ta được kết quả là $\frac{- \sqrt{2}}{2}$

Tính $\tan 135^{o}$ , bấm phím: tan 1 3 5 $^{o}$ ’’’ = ta được kết quả là $- 1$

(Để tính $\cot 135^{o}$ , ta tính $1 : \tan 135^{o}$ )

2. QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC BÙ NHAU

HĐ Khám phá 2 trang 62 Toán 10 Tập 1: Trên nửa đường tròn đơn vị, cho dây cung NM song song với trục Ox (Hình 4). Tính tổng số đo của hai góc $\hat{x O M}$ và $\hat{x O N} .$

HĐ Khám phá 2 trang 62 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Phương pháp giải:

Tính góc $\hat{x O N}$ theo góc $\hat{x O M} .$

Lời giải

Gọi H là hình chiếu vuông góc của N Ox.

HĐ Khám phá 2 trang 62 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 2)

Ta có: $\hat{N O H} = \hat{O N M} = \hat{O M N} = \hat{M O x} = α$ (do NM song song với Ox)

Mà $\hat{x O M} + \hat{N O H} = 180^{o}$

Suy ra $\hat{x O N} + \hat{M O x} = 180^{o}$

Câu hỏi trang 63 Toán 10

Thực hành 2 trang 63 Toán 10 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác: $\sin 120^{o}; \cos 150^{o}; \cot 135^{o} .$

Phương pháp giải:

$\begin{array}{l} \sin 120^{o} = \sin (180^{o} - 60^{o}); \\ \cos 150^{o} = - \cos (180^{o} - 30^{o}); \\ \cot 135^{o} = - \cot (180^{o} - 45^{o}) . \end{array}$

Lời giải

$\begin{array}{l} \sin 120^{o} = \sin (180^{o} - 60^{o}) = \sin 60^{o} = \frac{\sqrt{3}}{2}; \\ \cos 150^{o} = - \cos (180^{o} - 30^{o}) = - \cos 30^{o} = - \frac{\sqrt{3}}{2}; \\ \cot 135^{o} = - \cot (180^{o} - 45^{o}) = - \cot 45^{o} = - 1. \end{array}$

Vận dụng 1 trang 63 Toán 10 Tập 1: Cho biết $\sin α = \frac{1}{2},$ tìm góc $α (0^{o} \leq α \leq 180^{o})$ bằng cách vẽ nửa đường tròn đơn vị.

Phương pháp giải:

Vẽ nửa đường tròn đơn vị.

$\sin α = \frac{1}{2}$ nên lấy các điểm có tung độ là $\frac{1}{2}$ . Từ đó tính góc $α$ .

Lời giải

Gọi M là điểm thuộc nửa đường tròn đơn vị sao cho: $\hat{x O M} = α$

Do $\sin α = \frac{1}{2}$ nên tung độ của M bằng $\frac{1}{2} .$

Vậy ta xác định được hai điểm N và M thỏa mãn $\sin \hat{x O N} = \sin \hat{x O M} = \frac{1}{2}$

Vận dụng 1 trang 63 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 2)

Đặt $β = \hat{x O M} \Rightarrow \hat{x O N} = 180^{o} - β$

Xét tam giác OHM vuông tại H ta có: $M H = \frac{1}{2} = \frac{O M}{2} \Rightarrow β = 30^{o}$

$\Rightarrow \hat{x O N} = 180^{o} - 30^{o} = 150^{o}$

Vậy $α = 30^{o}$ hoặc $α = 150^{o}$

3. CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT SỐ GÓC ĐẶC BIỆT

Thực hành 3 trang 63 Toán 10 Tập 1: Tính: $A = \sin 150^{o} + \tan 135^{o} + \cot 45^{o}$

$B = 2 \cos 30^{o} - 3 \tan 150 + \cot 135^{o}$

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.

