Toptailieu.vn xin giới thiệu 15 câu trắc nghiệm Giải tam giác và ứng dụng thực tế (có đáp án) chọn lọc, hay nhất giúp học sinh lớp 10 ôn luyện kiến thức để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán.

Mời các bạn đón xem:

15 câu trắc nghiệm Giải tam giác và ứng dụng thực tế (có đáp án) chọn lọc

Câu 1. Cho tam giác ABC, biết BC = 24, AC = 13, AB = 15. Số đo góc A là:

A. 28°37';

B. 33°34';

C. 58°24';

D. 117°49'.

Đáp án: D

Áp dụng hệ quả định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

cosA=AB2+AC2−BC22.AB.AC=152+132−2422.15.13=−715cosA=AB2+AC2−BC22.AB.AC=152+132−2422.15.13=−715

Do đó ˆA≈117°49'.A^≈117°49'.

Vậy ˆA≈117°49'.A^≈117°49'.

Câu 2. Tam giác ABC có ˆA=68°12',ˆB=34°44',A^=68°12',B^=34°44', AB = 117. Độ dài cạnh AC là khoảng:

A. 68;

B. 118;

C. 168;

D. 200.

Đáp án: A

Xét tam giác ABC có ˆA=68°12',ˆB=34°44',A^=68°12',B^=34°44', ta có:

ˆA+ˆB+ˆC=180°A^+B^+C^=180° (định lí tổng ba góc trong tam giác)

⇒ˆC=180°−ˆA−ˆB⇒C^=180°−A^−B^

⇒ˆC=180°−68°12'−34°44'=77°4'.⇒C^=180°−68°12'−34°44'=77°4'.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: ACsinB=ABsinCACsinB=ABsinC

⇒AC=AB.sinBsinC=117.sin34°44'sin77°4'≈68.⇒AC=AB.sinBsinC=117.sin34°44'sin77°4'≈68.

Vậy AC ≈ 68.

Câu 3. Tam giác ABC có AB=√2;AC=√3AB=2;AC=3 và ˆC=45°C^=45° . Độ dài cạnh BC là:

A. BC=√6−√22;BC=6−22;

B. BC=√6+√22;BC=6+22;

C. BC=√5;BC=5;

D. BC=√6.BC=6.

Đáp án: B

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

AB² = AC² + BC² – 2.AC.BC.cosC

⇒(√2)2=(√3)2+BC2−2.√3.BC.cos45°⇒22=32+BC2−2.3.BC.cos45°

⇒BC2−√6.BC+1=0⇒BC2−6.BC+1=0

⇒BC=√6+√22⇒BC=6+22(vì BC > 0)

Vậy BC=√6+√22.BC=6+22.

Câu 4. Cho tam giác ABC có AB=√3+1,AC=√6,AB=3+1,AC=6, BC = 2. Số đo của ˆB−ˆAB^−A^ là:

A. 20°;

B. 25°;

C. 30°;

D. 35°;

Đáp án: B

Áp dụng hệ quả định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

+) cosA=AB2+AC2−BC22.AB.AC=(√3+1)2+(√6)2−222.(√3+1)√6=√22cosA=AB2+AC2−BC22.AB.AC=3+12+62−222.3+16=22

+) cosB=AB2+BC2−AC22.AB.BC=(√3+1)2+22−(√6)22.(√3+1).2=12cosB=AB2+BC2−AC22.AB.BC=3+12+22−622.3+1.2=12

Do đó ˆB−ˆA=60°−45°=25°.B^−A^=60°−45°=25°.

Vậy ˆB−ˆA=25°.B^−A^=25°.

