Toán 10 Kết nối tri thức trang 65 Bài 10: Vecto trong mặt phẳng toạ độ

Giang Ngày: 12-02-2023 Lớp 10

357

Với giải Câu hỏi trang 65 Toán 10 Tập 1 Kết nối tri thức trong Bài 10: Vecto trong mặt phẳng toạ độ học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Kết nối tri thức trang 65 Bài 10: Vecto trong mặt phẳng toạ độ

Bài 4.16 trang 65 Toán 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(1; 3), N(4; 2)

a) Tính độ dài các đoạn thẳng OM, ON, MN.

b) Chứng minh rằng tam giác OMN vuông cân.

Phương pháp giải:

Độ dài vectơ $\vec{O M} (x, y)$ là $| \vec{O M} | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

Lời giải:

a) Ta có: M(1; 3) và N (4; 2)

$\Rightarrow \vec{O M} (1; 3), \vec{O N} (4; 2), \vec{M N} = (4 - 1; 2 - 3) = (3; - 1)$

$\Rightarrow O M = | \vec{O M} | = \sqrt{1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{10},$ $O N = | \vec{O N} | = \sqrt{4^{2} + 2^{2}} = 2 \sqrt{5},$ $M N = | \vec{M N} | = \sqrt{3^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{10}$

b) Dễ thấy: $O M = \sqrt{10} = M N$ $\Rightarrow Δ O M N$ cân tại M.

Lại có: $O M^{2} + M N^{2} = 10 + 10 = 20 = O N^{2}$

$\Rightarrow$ Theo định lí Pythagore đảo, ta có $Δ O M N$ vuông tại M.

Vậy $Δ O M N$ vuông cân tại M.

Bài 4.17 trang 65 Toán 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vectơ $\vec{a} = 3. \vec{i} - 2. \vec{j},$ $\vec{b} = (4; - 1)$ và các điểm M (-3; 6), N(3; -3).

a) Tìm mối liên hệ giữa các vectơ $\vec{M N}$ và $2 \vec{a} - \vec{b}$ .

b) Các điểm O, M, N có thẳng hàng hay không?

c) Tìm điểm P(x; y) để OMNP là một hình bình hành.

Phương pháp giải:

b) Các điểm O, M, N thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ $\vec{O M}, \vec{O N}$ cùng phương

c) OMNP là một hình hành khi và chỉ khi $\vec{O M} = \vec{P N}$

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{b} = (4; - 1)$ và $\vec{a} = 3. \vec{i} - 2. \vec{j} \Rightarrow \vec{a} (3; - 2)$

$\Rightarrow 2 \vec{a} - \vec{b} = (2.3 - 4; 2. (- 2) - (- 1)) = (2; - 3)$

Lại có: M (-3; 6), N(3; -3)

$\Rightarrow \vec{M N} = (3 - (- 3); - 3 - 6) = (6; - 9)$

Dễ thấy: $(6; - 9) = 3. (2; - 3)$ $\Rightarrow \vec{M N} = 3 (2 \vec{a} - \vec{b})$

b) Ta có: $\vec{O M} = (- 3; 6)$ ( do M(-3; 6)) và $\vec{O N} = (3; - 3)$ (do N (3; -3)).

Hai vectơ này không cùng phương (vì $\frac{- 3}{3} \neq \frac{6}{- 3}$ ).

Do đó các điểm O, M, N không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy chúng không thẳng hàng.

c) Các điểm O, M, N không thẳng hàng nên OMNP là một hình hành khi và chỉ khi $\vec{O M} = \vec{P N}$ .

Do $\vec{O M} = (- 3; 6), \vec{P N} = (3 - x; - 3 - y)$ nên

$\vec{O M} = \vec{P N} \Leftrightarrow {\begin{cases} - 3 = 3 - x \\ 6 = - 3 - y \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = 6 \\ y = - 9 \end{cases}$

Vậy điểm cần tìm là P (6; -9).

Bài 4.18 trang 65 Toán 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(1; 3), B(2; 4), C(-3; 2).

a) Hãy giải thích vì sao các điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tìm điểm D(x; y) để O(0; 0) là trọng tâm của tam giác ABD.

Phương pháp giải:

a) Các điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ $\vec{A B}, \vec{A C}$ cùng phương

b) Trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ là $(\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2})$

c) Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là $(\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3})$

d) Để O(0; 0) là trọng tâm của tam giác ABD thì $(0; 0) = (\frac{x_{A} + x_{B} + x_{D}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{D}}{3})$

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{A B} = (2 - 1; 4 - 3) = (1; 1), \vec{A C} = (- 3 - 1; 2 - 3) = (- 4; - 1)$

Hai vectơ này không cùng phương (vì $\frac{1}{- 4} \neq \frac{1}{- 1}$ ).

Do đó các điểm A, B, C không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy chúng không thẳng hàng.

b) Trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ là $(\frac{1 + 2}{2}; \frac{3 + 4}{2}) = (\frac{3}{2}; \frac{7}{2})$

c) Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là $(\frac{1 + 2 + (- 3)}{3}; \frac{3 + 4 + 2}{3}) = (0; 3)$

d) Để O(0; 0) là trọng tâm của tam giác ABD thì $(0; 0) = (\frac{x_{A} + x_{B} + x_{D}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{D}}{3})$

$\Leftrightarrow (0; 0) = (\frac{1 + 2 + x}{3}; \frac{3 + 4 + y}{3})$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow (0; 0) = (1 + 2 + x; 3 + 4 + y) \\ \Leftrightarrow (0; 0) = (x + 3; y + 7) \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} 0 = x + 3 \\ 0 = y + 7 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = - 3 \\ y = - 7 \end{cases} \end{array}$

Vậy tọa độ điểm D là (-3; -7).

Bài 4.19 trang 65 Toán 10: Sự chuyển động của một tàu thủy được thể hiện trên một mặt phẳng tọa độ như sau:

Tàu khởi hành từ vị trí A(1; 2) chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bởi vectơ $\vec{v} = (3; 4)$ . Xác định vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 giờ.

Phương pháp giải:

Lập luận chỉ ra $\vec{A B} = 1, 5. \vec{v}$

Lời giải:

Gọi B(x; y) là vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 giờ.

Do tàu khởi hành từ A đi chuyển với vận tốc được biểu thị bởi vectơ $\vec{v} = (3; 4)$ nên cứ sau mỗi giờ, tàu đi chuyển được một quãng bằng $| \vec{v} |$ .

Vậy sau 1,5 giờ tàu di chuyển tới B, ta được: $\vec{A B} = 1, 5. \vec{v}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow (x - 1; y - 2) = 1, 5 . (3; 4) \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} x - 1 = 4, 5 \\ y - 2 = 6 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = 5, 5 \\ y = 8 \end{cases} \end{array}$