Chuyên đề Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 6: Hypebol

2.3 K

Toptailieu.vn giới thiệu giải bài tập Chuyên đề Toán 10 Bài 6: Hypebol sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề học tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Chuyên đề Toán 10 Bài 6: Hypebol

1. Tính đối xứng của đường hypebol

Khám phá 1 trang 50 Chuyên đề Toán 10: Cho hypebol (H) với phương trình chính tắc x02a2-y02b2=1 và điểm M(x0; y0) nằm trên (H). Các điểm M1(–x0; y0), M2(x0; –y0), M3(–x0; –y0) có thuộc (H) không?

Lời giải:

Nếu điểm M(x0; y0) thuộc (H) thì ta có: x02a2-y02b2=1.

Ta có: x02a2-(-y0)2b2=(-x0)2a2-y02b2=(-x0)2a2-(-y0)2b2=x02a2-y02b2=1 nên các điểm có toạ độ M1(–x0; y0), M2(x0; –y0), M3(–x0; –y0) cũng thuộc (H).

Thực hành 1 trang 51 Chuyên đề Toán 10: Viết phương trình chính tắc của hypebol có kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6. Xác định đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, độ dài trục của hypebol này.

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là x2a2-y2b2=1(a > 0, b > 0).

Hypebol kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6, suy ra 2a = 8, 2b = 6, suy ra a = 4 và b = 3.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là x216-y29=1.

Có c2 = a2 + b2 = 42 + 32 = 25, suy ra c = 5.

Toạ độ các đỉnh của hypebol là A1(–4; 0) và A2(4; 0).

Toạ độ các tiêu điểm của hypebol là F1(–5; 0) và F2(5; 0).

Tiêu cự của hypebol là 2c = 10.

Độ dài trục thực là 2a = 8, độ dài trục ảo là 2b = 6.

Vận dụng 1 trang 51 Chuyên đề Toán 10: Khi bay với vận tốc siêu thanh (tốc độ chuyển động lớn hơn tốc độ âm thanh trong cùng môi trường), một máy bay tạo ra một vùng nhiễu động trên mặt đất dọc theo một nhánh của hypebol (H) (Hình 4). Phần nghe rõ nhất tiếng ồn của vùng nói trên được gọi là thảm nhiễu động. Bề rộng của thảm này gấp khoảng 5 lần cao độ của máy bay. Tính cao độ của máy bay, biết bề rộng của thảm nhiễu động được đo cách phía sau máy bay một khoảng là 40 mile (mile (dặm) là đơn vị đo khoảng cách, 1 mile ≈ 1,6 km ) và (H) có phương trình: x2400-y2100=1.

 (ảnh 6)

Lời giải:

Khi x = 40 thì 402400-y2100=1y2100=3y2=300[y=103y=-103

 Bề rộng của thảm nhiễu là 203 (mile)

 Cao độ của máy bay là 2035=43≈ 6,93 (mlie)

Vậy cao độ của máy bay là khoảng 6,93 dặm.

2. Bán kính qua tiêu

Khám phá 2 trang 52 Chuyên đề Toán 10: Cho điểm M(x; y) nằm trên hypebol (H):x2a2-y2b2=1

a) Chứng minh rằng F1M2 – F2M2 = 4cx.

b) Giả sử điểm M(x; y) thuộc nhánh đi qua A1(–a; 0) (Hình 5a). Sử dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) kết hợp với tính chất MF2 – MF1 = 2a đã biết để chứng minh F2+MF1=-2cxa. Từ đó, chứng minh các công thức: F1=-a-caxF2=a-cax.

c) Giả sử điểm M(x; y) thuộc nhánh đi qua A2(a; 0) (Hình 5 b). Sử dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) kết hợp với tính chất MF1 – MF2 = 2a đã biết để chứng minh F2+MF1=2cxa. Từ đó, chứng minh các công thức: F1=a+caxF2=-a+cax.

Cho điểm M(x; y) nằm trên hypebol (H) x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1

Lời giải:

a) F1M2 = [x – (– c)]2 + (y – 0)2 = (x + c)2 + y2 = x2 + 2cx + c2 + y2;

F2M2 = (x – c)2 + (y – 0)2 = x2 – 2cx + c2 + y2.

