Với giải Câu hỏi trang 125 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo trong Bài 4: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem: 

Toán 10 Chân trời sáng tạo trang 125 Bài 4: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu

Bài 3 trang 125 Toán 10 Tập 1: Hãy tìm độ lệch chuẩn, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của các mẫu số liệu sau:

a)

b)

Cho bảng số liệu:

Phương pháp giải

+) Số trung bình: $\overline{x}=\frac{x_1.f_1+x_2.f_2+...+x_m.f_m}{f_1+f_2+...+f_m}$

+) Phương sai $S^2=\frac{1}{n}\left(f_1.{x_1}^2+f_2..{x_2}^2+...+f_n..{x_n}^2\right)-{\overline{x}}^2$

  => Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{S^2}$

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $X_1,X_2,...,X_n$

+) Khoảng biến thiên: $R=X_n-X_1$

Tứ phân vị: $Q_1,Q_2,Q_3$

+) Khoảng tứ phân vị: ${\mathrm{\Delta }}_Q=Q_3-Q_1$

Lời giải 

a) +) Số trung bình $\overline{x}=\frac{-2.10+(-1).10+0.30+1.20+2.10}{10+20+30+20+10}=0$

+) phương sai hoặc $S^2=\frac{1}{9}\left(10.{(-2)}^2+10.{(-1)}^2+...+{10.2}^2\right)-0^2\approx 13,33$

  => Độ lệch chuẩn $S\approx 3,65$

+) Khoảng biến thiên: $R=2-(-2)=4$

Tứ phân vị: $Q_2=0;Q_1=-1;Q_3=1$

+) Khoảng tứ phân vị: ${\mathrm{\Delta }}_Q=1-(-1)=2$

b) Giả sử cỡ mẫu $n=10$. Khi đó mẫu số liệu trở thành:

+) Số trung bình $\overline{x}=\frac{0.0,1+1.0,2+2.0,4+3.0,2+4.0,1}{0,1+0,2+0,4+0,2+0,1}=2$

+) phương sai hoặc $S^2=\frac{1}{1}\left(0,{1.0}^2+0,{2.1}^2+...+0,{1.4}^2\right)-2^2=1,2$

  => Độ lệch chuẩn $S\approx 1,1$

+) Khoảng biến thiên: $R=4-0=4$

Tứ phân vị: $Q_2=2;Q_1=1;Q_3=3$

+) Khoảng tứ phân vị: ${\mathrm{\Delta }}_Q=3-1=2$

Bài 4 trang 125 Toán 10 Tập 1: Hãy so sánh số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của ba mẫu só liệu sau:

Mẫu 1: 0,1;  0,3;  0,5;  0,5;  0,3;  0,7.

Mẫu 2: 1,1;  1, 3;  1,5;  1,5;  1,3; 1,7.

Mẫu 3: 1;       3;     5;     5;       3;    7.

Phương pháp giải

+) số trung bình $\overline{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$

+) Phương sai $S^2=\frac{1}{n}\left[{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+...+{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2\right]$ hoặc $S^2=\frac{1}{n}\left({x_1}^2+{x_2}^2+...+{x_n}^2\right)-{\overline{x}}^2$

+) Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{S^2}$

Lời giải 

Mẫu 1:

+) Số trung bình: $\overline{x}=\frac{0,1+0,3+0,5+0,5+0,3+0,7}{6}=0,4$

+) Phương sai $S^2=\frac{1}{6}\left(0,1^2+0,3^2+0,5^2+0,5^2+0,3^2+0,7^2\right)-0,4^2\approx 0,0367$

+) Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{S^2}\approx 0,19$

Mẫu 2:

+) Số trung bình: $\overline{x}=\frac{1,1+1,3+1,5+1,5+1,3+1,7}{6}=1,4$

+) Phương sai $S^2=\frac{1}{6}\left(1,1^2+1,3^2+1,5^2+1,5^2+1,3^2+1,7^2\right)-1,4^2\approx 0,0367$

+) Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{S^2}\approx 0,19$

Mẫu 3:

+) Số trung bình: $\overline{x}=\frac{1+3+5+5+3+7}{6}=4$

+) Phương sai $S^2=\frac{1}{6}\left(1^2+3^2+5^2+5^2+3^2+7^2\right)-4^2\approx 3,67$

+) Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{S^2}\approx 1,9$

Kết luận:

Số liệu ở mẫu 2 hơn số liệu ở mẫu 1 là 1 đơn vị, số trung bình của mẫu 2 hơn số trung bình mẫu 1 là 1 đơn vị, còn phương sai và độ lệch chuẩn là như nhau.

Số liệu ở mẫu 3 gấp 10 lần số liệu mẫu 1, số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu 3 lần lượt gấp 10 lần, 100 lần và 10 lần mẫu 1.

Bài 5 trang 125 Toán 10 Tập 1: Sản lượng lúa các năm từ 2014 đến 2018 của hai tỉnh Thái Bình và Hậu Giang được cho ở bảng sau (đơn vị nghìn tấn):

a) Hãy tính độ lệch chuẩn và khoảng biến thiên của sản lượng lúa từng tỉnh.

b) Tỉnh nào có sản lượng lúa ổn định hơn? Tại sao?

