Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Các bài toán thực tế ứng dụng tích phân hay, chi tiết, từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh nắm vững kiến thức về Các bài toán thực tế ứng dụng tích phân, từ đó học tốt môn Toán.

Các bài toán thực tế ứng dụng tích phân: Phương pháp giải và bài tập hay, chi tiết

A. BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ VẬN TỐC, QUÃNG ĐƯỜNG.

1. Phương pháp giải

Với bài toán chuyển động, giả sử vận tốc tức thời của vật là v(t) thì  với s(t) là quãng đường.

Gia tốc tức thời của vật: $a\left(t\right)=v^{\text{'}}\left(t\right)={s^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(t\right)$

Do đó quãng đường vật đi được từ thời điểm $t_1$ đến $t_2$ là $S=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}v\left(t\right)dt.$

Vận tốc tức thời của vật:  $v\left(t\right)=\int a\left(t\right)dt$

2. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1. Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì tài xế đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = -5t + 10 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

A. 0,2 m

B. 2 m

C. 10 m

D. 20 m

Lời giải

Nguyên hàm của hàm vận tốc chính là quãng đường s(t) mà ô tô đi được sau quãng đường t giây kể từ lúc tài xế đạp phanh xe.

QUẢNG CÁO

Vào thời điểm người lái xe bắt đầu đạp phanh ứng với t = 0.

Khoảng thời gian t kể từ lúc ô tô đạp phanh đến khi dừng lại là

-5t + 10 = 0 → t = 2 (s).

Vậy từ lúc đạp phanh đến khi dừng lại quãng đường ô tô đi được là

$$\begin{gathered} s=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\text{(-5t\hspace{0.17em}+\hspace{0.17em}10)dt}={\left.\left(\frac{-5}{2}{t}^2+10t\right)\right|}_0^2 \\ =\left(\frac{-5}{2}{.2}^2+10.2\right)-\left(\frac{-5}{2}{.0}^2+10.0\right) \\ =10\left(m\right) \end{gathered}$$

Chọn C.

Ví dụ 2. Một vật chuyển động với vận tốc đầu bằng 0, vận tốc biến đổi theo quy luật, và có gia tốc a = 0,3 (m/s²). Xác định quãng đường vật đó đi được trong 40 phút đầu tiên.

A. 12000m

B. 240 m

C. 864000 m

D. 3200 m

Phân tích

Biểu thức gia tốc là đạo hàm của biểu thức vận tốc, đến đây, kết hợp với ví dụ đầu ta kết luận: “Biểu thức gia tốc là đạo hàm cấp một của biểu thức vận tốc, và là đạo hàm cấp hai của biểu thức quãng đường”. Từ đây ta có lời giải:

Lời giải

Đổi 40 phút = 2400s

Ta có  $v\left(t\right)=\underset{}{\overset{}{\int }}0,3\text{dt}=0,3t$  (do ban đầu vận tốc của vật bằng 0).

Vậy quãng đường vật đi được trong 40 phút đầu tiên là:

$$\begin{gathered} S=\underset{0}{\overset{2400}{\int }}\text{0,3tdt}={\left.\frac{0,3}{2}{t}^2\right|}_0^{2400} \\ =\frac{0,3}{2}{.2400}^2-\frac{0,3}{2}{.0}^2 \\ =864000 \left(m\right) \end{gathered}$$

Chọn C.

3. Bài tập tự luyện.

Câu 1. Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức v(t) = 3t + 2, thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi được tính theo đơn vị m. Biết tại thời điểm t = 2s thì vật đi được quãng đường là 10m. Hỏi tại thời điểm t = 30s thì vật đi được quãng đường là bao nhiêu?

A. 1410 m

B. 1140 m

C. 300 m

D. 240 m

Câu 2. Một tàu lửa đang chạy với vận tốc 200 m/s thì người lái tàu đạp phanh; từ thời điểm đó, tàu chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 200 – 20t (m/s). Trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi thời gian khi tàu đi được quãng đường 750 m (kể từ lúc bắt đầu đạp phanh) ít hơn bao nhiêu giây so với lúc tàu dừng hẳn?

