Với giải Câu hỏi trang 124 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo trong Bài 4: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem: 

Toán 10 Chân trời sáng tạo trang 124 Bài 4: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu

Vận dụng 2 trang 124 Toán 10 Tập 1: Bảng dưới đây thống kê tổng số giờ nắng trong năm 2019 theo từng tháng được đo bởi hai trạm quan sát khí tượng đặt ở Tuyên Quang và Cà Mau.

a) Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của dữ liệu từng tỉnh.

b) Nêu nhận xét về sự thay đổi tổng số giờ nắng theo từng tháng ở mỗi tỉnh.

Phương pháp giải:

Cho mẫu số liệu $x_1,x_2,...,x_n.$

Bước 1. Tính số trung bình $\overline{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$

Bước 2: +) Tính phương sai $S^2=\frac{1}{n}\left[{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+...+{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2\right]$ hoặc $S^2=\frac{1}{n}\left({x_1}^2+{x_2}^2+...+{x_n}^2\right)-{\overline{x}}^2$

              +) Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{S^2}$

Lời giải 

+) Tuyên Quang:

Số giờ nắng trung bình $\overline{x}=\frac{25+89+72+117+106+177+156+203+227+146+117+145}{12}=131,67$

Phương sai: $S^2=\frac{1}{12}\left({25}^2+{89}^2+...+{145}^2\right)-131,{67}^2\approx 2921,2$

Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{2921,2}\approx 54$

+) Cà Mau:

Số giờ nắng trung bình $\overline{x}=\frac{180+223+257+245+191+111+141+134+130+122+157+173}{12}=172$

Phương sai: $S^2=\frac{1}{12}\left[\left({180}^2+{223}^2+...+{173}^2\right)-{172}^2\right]=2183$

Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{2183}=46,7$

=> Nhận xét: Ở Tuyên Quang tổng số giờ nắng theo từng tháng thay đổi nhiều hơn so với ở Cà Mau.

Bài tập

Bài 1 trang 124 Toán 10 Tập 1: Hãy chọn ngẫu nhiên trong lớp ra 5 bạn nam và 5 bạn nữ rồi do chiều cao các bạn đó. So sánh xem chiều cao của các bạn năm hay các bạn nữ đồng đều hơn.

Phương pháp giải

Từ mẫu số liệu so sánh hai giá trị: Khoảng biến thiên hoặc khoảng tứ phân vị.

+ Nếu trong mẫu không có số liệu nào quá lớn hay quá nhỏ => so sánh khoảng biến thiên

+ Nếu trong mẫu có 1 số liệu quá lớn hoặc quá nhỏ => so sánh khoảng tứ phân vị.

Lời giải 

+) Khoảng biến thiên chiều cao của các học sinh nam là: $176-164=12$

+) Tứ phân vị: $Q_1,Q_2,Q_3$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $164,168,170,172,176$

Bước 2: $n=5$, là số lẻ nên $Q_2=M_e=170$

$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu $164,168$. Do đó $Q_1=\frac{1}{2}(164+168)=166$

$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu $172,176$. Do đó $Q_3=\frac{1}{2}(172+176)=174$

Khoảng tứ phân vị ${\mathrm{\Delta }}_Q=174-166=8$

+) Khoảng biến thiên chiều cao của các học sinh nữ là: $162-152=10$

+) Tứ phân vị: $Q_1,Q_2,Q_3$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $152,155,157,160,162$

Bước 2: $n=5$, là số lẻ nên $Q_2=M_e=157$

$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu $152,155$. Do đó $Q_1=\frac{1}{2}(152+155)=153,5$

$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu $160,162$. Do đó $Q_3=\frac{1}{2}(160+162)=161$

Khoảng tứ phân vị ${\mathrm{\Delta }}_Q=161-153,5=7,5$

Kết luận: So sánh khoảng biến thiên hay tứ phân vị thì theo mẫu số liệu trên, chiều cao của 5 bạn nữ là đồng đều hơn.

Bài 2 trang 124 Toán 10 Tập 1: Hãy tìm độ lệch chuẩn, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và các giá trị ngoại lệ của các mẫu số liệu sau:

a) 6; 8; 3; 4; 5; 6; 7; 2; 4.

b) 13; 37; 64; 12; 26; 43; 29; 23.

Phương pháp giải

Cho mẫu số liệu $x_1,x_2,...,x_n.$

+) số trung bình $\overline{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$

+) phương sai $S^2=\frac{1}{n}\left[{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+...+{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2\right]$ hoặc $S^2=\frac{1}{n}\left({x_1}^2+{x_2}^2+...+{x_n}^2\right)-{\overline{x}}^2$

 => Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{S^2}$

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $X_1,X_2,...,X_n$

+) Khoảng biến thiên: $R=X_n-X_1$

Tứ phân vị: $Q_1,Q_2,Q_3$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $X_1,X_2,...,X_n$

Bước 2: $Q_2=M_e=\{\begin{array}{l}{X}_{k+1}(n=2k+1)\\ \frac{1}{2}(X_k+X_{k+1})(n=2k)\end{array}$

$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)

$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)

+) Khoảng tứ phân vị: ${\mathrm{\Delta }}_Q=Q_3-Q_1$

+) x là giá trị ngoại lệ trong mẫu nếu $x>Q_3+1,5{\mathrm{\Delta }}_Q$ hoặc $x<Q_1-1,5{\mathrm{\Delta }}_Q$

Lời giải 

a)

+) Số trung bình $\overline{x}=\frac{6+8+3+4+5+6+7+2+4}{9}=5$

+) phương sai hoặc $S^2=\frac{1}{9}\left(6^2+8^2+...+4^2\right)-5^2=\frac{10}{3}$

  => Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{\frac{10}{3}}\approx 1,8$

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 2; 3; 4; 4; 5; 6; 6; 7; 8.

+) Khoảng biến thiên: $R=8-2=6$

Tứ phân vị: $Q_1,Q_2,Q_3$

$Q_2=M_e=5$

$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu 2; 3; 4; 4. Do đó $Q_1=3,5$

$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu: 6; 6; 7; 8. Do đó $Q_3=6,5$

+) Khoảng tứ phân vị: ${\mathrm{\Delta }}_Q=6,5-3,5=3$

+) x là giá trị ngoại lệ trong mẫu nếu $x>6,5+1,5.3=11$ hoặc $x<3,5-1,5.3=-1$

Vậy không có giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu trên.

b)

+) Số trung bình $\overline{x}=\frac{13+37+64+12+26+43+29+23}{8}=30,875$

+) phương sai hoặc $S^2=\frac{1}{8}\left({13}^2+{37}^2+...+{23}^2\right)-30,{875}^2\approx 255,8$

  => Độ lệch chuẩn $S\approx 16$

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 12; 13; 23; 26; 29; 37; 43; 64.

+) Khoảng biến thiên: $R=64-12=52$

Tứ phân vị: $Q_1,Q_2,Q_3$

$Q_2=M_e=27,5$

$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu 12; 13; 23; 26. Do đó $Q_1=18$

$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu: 29; 37; 43; 64. Do đó $Q_3=40$

+) Khoảng tứ phân vị: ${\mathrm{\Delta }}_Q=40-18=22$

+) x là giá trị ngoại lệ trong mẫu nếu $x>40+1,5.22=73$ hoặc $x<18-1,5.22=-15$

Vậy không có giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu trên.