F1M2 – F2M2 = (x2 + 2cx + c2 + y2) – (x2 – 2cx + c2 + y2) = 4cx.

b) Ta có: MF12 – MF22 = 4cx  (MF1 + MF2)(MF1 – MF2) = 4cx  (MF1 + MF2)(–2a) = 4cx

 MF1 + MF2 = 4cx2a = –2cax. Khi đó:

(MF1 + MF2) + (MF1 – MF2) = –2cax + (–2a)  2MF1 = –2cax – 2a

 MF1 = -(cax+a)=-a-cax.

(MF1 + MF2) – (MF1 – MF2) = –2cax– (–2a)  2MF2 = –2cax + 2a

 MF2 =  a –cax.

c) Ta có: MF12 – MF22 = 4cx  (MF1 + MF2)(MF1 – MF2) = 4cx  (MF1 + MF2)2a = 4cx

 MF1 + MF2 = 4cx2a = 2cax. Khi đó:

(MF1 + MF2) + (MF1 – MF2) = 2cax + 2a  2MF1 = 2cax + 2a

 MF1 = a + cax.

(MF1 + MF2) – (MF1 – MF2) = 2cax – 2a  2MF2 = 2cax– 2a

MF2 = – a + cax.

Thực hành 2 trang 52 Chuyên đề Toán 10: Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(x; y) trên hypebol (H) : x264-y236 =1

Lời giải:

Có a2 = 64, b2 = 36, suy ra a = 8, b = 6, c = a2+b2=64+36=100=10.

Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(x; y) là:

MF1 = |a+cax|=|8+108x|=|8+54x|; MF2 = |a-cax|=|8-108x|=|8-54x|.

Vận dụng 2 trang 53 Chuyên đề Toán 10: Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của đỉnh A2(a; 0) trên hypebol (H): x2a2-y2b2=1

Lời giải:

Độ dài hai bán kính qua tiêu của đỉnh A2(a; 0) là:

A2F1 = |a+cax|=|a+caa|=|a+c|=a+c (vì a + c > 0 );

A2F2 = |a-cax|=|a-caa|=|a-c|=c-a (vì a – c < 0).

3. Tâm sai

Khám phá 3 trang 53 Chuyên đề Toán 10: Cho hypebol (H): x2a2=y2b2=1. Chứng tỏ rằng ca>1

Lời giải:

Có ca=a2+b2a=a2+b2a2=1+b2a2>1=1.

Thực hành 3 trang 53 Chuyên đề Toán 10: Tìm tâm sai của các hypebol sau:

a) (H1):x24-y21=1;

b) (H2):x29-y225=1;

c) (H3):x23-y23=1.

Lời giải:

a) Có a2 = 4, b2 = 1, suy ra a = 2, b = 1, c = a2+b2=4+1=5

 tâm sai của hypebol là e = ca=52.

b) Có a2 = 9, b2 = 25, suy ra a = 3, b = 5, c = a2+b2=9+25=31

 tâm sai của hypebol là e = ca=313.

c) Có a2 = 3, b2 = 3, suy ra a = 3 b = 3 c = a2+b2=3+3=6

 tâm sai của hypebol là e = ca=63=2.

Vận dụng 3 trang 53 Chuyên đề Toán 10: Cho hypebol (H) có tâm sai bằng 2. Chứng minh trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau

Lời giải:

Giả sử hypebol (H) có phương trình chính tắc là x2a2-y2b2=1(a > 0, b > 0).

Hypebol (H) có tâm sai bằng 2ca=2

a2+b2a=2a2+b2a2=2a2+b2=2a2a2=b2a=b2a=2b.

Vậy trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau.

Vận dụng 4 trang 53 Chuyên đề Toán 10: Một vật thể có quỹ đạo là một nhánh của hypebol (H), nhận tâm Mặt Trời làm tiêu điểm (Hình 6). Cho biết tâm sai của (H) bằng 1,2 và khoảng cách gần nhất giữa vật thể và tâm Mặt Trời là 2 . 108 km

a) Lập phương trình chính tắc của (H).

b) Lập công thức tính bán kính qua tiêu của vị trí M(x; y) của vật thể trong mặt phẳng toạ độ.

 (ảnh 1)

Lời giải:

a) Chọn hệ trục toạ độ sao cho tiêu điểm F2 của (H) trùng với tâm Mặt Trời, trục Ox đi qua đỉnh và tiêu điểm này của (H), đơn vị trên các trục là km.

Gọi phương trình chính tắc của (H) là x2a2-y2b2=1 (a > 0, b > 0).