A. 5 s

B. 8 s

C. 15 s

D. 10 s

Câu 3. Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ khi t = 0 (s) chuyển động thẳng với vận tốc v(t) = t(5 - t) (m/s). Tìm quãng đường vật đi được cho đến khi nó dừng lại.

A. $\frac{125}{12}$ (m)

B. $\frac{125}{9}$ (m)

C. $\frac{125}{3}$ (m)

D. $\frac{125}{6}$ (m)

Câu 4. Một người đi xe đạp dự định trong buổi sáng đi hết quãng đường 60 km. Khi đi được $\frac{1}{2}$ quãng đường, anh ta thấy vận tốc của mình chỉ bằng $\frac{2}{3}$ vận tốc dự định, anh ta bèn đạp nhanh hơn vận tốc dự định 3km/h, đến nơi anh ta vẫn chậm mất 45 phút. Hỏi vận tốc dự định của người đi xe đạp là bao nhiêu?

A. 5 km/h

B. 12 km/h

C. 7 km/h

D. 18 km/h

Câu 5. Một ôtô đang chạy với vận tốc 10 m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc  v = -5t + 15 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ôtô còn di chuyển bao nhiêu mét?

A. 20m

B. 10 m

C. 22,5m

D. 5m

Câu 6. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $S=2t^3-t+1$, trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi

t = 2s là:

A. 63 m/s²

B. 64 m/s²

C. 23 m/s²

D. 24 m/s²

Câu 7. Cho một vật chuyển động có phương trình là: $S=2t^3-\frac{2}{t}+3$ (t được tính bằng giây, S tính bằng mét). Vận tốc của chuyển động thẳng t = 2s là:

A. 3 m/s

B. $\frac{49}{2}$ m/s

C. 12 m/s

D. $\frac{47}{2}$ m/s

Câu 8. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $S=2t^4-t+1$, trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét. Vận tốc của chuyển động khi t = 1 s là:

A. 24 m/s

B. 23 m/s

C. 7 m/s

D. 8 m/s

Câu 9. Một chiếc ôtô sẽ chạy trên đường với vận tốc tăng dần đều với vận tốc

v = 10t (m/s), t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu chạy. Hỏi quãng đường xe phải đi là bao nhiêu từ lúc xe bắt đầu chạy đến khi đạt vận tốc 20 (m/s)?

A. 10m

B. 20m

C. 30m

D. 40m

Câu 10. Một ôtô đang chạy với vận tốc 19m/s thì người lái hãm phanh, ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = -38t + 19 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ôtô còn di chuyển bao nhiêu mét?

A. 4,75m

B. 4,5m

C. 4,25m

D. 5m

Câu 11. Một ô tô đang chạy đều với vận tốc 15 m/s thì phía trước xuất hiện chướng ngại vật nên người lái đạp phanh gấp. Kể từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc -a m/s². Biết ô tô chuyển động thêm được 20 m thì dừng hẳn. Hỏi a thuộc khoảng nào dưới đây:

A. (3;4)

B. (4;5)

C. (5;6)

D. (6;7)

Câu 12. Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc $$$v_1\left(t\right)=7t\left(\text{m/s}\right)$. Đi được 5 s, người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc $a=-70\left({\text{m/s}}^{\text{2}}\right)$. Tính quãng đường S (m) đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.

A. $S=87,50\left(\text{m}\right)$

B. $S=94,00\left(\text{m}\right)$

C. $S=95,70\left(\text{m}\right)$

D. $S=96,25\left(\text{m}\right)$ 

Câu 13. Một viên đạn được bắn theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 29,4 m/s. Gia tốc trọng trường là 9,8 m/s². Tính quãng đường S viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho đến khi chạm đất.

A. S = 88,2 (m)

B. S = 88,5 (m)

C. S = 88 (m)

D. S = 89 (m)

Câu 14. Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc v_o = 15 m/s thì tăng vận tốc với gia tốc $a\left(t\right)=t^2+4t$ (m/s²). Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc.

