Với giải SGK Toán 11 Cánh Diều trang 15 chi tiết trong Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 trang 15 Tập 1 (Cánh Diều)

Bài 1 trang 15 Toán 11 Tập 1: Gọi M, N, P là các điểm trên đường tròn lượng giác sao cho số đo của các góc lượng giác $\left(OA,OM\right),\left(OA,ON\right),\left(OA,OP\right)$ lần lượt bằng $\frac{\pi }{2};\frac{7\pi }{6};-\frac{\pi }{6}$. Chứng minh rằng tam giác MNP là tam giác đều.

Lời giải:

Hình minh họa:

Bài 2 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của mỗi góc sau: ${225}^{\circ };-{225}^{\circ };-{1035}^{\circ }$;$\frac{5\pi }{3};\frac{19\pi }{2};-\frac{159\pi }{4}$

Lời giải:

$\begin{array}{l}\cos \left({225}^{\circ }\right)=\cos \left({180}^{\circ }+{45}^{\circ }\right)=-\cos \left({45}^{\circ }\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin \left({225}^{\circ }\right)=\sin \left({180}^{\circ }+{45}^{\circ }\right)=-\sin \left({45}^{\circ }\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \tan \left({225}^{\circ }\right)=\frac{\sin \left({225}^{\circ }\right)}{\cos \left({225}^{\circ }\right)}=1\\ \cot \left({225}^{\circ }\right)=\frac{1}{\tan \left({225}^{\circ }\right)}=1\end{array}$

$\begin{array}{l}\cos \left(-{225}^{\circ }\right)=\cos \left({225}^{\circ }\right)=\cos \left({180}^{\circ }+{45}^{\circ }\right)=-\cos \left({45}^{\circ }\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin \left(-{225}^{\circ }\right)=-\sin \left({225}^{\circ }\right)=-\sin \left({180}^{\circ }+{45}^{\circ }\right)=\sin \left({45}^{\circ }\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \tan \left(-{225}^{\circ }\right)=\frac{\sin \left({225}^{\circ }\right)}{\cos \left({225}^{\circ }\right)}=-1\\ \cot \left(-{225}^{\circ }\right)=\frac{1}{\tan \left({225}^{\circ }\right)}=-1\end{array}$

$\begin{array}{l}\cos \left(-{1035}^{\circ }\right)=\cos \left({1035}^{\circ }\right)=\cos \left({6.360}^{\circ }-{45}^{\circ }\right)\\ =\cos \left(-{45}^{\circ }\right)=\cos \left({45}^{\circ }\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin \left(-{1035}^{\circ }\right)=-\sin \left({1035}^{\circ }\right)=-\sin \left({6.360}^{\circ }-{45}^{\circ }\right)\\ =-\sin \left(-{45}^{\circ }\right)=\sin \left({45}^{\circ }\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \tan \left(-{1035}^{\circ }\right)=\frac{\sin \left(-{1035}^{\circ }\right)}{\cos \left(-{1035}^{\circ }\right)}=1\\ \cot \left(-{1035}^{\circ }\right)=\frac{1}{\tan \left(-{1035}^{\circ }\right)}=-1\end{array}$

$\begin{array}{l}\cos \left(\frac{5\pi }{3}\right)=\cos \left(\pi +\frac{2\pi }{3}\right)=-\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\\ \sin \left(\frac{5\pi }{3}\right)=\sin \left(\pi +\frac{2\pi }{3}\right)=-\sin \left(\frac{2\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \tan \left(\frac{5\pi }{3}\right)=\frac{\sin \left(\frac{5\pi }{3}\right)}{\cos \left(\frac{5\pi }{3}\right)}=-\sqrt{3}\\ \cot \left(\frac{5\pi }{3}\right)=\frac{1}{\tan \left(\frac{5\pi }{3}\right)}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}$

$\begin{array}{l}\cos \left(\frac{19\pi }{2}\right)=\cos \left(8\pi +\frac{3\pi }{2}\right)=\cos \left(\frac{3\pi }{2}\right)=\cos \left(\pi +\frac{\pi }{2}\right)=-\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)=0\\ \sin \left(\frac{19\pi }{2}\right)=\sin \left(8\pi +\frac{3\pi }{2}\right)=\sin \left(\frac{3\pi }{2}\right)=\sin \left(\pi +\frac{\pi }{2}\right)=-\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=-1\\ \tan \left(\frac{19\pi }{2}\right)\\ \cot \left(\frac{19\pi }{2}\right)=\frac{\cos \left(\frac{19\pi }{2}\right)}{\sin \left(\frac{19\pi }{2}\right)}=0\end{array}$