Câu 5. Tam giác ABC có góc A nhọn, AB = 5, AC = 8, diện tích bằng 12. Độ dài cạnh BC là khoảng:

A. 2√3;23;

B. 3√2;32;

C. 4;

D. 5.

Đáp án: D

Diện tích tam giác ABC là: S=12.AB.AC.sinA⇒sinA=2SAB.ACS=12.AB.AC.sinA⇒sinA=2SAB.AC

⇒sinA=2.125.8=35⇒ˆA≈36°52'⇒sinA=2.125.8=35⇒A^≈36°52' (vì góc A là góc nhọn)

Xét tam giác ABC có AB = 5, AC = 8 và ˆA≈36°52'A^≈36°52', áp dụng định lí côsin ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA

BC² ≈ 5² + 8² – 2.5.8.cos36°52' ≈ 25

Þ BC ≈ 5.

Vậy BC ≈ 5.

Câu 6. Cho tam giác ABC có AB = 5, ˆA=40°,ˆB=60°.A^=40°,B^=60°. Độ dài BC gần nhất với kết quả nào?

A. 3,1;

B. 3,3;

C. 3,5;

D. 3,7.

Đáp án: B

Xét tam giác ABC có ˆA=40°,ˆB=60°,A^=40°,B^=60°, ta có:

ˆA+ˆB+ˆC=180°A^+B^+C^=180°(định lí tổng ba góc trong tam giác)

⇒ˆC=180°−ˆA−ˆB⇒C^=180°−A^−B^

⇒ˆC=180°−40°−60°=80°.⇒C^=180°−40°−60°=80°.

Theo định lí sin ta có: BCsinA=ABsinCBCsinA=ABsinC

⇒BC=AB.sinAsinC=5.sin40°sin80°≈3,3⇒BC=AB.sinAsinC=5.sin40°sin80°≈3,3

Vậy BC ≈ 3,3.

Câu 7. Cho tam giác ABC. Biết AB = 2, BC = 3 và ˆABC=60°ABC^=60°. Chu vi và diện tích tam giác ABC lần lượt là:

A. 5+√75+7 và 32;32;

B. 5+√75+7 và 3√32;332;

C. 5+√195+19 và 32;32;

D. 5+√195+19 và 3√32;332;

Đáp án: B

Xét tam giác ABC có AB = 2, BC = 3 và ˆABC=60°,ABC^=60°, áp dụng định lí côsin ta có:

AC² = AB² + BC² – 2.AB.BC.cosˆABCcosABC^

=> AC² = 2² + 3² – 2.2.3.cos60° = 7 ⇒AC=√7⇒AC=7

Do đó chu vi tam giác ABC là: AB + AC + BC =2+3+√7=5+√7.=2+3+7=5+7.

Diện tích tam giác ABC là:

S=12.BA.BC.sinˆABC=12.2.3.sin60°=3√32S=12.BA.BC.sinABC^=12.2.3.sin60°=332(đơn vị diện tích).

Vậy chu vi và diện tích tam giác ABC lần lượt là: 5+√75+7 và 3√32.332.

Câu 8. Tam giác ABC vuông tại B. Trên cạnh AC lấy hai điểm M, N sao cho các góc ˆABM,ˆMBN,ˆNBCABM^,MBN^,NBC^ bằng nhau. Đặt AB = q, BC = m, BM = x, BN = y. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng?

A. AM = MN = NC;

B. AM² = q² + x² – xq;

C. AN² = q² + y² – yq;

D. AC² = q² + m² – 2qm.

Đáp án: C

Ta có ˆABM=ˆMBN=ˆNBC=ˆABC3=90°3=30°ABM^=MBN^=NBC^=ABC^3=90°3=30°

⇒ˆABN=ˆMBC=60°⇒ABN^=MBC^=60°

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABM ta có:

AM² = AB² + BM² – 2.AB.BM.cosˆABMcosABM^

=> AM² = q² + x² – 2.q.x.cos30°

⇒AM2=q2+x2−2.q.x.√32=q2+x2−qx√3.⇒AM2=q2+x2−2.q.x.32=q2+x2−qx3. (1)

Do đó phương án B là mệnh đề sai.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABN ta có:

AN² = AB² + BN² – 2.AB.BN.cosˆABNcosABN^

Þ AN² = q² + y² – 2.q.y.cos60°

⇒AN2=q2+y2−2.q.y.12=q2+y2−qy.⇒AN2=q2+y2−2.q.y.12=q2+y2−qy. (2)

Do đó phương án C là mệnh đề đúng.