A. 68,25 m

B. 70,25 m

C. 69,75 m

D. 67,25 m

Câu 15. Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị của vận tốc như hình dưới. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I(2; 9) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

A. s = 23,25 (km)

B. s = 21,58 (km)

C. s = 15,50 (km)

D. s = 13,83 (km)

Đáp án

B. BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ DIỆN TÍCH.

1. Phương pháp giải

+ Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số  y = f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được tính theo công thức

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$ (1)

+ Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b].

Khi đó diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x); y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx$.

2.  Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1. Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/1m². Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn.)

A. 7.862.000 đồng

B. 7.653.000 đồng.

C. 7.128.000 đồng. 

D. 7.826.000 đồng.

Lời giải

Nhận thấy đây là bài toán áp dụng ứng dụng của tích phân vào tính diện tích hình phẳng. Ta có hình vẽ bên:

Ta thấy, diện tích hình phẳng cần tìm gấp 4 lần diện tích phần gạch chéo, do đó ta chỉ cần đi tìm diện tích phần gạch chéo.

Gọi phương trình elip là: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

Theo bài ra ta có: 2a = 16; 2b = 10 suy ra a = 8; b = 5.

Ta có phương trình đường elip đã cho là $\frac{x^2}{8^2}+\frac{y^2}{5^2}=1$.

Xét trên $\left[0;4\right]$ nên $y>0$ nên ta có: $y=\frac{5}{8}\sqrt{8^2-x^2}$

Khi đó $S_{cheo}=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\frac{5}{8}\sqrt{8^2-x^2}dx$

Vậy diện tích trồng hoa của ông An trên mảnh đất là:  

$S=4.\underset{0}{\overset{4}{\int }}\frac{5}{8}\sqrt{8^2-x^2}dx\approx 76,5289182$

Lưu ý: Để giải S:

Cách 1: Sử dụng máy tính cầm tay.

Cách 2: Dùng cách đổi biến số: đặt x = 8sint với $t\in \text{[}\frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{2}\text{] }$ thì dx = 8costdt.

Đổi cận:

$\begin{array}{l}x=4\Rightarrow \sin t=\frac{1}{2}\Rightarrow t=\frac{\pi }{6}\\ x=0\Rightarrow \sin t=0\Rightarrow t=0\end{array}$

Khi đó:

Khi đó số kinh phí phải trả của ông An là:

$76,5289182.100000\approx \mathrm{7.653.000}$ đồng.

Chọn B.

Ví dụ 2. Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ bên, biết đường cong phía trên là một Parabol. Giá 1 (m²) của rào sắt là 700.000 đồng. Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm tròn đến hàng phần nghìn).

A. 6.520.000 đồng.

B. 6.320.000 đồng. 

C. 6.417.000 đồng.

D. 6.620.000 đồng.

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Trong đó A(-2,5; 1,5), B(2,5; 1,5), C(0; 2).

Giả sử đường cong trên là một Parabol có dạng $y=a{x}^2+bx+c$, với a, b, c $\in ℝ$

Do Parabol đi qua các điểm đó A(-2,5; 1,5), B(2,5; 1,5), C(0; 2) nên ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}\begin{array}{l}{\text{a.(-2,5)}}^{\text{2}}\text{+b.(-2,5)+c=1,5}\\ {\text{a.(2,5)}}^{\text{2}}\text{+b.(2,5)+c=1,5}\end{array}\\ \text{c=2}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}\begin{array}{l}\text{a=}\frac{\text{-2}}{\text{25}}\\ \text{b=0}\end{array}\\ \text{c=2}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Khi đó phương trình Parabol là:

$y=\frac{-2}{25}{x}^2+2.$

Diện tích S của cửa rào sắt là diện tích phần hình phẳng giới bởi đồ thị hàm số $y=\frac{-2}{25}{x}^2+2$, trục hoành và hai đường thẳng x = -2,5; x = 2,5.