$\begin{array}{l}\cos \left(-\frac{159\pi }{4}\right)=\cos \left(\frac{159\pi }{4}\right)=\cos \left(40.\pi -\frac{\pi }{4}\right)\\ ==\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin \left(-\frac{159\pi }{4}\right)=-\sin \left(\frac{159\pi }{4}\right)=-\sin \left(40.\pi -\frac{\pi }{4}\right)\\ =-\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \tan \left(-\frac{159\pi }{4}\right)=\frac{\cos \left(-\frac{159\pi }{4}\right)}{\sin \left(-\frac{159\pi }{4}\right)}=1\\ \cot \left(-\frac{159\pi }{4}\right)=\frac{1}{\tan \left(-\frac{159\pi }{4}\right)}=1\end{array}$

Bài 3 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác (nếu có) có mỗi góc sau:

a)     $\frac{\pi }{3}+k2\pi \left(k\in Z\right)$

b)     $k\pi \left(k\in Z\right)$

c)     $\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in Z)$

d)     $\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in Z\right)$

Lời giải:

a)

$\begin{array}{l}\cos \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)=\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\\ \sin \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \tan \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)=\frac{\sin \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)}{\cos \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)}=\sqrt{3}\\ \cot \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)=\frac{1}{\tan \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)}=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}$

b)

 $\begin{array}{l}\cos \left(k\pi \right)=[\begin{array}{l}-1;k=2n+1\\ 1;k=2n\end{array}\\ \sin \left(k\pi \right)=0\\ \tan \left(k\pi \right)=\frac{\sin \left(k\pi \right)}{\cos \left(k\pi \right)}=0\\ \cot \left(k\pi \right)\end{array}$

c)

$\begin{array}{l}\cos \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=0\\ \sin \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=[\begin{array}{l}\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)=-1;k=2n+1\\ \sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=1;k=2n\end{array}\\ \tan \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)\\ \cot \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=0\end{array}$

d)

Với k=2n+1 thì

$\begin{array}{l}\cos \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\cos \left(\frac{\pi }{4}+(2n+1)\pi \right)\\ =\cos \left(\frac{\pi }{4}+2n\pi +\pi \right)=\cos \left(\frac{\pi }{4}+\pi \right)\\ =-\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}+(2n+1)\pi \right)\\ =\sin \left(\frac{\pi }{4}+2n\pi +\pi \right)=sin\left(\frac{\pi }{4}+\pi \right)\\ =-\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \tan \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=1\\ \cot \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=1\end{array}$

Với k=2n thì

$\begin{array}{l}\cos \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=co\mathrm{s}\left(\frac{\pi }{4}+2n\pi \right)=\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}+2n\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \tan \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=1\\ \cot \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=1\end{array}$

Bài 4 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha$ trong mỗi trường hợp sau:

a)     $\sin \alpha =\frac{\sqrt{15}}{4}$ với $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$

b)     $\cos \alpha =-\frac{2}{3}$ với $-\pi <\alpha <0$

c)     $\tan \alpha =3$ với $-\pi <\alpha <0$

d)     $\cot \alpha =-2$ với $0<\alpha <\pi$

Lời giải:

a)  Ta có ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$

mà $\sin \alpha =\frac{\sqrt{15}}{4}$ nên ${\cos }^2\alpha +{\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)}^2=1\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{1}{16}$

Lại có $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha <0\Rightarrow \cos \alpha =-\frac{1}{4}$

Khi đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{co\mathrm{s}\alpha }=-\sqrt{15};\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=-\frac{1}{\sqrt{15}}$

b)

Ta có ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$

mà $\cos \alpha =-\frac{2}{3}$ nên ${\sin }^2\alpha +{\left(\frac{-2}{3}\right)}^2=1\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{5}{9}$

Lại có $-\pi <\alpha <0$ nên $\sin \alpha <0\Rightarrow \sin \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$

Khi đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{co\mathrm{s}\alpha }=\frac{\sqrt{5}}{2};\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{2}{\sqrt{5}}$

c)

Ta có$\tan \alpha =3$ nên

$\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{3}$

$\frac{1}{{\cos }^2\alpha }=1+{\tan }^2\alpha =1+3^2=10\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{1}{10}$