Từ (1) và (2) suy ra AM² ≠ AN² nên phương án A là mệnh đề sai.

Tam giác ABC vuông tại B nên AC² = AB² + BC² = q² + m².

Do đó phương án D là mệnh đề sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 9. Để đo chiều cao từ mặt đất đến đỉnh cột cờ của một kỳ đài trước Ngọ Môn (Đại Nội – Huế), người ta cắm hai cọc AM và BN cao 1,5 mét so với mặt đất. Hai cọc này song song và cách nhau 10 mét và thẳng hàng so với tim cột cờ (Hình vẽ minh họa). Đặt giác kế tại đỉnh A và B để nhắm đến đỉnh cột cờ, người ta được các góc lần lượt là 51°40' và 45°39' so với đường song song mặt đất.

Chiều cao của cột cờ (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai) là:

A. 54,33 m;

B. 54,63 m;

C. 55,01 m;

D. 56,88 CH=AC.sinˆCAHCH=AC.sinCAH^m.

Đáp án: C

Ta có ˆCAB=180°−51°40'=128°20'CAB^=180°−51°40'=128°20'

Xét tam giác ABC ta có: ˆCAB+ˆABC+ˆACB=180°CAB^+ABC^+ACB^=180° (định lí tổng ba góc trong tam giác)

⇒ˆACB=180°−ˆCAB−ˆABC⇒ACB^=180°−CAB^−ABC^

⇒ˆACB=180°−128°20'−45°39'=6°1'.⇒ACB^=180°−128°20'−45°39'=6°1'.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: ACsinˆABC=ABsinˆACBACsinABC^=ABsinACB^

⇒ACsin45°39'=10sin6°1'⇒ACsin45°39'=10sin6°1' ⇒AC=10.sin45°39'sin6°1'⇒AC=10.sin45°39'sin6°1'

Xét tam giác ACH vuông tại H có:

⇒CH=10.sin45°39'sin6°1'.sin51°40'⇒CH=10.sin45°39'sin6°1'.sin51°40' ≈ 53,51 (m)

Chiều cao của cột cờ là khoảng: 1,5 + 53,51 = 55,01 (m)

Vậy cột cờ cao khoảng 55,01 m.

Câu 10. Trong khi khai quật một ngôi mộ cổ, các nhà khảo cổ học đã tìm được một chiếc đĩa cổ hình tròn bị vỡ, các nhà khảo cổ muốn khôi phục hình dạng chiếc đĩa này. Để xác định bán kính của chiếc đĩa, các nhà khảo cổ lấy 3 điểm trên chiếc đĩa và tiến hành đo đạc thu được kết quả như hình vẽ (AB = 4,3 cm; BC = 3,7 cm; CA = 7,5 cm).

Bán kính của chiếc đĩa này bằng (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai):

A. 5,73 cm;

B. 6,01 cm;

C. 5,85 cm;

D. 4,57 cm.

Đáp án: A

Bán kính R của chiếc đĩa bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Nửa chu vi của tam giác ABC là: p=AB+AC+BC2=4,3+7,5+3,72=314(cm)p=AB+AC+BC2=4,3+7,5+3,72=314cm

Diện tích tam giác ABC theo công thức Heron là:

S=√p(p−AB)(p−AC)(p−BC)≈5,2(cm2)S=pp−ABp−ACp−BC≈5,2cm2

Mặt khác: S=AB.AC.BC4R⇒R=AB.AC.BC4S≈4,3.7,5.3,74.5,2≈5,73(cm)S=AB.AC.BC4R⇒R=AB.AC.BC4S≈4,3.7,5.3,74.5,2≈5,73cm

Vậy bán kính của chiếc đĩa là khoảng 5,73 cm.