Ta có :

Vậy ông An phải trả số tiền để làm cái cửa sắt là:

$$\begin{gathered} S.700000=\frac{55}{6}.700000 \\ \approx \mathrm{6.417.000} \left(đồng\right). \end{gathered}$$

Chọn C.

3. Bài tập tự luyện.

Câu 1. Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng 100m, trục nhỏ bằng 80m. Người ta thiết kế một mảnh nhỏ hình thoi có bốn đỉnh là bốn đỉnh của eip trên để trồng hoa, phần còn lại trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là 5000 đồng mỗi m² trồng rau và 10.000 đồng  mỗi m² trồng hoa. Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn).

A. 25.708.000 đồng

B. 51.416.000 đồng 

C. 31.415.000 đồng. 

D. 17.635.000 đồng

Câu 2. Ở quảng trường một thành phố A có một miếng đất hình tròn đường kính  30m. Trong lòng hình tròn đó người ta dự định trồng hoa hồng trên một miếng là hình elip có trục lớn bằng đường kính và trục bé bằng một phần ba đường kính đường tròn trên ( âm của đường tròn và elip trùng nhau), phần còn lại làm hồ. Biết chi phí để trồng một 1m² hoa hồng là 500.000 đồng, chi phí làm 1m² hồ là 2.000.000 đồng. Hỏi thành phố đó phải bỏ ra chi phí là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn).

A. 706.858.000

B. 514.160.000

C. 1.413.717.000

D. 680.340.000

Câu 3. Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng , trục nhỏ bằng 80m được chia thành 2 phần bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là 2000 mỗi m² trồng cây con và 4000 mỗi m² trồng rau. Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn).

A. 31.904.000

B. 23.991.000

C. 10.566.000

D. 17.635.000

Câu 4. Cho một mảnh vườn hình chữ nhật ABCD có chiều rộng là 2m, chiều dài gấp ba chiều rộng. Người ta chia mảnh vườn bằng cách dùng hai đường parabol, mỗi đường parabol có đỉnh là trung điểm mỗi cạnh dài và đi qua hai mút của canh dài đối diện. Tính tỉ số diện tích phần mảnh vườn nằm ở miền trong hai parabol với diện tích phần còn lại.  

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{2+3\sqrt{2}}{7}$

Câu 5. Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/m². Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).

A. 7.862.000 đồng.

B. 7.653.000 đồng.

C. 7.128.000 đồng.

D. 7.826.000 đồng.

Câu 6. Trên cánh đồng cỏ có hai con bò được cột vào hai cây cọc khác nhau. Biết khoảng cách giữa hai cọc là 4 mét còn hai  sợi dây cột hai con bò dài 3 mét và 2 mét. Tính phần diện tích mặt cỏ lớn nhất mà hai con bò có thể ăn chung (lấy giá trị gần đúng nhất).

A. 1,034 m²

B. 1,574 m² 

C. 1,989 m²

D. 2,824 m²

Câu 7. Cho đường tròn có đường kính bằng 4 và 2 đường Elip lần lượt nhận 2 đường kính vuông góc nhau của đường tròn làm trục lớn, trục bé của mỗi Elip đều bằng 1. Diện tích S phần hình phẳng bên trong đường tròn và bên ngoài 2 Elip (phần gạch carô trên hình vẽ) gần với kết quả nào nhất trong 4 kết quả dưới đây?

A. S = 4,8

B. S = 3,9

C. S = 3,7

D. S = 3,4

Câu 8. Một cổng chào có dạng hình parabol chiều cao 18m chiều rộng chân đế 12m. Người ta căng hai sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi parabol và mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số $\frac{AB}{CD}$bằng?

A. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

B. $\frac{4}{5}$

C. $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

D. $\frac{3}{1+2\sqrt{2}}$

Câu 9. Trong Công viên Toán học có những mảnh đất mang hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp trong toán học. Ở đó có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình trong hệ tọa độ Oxy là $16y^2=x^2\left(25-x^2\right)$ như hình vẽ.

Tính diện tích  của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài 1 mét.