Toán 10 Bài 1. Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 | Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải

$A = \sin 150^{o} + \tan 135^{o} + \cot 45^{o}$

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$\sin 150^{o} = \frac{1}{2}; \tan 135^{o} = - 1; \cot 45^{o} = 1.$

$\Rightarrow A = \frac{1}{2} - 1 + 1 = \frac{1}{2} .$

$B = 2 \cos 30^{o} - 3 \tan 150 + \cot 135^{o}$

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$\cos 30^{o} = \frac{\sqrt{3}}{2}; \tan 150^{o} = - \frac{\sqrt{3}}{3}; \cot 135^{o} = - 1.$

$\Rightarrow B = 2. \frac{\sqrt{3}}{2} - 3. (- \frac{\sqrt{3}}{3}) + 1 = 5 \sqrt{3} + 1.$

Câu hỏi trang 64 Toán 10

Vận dụng 2 trang 64 Toán 10 Tập 1: Tìm góc $α (0^{o} \leq α \leq 180^{o})$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\sin α = \frac{\sqrt{3}}{2}$

b) $\cos α = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

c) $\tan α = - 1$

d) $\cot α = - \sqrt{3}$

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt để tìm góc.

Vận dụng 2 trang 63 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải

a) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng $\sin α$ ta có:

$\sin α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ với $α = 60^{o}$ và $α = 120^{o}$

b) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng $\cos α$ ta có:

$\cos α = \frac{- \sqrt{2}}{2}$ với $α = 135^{o}$

c) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng $\tan α$ ta có:

$\tan α = - 1$ với $α = 135^{o}$

d) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng $\cot α$ ta có:

$\cot α = - \sqrt{3}$ với $α = 150^{o}$

4. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ TÍNH CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC

Thực hành 4 trang 64 Toán 10 Tập 1: a) Tính $\cos 80^{o} 43^{'} 51^{″}; \tan 147^{o} 12^{'} 25^{″}; \cot 99^{o} 9^{'} 19^{″} .$

b) Tìm $α (0^{o} \leq α \leq 180^{o}),$ biết $\cos α = - 0, 723.$

Phương pháp giải

a) Sử dụng máy tính cầm tay, bấm liên tiếp các phím:

Thực hành 4 trang 64 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Để tính $\cot 99^{o} 9^{'} 19^{″}$ ta tính $1 : \tan 99^{o} 9^{'} 19^{″}$ .

b) Sử dụng máy tính cầm tay, bấm liên tiếp các phím:

Thực hành 4 trang 64 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 2)

Lời giải

$\begin{array}{l} \cos 80^{o} 43^{'} 51^{″} = 0, 161; \\ \tan 147^{o} 12^{'} 25^{″} = - 0, 644; \\ \cot 99^{o} 9^{'} 19^{″} = - 0, 161 \end{array}$

b) $α = 136^{o} 18^{'} 9, 81^{″} .$

Câu hỏi trang 65 Toán 10

Bài 1 trang 65 Toán 10 Tập 1: Cho biết $\sin 30^{o} = \frac{1}{2}; \sin 60^{o} = \frac{\sqrt{3}}{2}; \tan 45^{o} = 1.$ Sử dụng mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau, phụ nhau để tính giá trị của $E = 2 \cos 30^{o} + \sin 150^{o} + \tan 135^{o} .$

Phương pháp giải

$\cos 30 ° = \sin (90 ° - 30 °) = \sin 60 ° \sin 150 ° = \sin (180 ° - 150 °) = \sin 50 ° \tan 135 ° = - \tan (180 ° - 135 °) = - \tan 45 °$

Lời giải

Ta có:

$\begin{array}{l} \cos 30^{o} = \sin (90^{o} - 30^{o}) = \sin 60^{o} = \frac{\sqrt{3}}{2}; \\ \sin 150^{o} = \sin (180^{o} - 150^{o}) = \sin 30^{o} = \frac{1}{2}; \\ \tan 135^{o} = - \tan (180^{o} - 135^{o}) = - \tan 45^{o} = - 1 \end{array}$

$\Rightarrow E = 2. \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} - 1 = \sqrt{3} - \frac{1}{2} .$

Bài 2 trang 65 Toán 10 Tập 1: Chứng minh các hệ thức sau:

a) $\sin 20^{o} = \sin 160^{o}$

b) $\cos 50^{o} = - \cos 130^{o}$

Phương pháp giải

$\begin{array}{l} \sin (180^{o} - α) = \sin α \\ \cos (180^{o} - α) = - \cos α \end{array}$ $(0^{o} \leq α \leq 180^{o})$

Lời giải

a) $\sin 20^{o} = \sin (180^{o} - 160^{o}) = \sin 160^{o}$

b) $\cos 50^{o} = \cos (180^{o} - 130^{o}) = - \cos 130^{o}$

Bài 3 trang 65 Toán 10 Tập 1: Tìm góc $α (0^{o} \leq α \leq 180^{o})$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\cos α = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

b) $\sin α = 0$

c) $\tan α = 1$

d) $\cot α$ không xác định.