Phương pháp giải

a)

+) Tình độ lệch chuẩn:

Bước 1:  Tìm số trung bình $\overline{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$

Bước 2: Tính phương sai $S^2=\frac{1}{n}\left[{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+...+{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2\right]$ hoặc $S^2=\frac{1}{n}\left({x_1}^2+{x_2}^2+...+{x_n}^2\right)-{\overline{x}}^2$

=> Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{S^2}$

+) Khoảng biến thiên = số liệu lớn nhất – số liệu nhỏ nhất

b)

So sánh khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn, tỉnh nào có khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn nhỏ hơn thì có sản lượng lúa ổn định hơn.

Lời giải 

a)

Tỉnh Thái Bình:

Số trung bình $\overline{x}=\frac{1061,9+1061,9+1053,6+942,6+1030,4}{5}=1030,08$

Phương sai$S^2=\frac{1}{5}\left(1061,9^2+1061,9^2+1053,6^2+942,6^2+1030,4^2\right)-1030,{08}^2=2046,2$

=> Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{S^2}\approx 45,2$

+) Khoảng biến thiên $R=1061,9-942,6=119,3$

Tỉnh Hậu Giang:

Số trung bình $\overline{x}=\frac{1204,6+1293,1+1231,0+1261,0+1246,1}{5}=1247,16$

Phương sai$S^2=\frac{1}{6}\left(1204,6^2+1293,1^2+1231,0^2+1261,0^2+1246,1^2\right)-1247,{16}^2=875,13$

=> Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{S^2}\approx 29,6$

+) Khoảng biến thiên $R=1293,1-1204,6=88,5$

b)

So sánh khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn ta đều thấy tỉnh Hậu Giang có sản lượng lúa ổn định hơn.

Bài 6 trang 125 Toán 10 Tập 1: Kết quả điều tra mức lương hằng tháng của một số công nhân của hai nhà máy A và B được cho ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

a) Hãy tìm số trung bình, mốt, tứ phân vị và độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu lấy từ nhà máy A và nhà máy B.

b) Hãy tìm các giá trị ngoại lệ trong mỗi mẫu số liệu trên. Công nhân nhà máy nào có mức lương cao hơn? Tại sao?

Phương pháp giải

a)

+) Số trung bình: $\overline{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$

+) Mốt: là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu.

+) Tứ phân vị: $Q_1,Q_2,Q_3$

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $X_1,X_2,...,X_n$

$Q_2=M_e=\{\begin{array}{l}{X}_{k+1}(n=2k+1)\\ \frac{1}{2}(X_k+X_{k+1})(n=2k)\end{array}$

$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)

$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)

+) Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{S^2}$

Tính phương sai $S^2=\frac{1}{n}\left({x_1}^2+{x_2}^2+...+{x_n}^2\right)-{\overline{x}}^2$

b)

+) x là giá trị ngoại lệ nếu $x>Q_3+1,5.{\mathrm{\Delta }}_Q$ hoặc $x<Q_1-1,5.{\mathrm{\Delta }}_Q$

+) So sánh trung vị (do một mẫu có số liệu quá lớn so với các số liệu khác): nhà máy nào có trung vị lớn hơn thì có mức lương cao hơn.

Lời giải 

a) Nhà máy A:

+) Số trung bình: $\overline{x}=\frac{4+5+5+47+5+6+4+4}{8}=10$

+) Mốt: $M_o=4,M_o=5$

+) Tứ phân vị: $Q_1,Q_2,Q_3$

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 4; 4; 4; 5; 5; 5; 6; 47.

$Q_2=M_e=5$

$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu: 4; 4; 4; 5. Do đó $Q_1=4$

$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu: 5; 5; 6; 47. Do đó $Q_3=5,5$

+) Phương sai $S^2=\frac{1}{8}\left(4^2+5^2+...+4^2\right)-{10}^2=196$ => Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{S^2}=14$

Nhà máy B:

+) Số trung bình: $\overline{x}=\frac{2+9+9+8+10+9+9+11+9}{9}=8,4$

+) Mốt: $M_o=9$

+) Tứ phân vị: $Q_1,Q_2,Q_3$

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 2; 8; 9; 9; 9; 9; 9; 10; 11

$Q_2=M_e=9$

$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu: 2; 8; 9; 9. Do đó $Q_1=8,5$

$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu: 9; 9; 10; 11. Do đó $Q_3=9,5$

+) Phương sai $S^2=\frac{1}{9}\left(2^2+9^2+...+9^2\right)-8,4^2=6,55$ => Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{S^2}=2,56$

b)

Nhà máy A có: ${\mathrm{\Delta }}_Q=1,5$

Vậy giá trị ngoại lệ $x>5,5+1,5.1,5=7,75$ hoặc $x<4-1,5.1,5=1,75$ là 47.

Nhà máy B có: ${\mathrm{\Delta }}_Q=1$

Vậy giá trị ngoại lệ $x>9,5+1,5.1=11$ hoặc $x<8,5-1,5.1=7$ là 2.

Ta so sánh trung vị: $9>5$, do dó công nhân nhà máy B có mức lương cao hơn.

Chú ý

Ta không so sánh số trung bình vì có giá trị 47 quá lớn so với các giá trị còn lại.