A. $S=\frac{125}{6}\left(m^2\right)$

B. $S=\frac{125}{4}\left(m^2\right)$

C. $S=\frac{250}{3}\left(m^2\right)$

D. $S=\frac{125}{3}\left(m^2\right)$

Câu 10. Bác Năm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Vậy số tiền bác Năm phải trả là:

A. 33.750.000 đồng.

B. 12.750.000 đồng. 

C. 6.750.000 đồng.

D. 3.750.000

Đáp án

C. BÀI TOÁN THỰC TẾ TÍNH THỂ TÍCH.

1. Phương pháp giải

a) Thể tích vật thể

Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm a a ≤ x ≤ b. Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Thể tích của B là: $V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}S\left(x\right)dx$

b) Thể tích khối tròn xoay

Cho hàm số y = f(x) liên tục; không âm trên [a; b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x); trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b quay quanh trục Ox tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích của nó là: $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)\text{d}x$

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y), trục tung và hai đường thẳng y = c; y = d quay quanh trục Oy là: $V=\pi \underset{c}{\overset{d}{\int }}{g}^2\left(y\right)dy$

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x); y = g(x) và hai đường thẳng x = a; x = b quay quanh trục Ox: $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f^2\left(x\right)-g^2\left(x\right)\right|\text{d}x$

2. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ: Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt nằm ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao h của mực cát bằng $\frac{3}{4}$ chiều cao của bên đó (xem hình).

Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi 2.90 cm³/phút. Khi chiều cao của cát còn 4cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn chu vi 8π cm (xem hình). Biết sau 30 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài là bao nhiêu cm ?

A. 8cm.

B. 12cm

C. 10cm.

D. 9cm.

Lời giải

Xét thiết diện chứa trục theo phương thẳng đứng của đồng hồ cát là parabol. Gọi (P) là đường Parabol phía trên. Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ .

Đường tròn thiết diện có chu vi bằng 8π = 2πR → R = 4.

Do (P) có đỉnh là O(0; 0) nên phương trình $\left(P\right):y=a{x}^2.$

(P) đi qua A(4; 4) nên ta có: $4=a{.4}^2\Rightarrow a=\frac{1}{4}$

Vậy phương trình  $\left(P\right):y=\frac{1}{4}{x}^2.$

Thể tích phần cát ban đầu chính bằng thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay nhánh phải của (P) quay quanh trục Oy và bằng lượng cát đã chảy trong thời gian 30 phút .

Ta có:

$V=\pi \underset{0}{\overset{h}{}}{\left(2\sqrt{y}\right)}^{2}dy=2\pi h^2$

Lượng cát chảy trong 30 phút là 2,9.30 = 87 (m³).

Vậy:

$V=87\Rightarrow 2\pi h^2=87\Rightarrow h=\sqrt{\frac{87}{2\pi }}$

Chiều cao hình trụ bên ngoài là:

  l = 2.$\frac{4}{3}.\sqrt{\frac{87}{2\pi }}\approx 10cm$

Chọn đáp án C.

3. Bài tập tự luyện.

Câu 1. Một quả đào hình cầu có đường kính 6cm. Hạt của nó là khối tròn xoay sinh ra bởi hình Elip khi quay quanh đường thẳng nối hai tiêu điểm F₁, F₂. Biết tâm của Elip trùng với tâm của khối cầu và độ dài trục lớn, trục nhỏ lần lượt là 4cm, 2cm. Thể tích phần cùi (phần ăn được) của quả đào bằng $\frac{a}{b}\pi$ (cm³) với a, b là các số thực và $\frac{a}{b}$ tối giản, khi đó a - b bằng

A. 97

B. 36

C. 5

D. 103

Câu 2. Từ một tấm tôn hình chữ nhật ABCD với AB = 30cm, AD = $\frac{55}{3}\pi$. Người ta cắt miếng tôn theo đường hình  như hình vẽ bên để được hai miếng tôn nhỏ. Biết AM = 20cm, CN = 15cm, BE = 5πcm. Tính thể tích của lọ hoa được tạo thành bằng cách quay miếng tôn lớn quanh trục AD (kết quả làm tròn đến hàng trăm).