Phương pháp giải

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt để tìm góc.

Bài 3 trang 65 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 2)

Lời giải

a) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng $\cos α$ ta có:

$\cos α = \frac{- \sqrt{2}}{2}$ với $α = 135^{o}$

b) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng $\sin α$ ta có:

$\sin α = 0$ với $α = 0^{o}$ và $α = 180^{o}$

c) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng $\tan α$ ta có:

$\tan α = 1$ với $α = 45^{o}$

d) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng $\cot α$ ta có:

$\cot α$ không xác định với $α = 0^{o}$

Bài 4 trang 65 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) $\sin A = \sin (B + C)$

b) $\cos A = - \cos (B + C)$

Phương pháp giải

$\begin{array}{l} \sin (180^{o} - A) = \sin A \\ \cos (180^{o} - A) = - \cos A \end{array}$ $(0^{o} \leq \hat{A} \leq 180^{o})$

Lời giải

$\sin (B + C) = \sin (180^{o} - A) = \sin A$

Vậy $\sin A = \sin (B + C)$

$\cos (B + C) = \cos (180^{o} - A) = - \cos A$

Vậy $\cos A = - \cos (B + C)$

Bài 5 trang 65 Toán 10 Tập 1: Chứng minh rằng với mọi góc $α (0^{o} \leq α \leq 180^{o})$ , ta đều có:

Lời giải a

a) $\cos^{2} α + \sin^{2} α = 1$

Phương pháp giải:

Lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $α = \hat{x O M}$

Bài 5 trang 65 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

$\sin α = \frac{M H}{O M}; \cos α = \frac{O H}{O M}; \tan α = \frac{\sin α}{\cos α}; \cot α = \frac{\cos α}{\sin α} .$

Lời giải

Trên nửa đường tròn đơn vị, lấy điểm M sao cho $\hat{x O M} = α$

Gọi H, K lần lượt là các hình chiếu vuông góc của M trên Ox, Oy.

Bài 5 trang 65 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 2)

Ta có: tam giác vuông OHM vuông tại H và $α = \hat{x O M}$

Do đó: $\sin α = \frac{M H}{O M} = M H; \cos α = \frac{O H}{O M} = O H .$

$\Rightarrow \cos^{2} α + \sin^{2} α = O H^{2} + M H^{2} = O M^{2} = 1$

Lời giải b

b) $\tan α . \cot α = 1 (0^{o} < α < 180^{o}, α \neq 90^{o})$

Lời giải

Ta có:

$\begin{array}{l} \tan α = \frac{\sin α}{\cos α}; \cot α = \frac{\cos α}{\sin α} . \\ \Rightarrow \tan α . \cot α = \frac{\sin α}{\cos α} . \frac{\cos α}{\sin α} = 1 \end{array}$

Lời giải c

c) $1 + \tan^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α} (α \neq 90^{o})$

Lời giải

Với $α \neq 90^{o}$ ta có:

$\begin{array}{l} \tan α = \frac{\sin α}{\cos α}; \\ \Rightarrow 1 + \tan^{2} α = 1 + \frac{\sin^{2} α}{\cos^{2} α} = \frac{\sin^{2} α + \cos^{2} α}{\cos^{2} α} = \frac{1}{\cos^{2} α} \end{array}$

Lời giải d

d) $1 + \cot^{2} α = \frac{1}{\sin^{2} α} (0^{o} < α < 180^{o})$

Lời giải

Ta có:

$\begin{array}{l} \cot α = \frac{\cos α}{\sin α}; \\ \Rightarrow 1 + \cot^{2} α = 1 + \frac{\cos^{2} α}{\sin^{2} α} = \frac{\sin^{2} α + \cos^{2} α}{\sin^{2} α} = \frac{1}{\sin^{2} α} \end{array}$