Câu 11. Vào lúc 9 giờ sáng, hai vận động viên A và B xuất phát từ cùng một vị trí O. Vận động viên A chạy với vận tốc 13 km/h theo một góc so với hướng Bắc là 15°, vận động viên B chạy với vận tốc 12 km/h theo một góc so với hướng Bắc là 135° (hình vẽ).

Tại thời điểm nào thì vận động viên A cách vận động viên B một khoảng 10 km (làm tròn kết quả đến phút)?

A. 29 phút;

B. 9 giờ 29 phút;

C. 30 phút;

D. 9 giờ 30 phút.

Đáp án: B

Gọi x giờ (x > 0) là khoảng thời gian kể từ khi bắt đầu chạy từ điểm O đến khi hai vận động viên cách nhau 10 km.

Khi đó đoạn đường mà vận động viên A chạy được là 13x (km);

Đoạn đường mà vận động viên B chạy được là 12x (km).

Theo hình vẽ trên ta có: AB = 10, OA = 13x, OB = 12x và ˆAOB=135°−15°=120°AOB^=135°−15°=120°

Áp dụng định lí côsin trong tam giác OAB ta có:

AB² = OA² + OB² – 2.OA.OB.sinˆAOBsinAOB^

⇒⇒ 10² = (13x)² + (12x)² – 2.13x.12x.sin120°

⇒102=169x2+144x2−312x2.√32⇒102=169x2+144x2−312x2.32

⇒102=(313−156√3)x2⇒102=313−1563x2

⇒x2=10313−156√3⇒x2=10313−1563⇒⇒ x ≈ 0,483 (giờ) (vì x > 0) ≈ 29 phút.

Do đó thời điểm mà hai vận động viên cách nhau 10 km là khoảng: 9 giờ 29 phút.

Vậy vào khoảng 9 giờ 29 phút thì hai vận động viên sẽ cách nhau 10 km.

Câu 12. Giả sử CD = h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp. Cho hai điểm A, B trên mặt đất sao cho ba điểm A, B và C thẳng hàng. Ta đo được AB = 24 m, ˆCAD=63°,ˆCBD=48°.CAD^=63°,CBD^=48°.

Chiều cao h của tháp gần với giá trị nào sau đây?

A. 18 m;

B. 19,5 m;

C. 60 m;

D. 61,5 m.

Đáp án: D

Xét tam giác ABD ta có: α=ˆADB+βα=ADB^+β (tính chất góc ngoài của tam giác)

⇒ˆADB=α−β=63°–48°=15°.⇒ADB^=α−β=63°–48°=15°.

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABD, ta có: ADsinB=ABsinˆADBADsinB=ABsinADB^

⇒AD=ABsinˆADB.sinB=24sin15°.sin48°≈68,91(m)⇒AD=ABsinADB^.sinB=24sin15°.sin48°≈68,91m

Trong tam giác vuông ACD, có h = CD = AD.sinα

⇒⇒ h ≈ 68,91.sin63° ≈ 61,4 (m)

Vậy kết quả gần với phương án D nhất nên ta chọn phương án D.

Câu 13. Cho tam giác ABC thỏa mãn: cosA.sinB−C2=0cosA.sinB−C2=0. Khi đó ABC là một tam giác:

A. Tam giác vuông;

B. Tam giác cân;

C. Tam giác vuông hoặc cân;

D. Tam giác đều.

Đáp án: C

Ta có:

⇒⇒ DABC vuông tại A hoặc DABC cân tại A.

Vậy DABC vuông tại A hoặc DABC cân tại A.

Câu 14. Từ hai vị trí A và B của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C của ngọn núi. Biết rằng độ cao AB = 70 m, phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 30°, phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15°30' (hình vẽ).