A. 81 788 cm³

B. 87 388 cm³

C. 83 788 cm³

D. 7 883 cm³

Câu 3. Một bồn hình trụ đang chứa dầu, được đặt nằm ngang, có chiều dài bồn là 5m, có bán kính đáy 1m, với nắp bồn đặt trên mặt nằm ngang của mặt trụ. Người ta đã rút dầu trong bồn tương ứng với 0,5m của đường kính đáy. Tính thể tích gần đúng nhất của khối dầu còn lại trong bồn (theo đơn vị ${\text{m}}^{\text{3}}$)

A. 11,781 ${\text{m}}^{\text{3}}$

B. 12,637${\text{m}}^{\text{3}}$

C. 114,923${\text{m}}^{\text{3}}$

D. 8,307${\text{m}}^{\text{3}}$

Câu 4. Một Bác thợ gốm làm một cái lọ có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x+1}$ và trục Ox quay quanh trục Ox biết đáy lọ và miệng lọ có đường kính lần lượt là 2 dm và 4 dm, khi đó thể tích của lọ là:

A. $8\pi {\text{ dm}}^{\text{2}}.$

B. $\frac{15}{2}\pi {\text{ dm}}^{\text{3}}.$

C.  $\frac{14}{3}\pi {\text{ dm}}^{\text{2}}.$

D. $\frac{15}{2}{\text{ dm}}^{\text{2}}.$

Câu 5. Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ. Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu. (Đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol).

A. $19m^3$

B. $21m^3$

C. $18m^3$

D. $40m^3$

Câu 6. Người ta dựng một cái lều vải (H) có dạng hình “chóp lục giác cong đều”  như hình vẽ bên. Đáy của (H) là một hình lục giác đều cạnh 3m. Chiều cao $SO=6m$ (SO vuông góc với mặt phẳng đáy). Các cạnh bên của (H) là các sợi dây $c_1,c_2,c_3,c_4,c_5,c_6$ nằm trên các đường parabol có trục đối xứng song song với SO. Giả sử giao tuyến (nếu có) của (H) với mặt phẳng (P) vuông góc với SO là một lục giác đều và khi (P) qua trung điểm của SO thì lục giác đều có cạnh bằng 1m. Tính thể tích phần không gian nằm bên trong cái lều (H) đó.

A. $\frac{135\sqrt{3}}{5}\left(m^3\right)$

B. $\frac{96\sqrt{3}}{5}\left(m^3\right)$

C. $\frac{135\sqrt{3}}{4}\left(m^3\right)$

D. $\frac{135\sqrt{3}}{8}\left(m^3\right)$

Câu 7. Một khối cầu có bán kính là 5 dm, người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng 3 dm để làm một chiếc lu đựng nước (như hình vẽ). Tính thể tích mà chiếc lu chứa được.

A. $\frac{100}{3}\pi \left(d{m}^3\right)$

B. $\frac{43}{3}\pi \left(d{m}^3\right)$

C. $41\pi \left(d{m}^3\right)$

D. $132\pi \left(d{m}^3\right)$

Câu 8. Bổ dọc một quả dưa hấu ta được thiết diện là hình elip có trục lớn là 28cm, trục nhỏ 25cm. Biết cứ 1000cm³ dưa hấu sẽ làm được cốc sinh tố giá 20.000 đ. Hỏi từ quả dưa như trên có thể thu được bao nhiêu tiền từ việc bán nước sinh tố? (Biết rằng bề dày của vỏ dưa không đáng kể, kết quả đã được quy tròn)

A. 183.000 đ

B. 180.000 đ

C. 185.000 đ

D. 190.000 đ

Đáp án

Xem thêm các dạng Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và cách giải

Ứng dụng của tích phân tính thể tích khối tròn xoay và cách giải

Các công thức nguyên hàm cơ bản đầy đủ, chi tiết nhất

Các công thức nguyên hàm mở rộng đầy đủ, chi tiết nhất

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ, chi tiết nhất