Mà ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{9}{10}$

Với $-\pi <\alpha <0$thì $\sin \alpha <0\Rightarrow \sin \alpha =-\sqrt{\frac{9}{10}}$

Với $-\pi <\alpha <-\frac{\pi }{2}$thì $\cos \alpha <0\Rightarrow \cos \alpha =-\sqrt{\frac{1}{10}}$

và  $-\frac{\pi }{2}\le \alpha <0$thì $\cos \alpha >0\Rightarrow \cos \alpha =\sqrt{\frac{1}{10}}$

d)

Ta có$\cot \alpha =-2$ nên

$\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }=-\frac{1}{2}$

$\frac{1}{{\sin }^2\alpha }=1+co{\mathrm{t}}^2\alpha =1+(-2{)}^2=5\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{1}{5}$

Mà ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{4}{5}$

Với $0<\alpha <\pi$thì $\sin \alpha >0\Rightarrow \sin \alpha =\sqrt{\frac{1}{5}}$

Với $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$thì $\cos \alpha >0\Rightarrow \cos \alpha =\sqrt{\frac{4}{5}}$

và  $\frac{\pi }{2}\le \alpha <\pi$thì $\cos \alpha <0\Rightarrow \cos \alpha =-\sqrt{\frac{4}{5}}$

Bài 5 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính

a)  $A={\sin }^2{5}^{\circ }+{\sin }^2{10}^{\circ }+{\sin }^2{15}^{\circ }+...+{\sin }^2{85}^{\circ }$ (17 số hạng)

b)  $B=\cos 5^{\circ }+\cos {10}^{\circ }+\cos {15}^{\circ }+...+\cos {175}^{\circ }$ (35 số hạng)

Lời giải:

a)

$$\begin{gathered} A={\sin }^2{5}^{\circ }+{\sin }^2{10}^{\circ }+{\sin }^2{15}^{\circ }+...+{\sin }^2{85}^{\circ } \\ =({\sin }^2{5}^{\circ }+{\sin }^2{85}^{\circ })+({\sin }^2{15}^{\circ }+{\sin }^2{75}^{\circ })+... \\ +({\sin }^2{35}^{\circ }+{\sin }^2{55}^{\circ })+{\sin }^2{45}^{\circ } \\ =({\sin }^2{5}^{\circ }+{\cos }^2{5}^{\circ })+({\sin }^2{15}^{\circ }+{\cos }^2{15}^{\circ })+... \\ +({\sin }^2{35}^{\circ }+{\cos }^2{35}^{\circ })+{\sin }^2{45}^{\circ } \\ =1+1+...+1+\frac{1}{2}=\frac{17}{2} \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} B=\cos 5^{\circ }+\cos {10}^{\circ }+\cos {15}^{\circ }+...+\cos {175}^{\circ } \\ =(\cos 5^{\circ }+\cos {175}^{\circ })+(\cos {10}^{\circ }+\cos {170}^{\circ }) \\ +...+(\cos {85}^{\circ }+\cos {95}^{\circ })+\cos {90}^{\circ } \\ =0+0+....+0+0=0 \end{gathered}$$

Bài 6 trang 15 Toán 11 Tập 1: Một vệ tinh được định vị tại vị trí A trong không gian. Từ vị trí A, vệ tinh bắt đầu chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là đường tròn với tâm là tâm O của Trái Đất, bán kính 9000 km. Biết rằng vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹ đạo trong 3 giờ

a) Hãy tính quãng đường vệ tinh đã chuyển độ được sau: 1h; 3h; 5h

b) Vệ tinh chuyển động được quãng đường 200 000 km sau bao nhiêu giờ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị?

Lời giải:

a) Chiều dài một vòng của quỹ đạo là : $\mathrm{9000.2.}\pi$ (km)

Quãng đường vệ tinh đã chuyển độ được sau 1 giờ là

 $\frac{\mathrm{9000.2.}\pi }{3}=6000\pi$(km)

Quãng đường vệ tinh đã chuyển độ được sau 3 giờ là $18000\pi$(km)

Quãng đường vệ tinh đã chuyển độ được sau 1 giờ là

 $\frac{\mathrm{9000.2.}\pi }{3}.5=30000\pi$(km)

b)Vệ tinh chuyển động được quãng đường 200 000 km sau sô giờ là : $\frac{200000}{6000\pi }\approx 11$( giờ)