Bài 6 trang 65 Toán 10 Tập 1: Cho góc $α$ với $\cos α = - \frac{\sqrt{2}}{2} .$ Tính giá trị của biểu thức $A = 2 \sin^{2} α + 5 \cos^{2} α .$

Phương pháp giải

Sử dụng đẳng thức $\cos^{2} α + \sin^{2} α = 1$ $A = 2 \sin^{2} α + 5 \cos^{2} α .$

Lời giải

Ta có: $A = 2 \sin^{2} α + 5 \cos^{2} α = 2 (\sin^{2} α + \cos^{2} α) + 3 \cos^{2} α$

Mà $\cos^{2} α + \sin^{2} α = 1; \cos α = - \frac{\sqrt{2}}{2} .$

$\Rightarrow A = 2 + 3. {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} = 2 + 3. \frac{1}{2} = \frac{7}{2} .$

Bài 7 trang 65 Toán 10 Tập 1: Dùng máy tính cầm tay, hãy thực hiện các yêu cầu dưới đây:

a) Tính $\sin 168^{o} 45^{'} 33^{″}; \cos 17^{o} 22^{'} 35^{″}; \tan 156^{o} 26^{'} 39^{″}; \cot 56^{o} 36^{'} 42^{″} .$

b) Tìm $α (0^{o} \leq α \leq 180^{o}),$ trong các trường hợp sau:

i) $\sin α = 0, 862.$

ii) $\cos α = - 0, 567.$

iii) $\tan α = 0, 334.$

Phương pháp giải

a) Để tính $\sin 168^{o} 45^{'} 33^{″}$ , bấm liên tiếp các phím:

Bài 7 trang 65 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Để tính $\cot 56^{o} 36^{'} 42^{″}$ ta tính $1 : \tan 56^{o} 36^{'} 42^{″}$ .

b) Để tìm $α$ biết $\sin α = 0, 862$ , bấm liên tiếp các phím:

Bài 7 trang 65 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 2)

Lời giải

$\begin{array}{l} \sin 168^{o} 45^{'} 33^{″} = 0, 195; \\ \cos 17^{o} 22^{'} 35^{″} = 0, 954; \\ \tan 156^{o} 26^{'} 39^{″} = - 0, 436; \\ \cot 56^{o} 36^{'} 42^{″} = 0, 659 \end{array}$

i) $α = 59^{o} 32^{'} 30, 8^{″} .$

ii) $α = 124^{o} 32^{'} 28, 65^{″} .$

iii) $α = 18^{o} 28^{'} 9, 55^{″} .$

Lý thuyết Bài 1. Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180

1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

+) Với mỗi góc $α (0^{o} \leq α \leq 180^{o})$ có duy nhất điểm $M (x_{0}; y_{0})$ trên nửa đường tròn đơn vị để $\hat{x O M} = α .$ Khi đó:

$\sin α = y_{0}$ là tung độ của M

$\cos α = x_{0}$ là hoành độ của M

$\tan α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{y_{0}}{x_{0}} (α \neq 90^{o})$

$\cot α = \frac{\cos α}{\sin α} = \frac{x_{0}}{y_{0}} (α \neq 0^{o}, α \neq 180^{o})$

2. QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC BÙ NHAU

Hai góc bù nhau, $α$ và $180^{o} - α$ :

$\begin{array}{l} \sin (180^{o} - α) = \sin α \\ \cos (180^{o} - α) = - \cos α \\ \tan (180^{o} - α) = - \tan α (α \neq 90^{o}) \\ \cot (180^{o} - α) = - \cot α (0^{o} < α < 180^{o}) \end{array}$

Hai góc phụ nhau, $α$ và $90^{o} - α$ :

$\begin{array}{l} \sin (90^{o} - α) = \cos α \\ \cos (90^{o} - α) = \sin α \\ \tan (90^{o} - α) = \cot α (α \neq 90^{o}, 0^{o} < α < 180^{o}) \\ \cot (90^{o} - α) = \tan α (α \neq 90^{o}, 0^{o} < α < 180^{o}) \end{array}$