Gọi toạ độ của vật thể là M(x; y).

Áp dụng công thức bán kính qua tiêu, ta có: khoảng cách giữa vật thể và tâm Mặt Trời là MF2 = |a-cax|=|a-ex| = ex – a ≥ ea – a (vì vật thể nằm ở nhánh bên phải trục Ox nên x ≥ a).

Như vậy khoảng cách gần nhất giữa vật thể và tâm Mặt Trời là ea – a

 ea – a = 2 . 108  1,2a – a = 2 . 108  a = 109 c = ea = 1,2 . 109

b2=c2-a2=(1,2.109)2-(109)2=0,44.1018.

Vậy phương trình chính tắc của (H) là x21018-y20,44.1018=1.

b) Bán kính qua tiêu của vị trí M(x; y) của vật thể trong mặt phẳng toạ độ là:

MF2 = |a-cax|=|a-ex| = |109 – 1,2x| (km).

4. Đường chuẩn

Khám phá 4 trang 54 Chuyên đề Toán 10: Cho điểm M(x; y) trên hypebol (H):x2a2-y2b2=1 và hai đường thẳng 1: x+ae=02: x-ae=0(Hình 7)

Cho điểm M(x; y) trên hypebol (H) x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 và hai đường thắng

Gọi d(M; Δ1), d(M; Δ2) lần lượt là khoảng cách từ M đến các đường thẳng Δ1, Δ2.

Ta có: MF1d(M;1)=|a+ex||x+ae|=|a+ex||a+ex|e=e.

Dựa theo cách tính trên, tính MF2d(M;Δ2).

Lời giải:

Ta viết lại phương trình đường thẳng Δ2 ở dạng: x+0y-ae=0. Với mỗi điểm M(x; y) thuộc hypebol, ta có: d(M,2) =x+0y-ae12+02=x-ae

suy ra MF2d(M,Δ2)=|a-ex||x-ae|=|a-ex||xe-ae|=e.

Thực hành 4 trang 55 Chuyên đề Toán 10: Tìm toạ độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng của các hypebol sau:

a) (H1):x24-y21=1

b) (H2):x236-y264=1

c) (H3):x29-y29=1.

Lời giải:

a) Có a2 = 4, b2 = 1, suy ra c = a2+b2=4+1=5

 Hai tiêu điểm của hypebol là F1(-5;0) và F2(5;0).

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F1 là

1: x+ae=0x+a2c=0x+45=0.

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F2 là

1:x+ae=0x+a2c=0x+45=0.

b) Có a2 = 36, b2 = 64, suy ra c = a2+b2=36+64=10

 Hai tiêu điểm của hypebol là F1(-10;0)và F2(10;0).

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F1 là

1:x-ae=0x-a2c=0x-3610=0x-185=0.

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F2 là

1:x-ae=0x-a2c=0x-3610=0x-185=0.

c) Có a2 = 9, b2 = 9, suy ra c = a2+b2=9+9=32

 Hai tiêu điểm của hypebol là F1(-32;0) và F2(32;0).

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F1 là

1:x+ae=0x+a2c=0x+932=0x+32=0.

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F2 là

1:x-ae=0x-a2c=0x-932=0x-32=0.

Vận dụng 5 trang 55 Chuyên đề Toán 10: Lập phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 26 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 28813

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là x2a2-y2b2=1(a > 0, b > 0).

+) Hypebol có tiêu cự bằng 26, suy ra 2c = 26, suy ra c = 13.

+) Khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 28813, suy ra 2ae=28813

ae=14413a2c=14413a213=14413a2=144b2=c2-a2=132-144=25.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là x2144-y225=1.

Bài 1 trang 55 Chuyên đề Toán 10: Cho hypebol (H):x2144-y225=1

a) Tìm tâm sai và độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm (13;2512) trên (H).

b) Tìm tọa độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng.

c) Tìm điểm N(x; y) ∈ (H) sao cho NF1 = 2NF2 với F1, F2 là hai tiêu điểm của (H).

Lời giải:

a) Có a2 = 144, b2 = 25  a = 12, b = 5, c=a2+b2=13.

Tâm sau của (H) là e = ca=1312.

Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(13;2512) là:

MF1 = |a+cax|=|12+1312.13|=31312; MF2 = |a-cax|=|12-1312.13|=2512.

b) Hai tiêu điểm của hypebol là F1(–13; 0) và F2(13; 0).