Ngọn núi đó có độ cao CH so với mặt đất gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. 135 m;

B. 234 m;

C. 165 m;

D. 195 CH=AC.sinˆCAH≈269,4.sin30°≈134,7(m)CH=AC.sinCAH^≈269,4.sin30°≈134,7mm.

Đáp án: A

Từ hình vẽ ta có ˆABC=90°+15°30'=105°30'ABC^=90°+15°30'=105°30'

Xét tam giác ABC có ta có: ˆCAB=60°,ˆABC=105°30'CAB^=60°,ABC^=105°30'

ˆCAB+ˆABC+ˆACB=180°CAB^+ABC^+ACB^=180°(định lí tổng ba góc trong tam giác)

⇒ˆACB=180°−ˆCAB−ˆABC⇒ACB^=180°−CAB^−ABC^

⇒ˆACB=180°−60°−105°30'=14°30'.⇒ACB^=180°−60°−105°30'=14°30'.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có: ACsinˆABC=ABsinˆACBACsinABC^=ABsinACB^

⇒AC=AB.sinˆABCsinˆACB=70.sin105°30'sin14°30'≈269,4(m)⇒AC=AB.sinABC^sinACB^=70.sin105°30'sin14°30'≈269,4m

Tam giác ACH vuông tại H nên ta có: CH=AC.sinˆCAH≈269,4.sin30°≈134,7(m)CH=AC.sinCAH^≈269,4.sin30°≈134,7m

Vậy ngọn núi cao khoảng 135 m.

Câu 15. Trong sơ đồ, chùm sáng S hướng vào gương màu xanh, phản xạ vào gương màu đỏ và sau đó phản xạ vào gương màu xanh như hình vẽ. Biết OP = 2 m, OQ=√2+√6OQ=2+6m.

Khi đó đoạn PT bằng:

A. 2√63m;263m;

B. 2√33m;233m;

C. 2√23m;223m;

D. √63m.63m.

Đáp án: A

Ta có: ˆSQB=ˆPQT=α,ˆTPO=βSQB^=PQT^=α,TPO^=β

Áp dụng định lí côsin trong tam giác OPQ ta có:

PQ² = OP² + OQ² – 2.OP.OQ.cosˆPOQPOQ^

⇒PQ2=22+(√2+√6)2–2.2.(√2+√6).cos45°⇒PQ2=22+2+62–2.2.2+6.cos45°⇒⇒ PQ² = 8 ⇒PQ=2√2(m)⇒PQ=22m

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác OPQ ta có:

cosα=cosˆOQP=OQ2+PQ2−OP22.OQ.PQ=(√2+√6)2+8−222.(√2+√+6).2√2=√32.cosα=cosOQP^=OQ2+PQ2−OP22.OQ.PQ=2+62+8−222.2++6.22=32.

⇒⇒ α = 30°

Xét tam giác POQ có: β = 45° + α (tính chất góc ngoài của tam giác)

⇒⇒ β = 45° + 30° = 75° ⇒ˆTPO=75°⇒TPO^=75°

Xét tam giác OTP ta có: ˆOTP+ˆTOP+ˆTPO=180°OTP^+TOP^+TPO^=180°(định lí tổng ba góc trong tam giác)

Hay ˆOTP+45°+75°=180°OTP^+45°+75°=180°

⇒ˆOTP=180°−45°−75°=60°⇒OTP^=180°−45°−75°=60°

Áp dụng định lí sin cho tam giác OTP ta có: OPsinˆOTP=PTsinˆTOPOPsinOTP^=PTsinTOP^

⇒2sin60°=PTsin45°⇒PT=2.sin45°sin60°=2.√22√32=2√63.⇒2sin60°=PTsin45°⇒PT=2.sin45°sin60°=2.2232=263.

Vậy PT=2√63.