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F1 là

1:x+ae=0x+a2c=0x+14413=0.

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F2 là

1:x-ae=0x-a2c=0x-14413=0.

c) NF1 = |a+cax|; NF2 = |a-cax|.

NF1 = 2NF2 |a+cax|=2|a-cax|[a+cax=2(a-cax)a+cax=2(cax-a)

[a=3cax3a=cax[x=a23c=1443.13=4813x=3a2c=3.14413=43213.

+) x = 4813 loại vì 0 < x < a.

+) x = 43213 thì (43213)2144-y225=1y2=32400169[y=18013y=-18013.

Vậy có hai điểm N thoả mãn đề bài là N1(43213;18013) và N2(43213;-18013).

Bài 2 trang 55 Chuyên đề Toán 10: Lập phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 20 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 365

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là x2a2-y2b2=1 (a > 0, b > 0).

+) Hypebol có tiêu cự bằng 26, suy ra 2c = 20, suy ra c = 10.

+) Khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng  365, suy ra 2ae=365

ae=185a2c=185a210=185a2=36b2=c2-a2=102-36=64.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là x236-y264=1.

Bài 3 trang 55 Chuyên đề Toán 10: Cho đường tròn (C) tâm F1, bán kính r và một điểm F2 thoả mãn F1F2 = 4r

a) Chứng tỏ rằng tâm của các đường tròn đi qua F2 và tiếp xúc với (C) nằm trên một đường hypebol (H).

b) Viết phương trình chính tắc và tìm tâm sai của (H).

Lời giải:

a) Gọi (C'; r') là đường tròn đi qua F2 và tiếp xúc với (C);

I(x; y) là tâm của đường tròn đi qua F2 và tiếp xúc với (C).

Vì F2 nằm ngoài (C) nên (C') tiếp xúc ngoài với (C) hoặc (C') tiếp xúc trong với (C) và (C) nằm trong (C').

+) Nếu (C') tiếp xúc ngoài với (C) thì r' + r = IF1  IF2 + r = IF1  IF1 – IF2 = r

+) Nếu (C') tiếp xúc trong với (C) và (C) nằm trong (C') thì r' – r = IF1  IF2 – r = IF1

 IF2 – IF1 = r.

Vậy ta luôn có |IF2 – IF1| = r trong cả hai trường hợp

 I nằm trên hypebol có hai tiêu điểm là F1, F2 và độ dài trục thực là r.

b) Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ trùng với trung điểm của F1F2 và F1, F2 đều nằm trên trục Ox.

Giả sử phương trình chính tắc của hypebol này là x2a2-y2b2=1 (a > 0, b > 0).

Khi đó ta có 2a = r, suy ra a = r2

F1F2 = 4r, suy ra c = 2r, suy ra b2=c2-a2=(2r)2-(r2)2=15r24.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol này là x2r24-y215r24=1.

Bài 4 trang 55 Chuyên đề Toán 10: Trong hoạt động mở đầu bài học, cho biết khoảng cách giữa hai trạm vô tuyến là 600 km, vận tốc sóng vô tuyến là 300000 km/s và thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ hai trạm trên bờ biển luôn cách nhau 0,0012 s (hai trạm vô tuyến phát các tín hiệu cùng một thời điểm). Viết phương trình chính tắc của quỹ đạo hypebol (H) của con tàu.

Lời giải:

Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ O trùng với tiêu điểm của F1F2, đơn vị trên các trục là km.

Giả sử phương trình chính tắc của (H) là x2a2-y2b2=1 (a > 0, b > 0).

Gọi t1 là thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ trạm F1; t2 là thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ trạm F2, v là vận tốc sóng vô tuyến.

Theo đề bài ta có: |t1 – t2| = 0,0012

|vt1 – vt2| = 0,0012v = 0,0012 . 300000 = 360 (km)

|MF1 – MF2| = 360 với mọi vị trí của M

 2a = 360  a = 180.

Có khoảng cách giữa hai trạm vô tuyến là 600 km  2c = 600  c = 300

b2=c2-a2=3002-1802=57600.

Vậy phương trình chính tắc của (H) là x232400-y257600=1.

Xem thêm các bài giải Chuyên đề Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 5: Elip

Bài 7: Parabol

Bài 8: Tính chất chung của ba đường conic

Bài tập cuối chuyên đề 3

Bài 1: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Đánh giá

0

0 đánh giá