Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ, chi tiết

192

Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Công thức nguyên hàm từng phần hay, chi tiết, từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh nắm vững kiến thức về Công thức nguyên hàm từng phần, từ đó học tốt môn Toán.

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ, chi tiết

1. Lý thuyết

Định lí: Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

uxv'xdx=uxvxu'xvxdx

Hay udv=uvvdu

Phương pháp:

Cách 1: Sử dụng định lý trên

Bước 1. Chọn u, v sao cho f(x)dx = udv (chú ý dv = v'(x)dx).

Sau đó tính v=dv và du = u'.dx.

Bước 2. Thay vào công thức và tính v=vdu

Chú ý. Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân vdu dễ tính hơn udv. Ta thường gặp các dạng sau

Dạng 1. I=Pxsinxcosxdx, trong đó P(x) là đa thức. Ta đặt u=Pxdv=sinxcosxdx.

Dạng 2. I=Pxeax+bdx, trong đó P(x) là đa thức. Ta đặt u=Pxdv=eax+bdx.

Dạng 3. I=Pxlnmx+ndx, trong đó P(x) là đa thức. Ta đặt u=lnmx+ndv=Pxdx.

Dạng 4. I=sinxcosxexdx. Ta đặt u=sinxcosxdv=exdx.

Thứ tự ưu tiên đặt u: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” và dv phần còn lại. Nghĩa là nếu có ln hay logax thì chọn u=lnx hay u=logax=1lna.lnx và dv = còn lại. Nếu không có ln; log thì chọn u = đa thức và dv = còn lại. Nếu không có log, đa thức, ta chọn u = lượng giác,….

Cách 2: Sử dụng bảng

Loại 1: Ví dụ: x3exdx

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 (ảnh 1)

Vậy :

x3exdx=x3ex3x2ex+6xex6ex+C

Loại 2: Nguyên hàm lặp. Ví dụ: cosxexdx

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 (ảnh 1)

Vậy

cosxexdx=cosxexsinxex+cosxexdxcosxexdx=12cosx+sinxex

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính các nguyên hàm

a) I=xexdx

b) I=xlnxdx

Lời giải

a) I=xexdx

Đặt u=xdv=exdxdu=dxv=ex

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có

I=xexdx=xexexdx=xexex+C

b) I=xlnxdx

Đặt u=lnxdv=xdxdu=dxxv=x22

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có:

I=xlnxdx=12x2lnx12xdx=12x2lnx14x2+C

Ví dụ 2: Tính các nguyên hàm sau:

a) I=x2cosxdx

b) I=sinx.exdx

Lời giải

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 (ảnh 1)

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 (ảnh 1)

Xem thêm các dạng bài tập Toán hay, chi tiết khác:

Các công thức nguyên hàm cơ bản đầy đủ, chi tiết nhất

Các công thức nguyên hàm mở rộng đầy đủ, chi tiết nhất

Công thức nguyên hàm đổi biến đầy đủ, chi tiết nhất

Công thức nguyên hàm hàm hợp đầy đủ, chi tiết nhất

Công thức nguyên hàm hàm lượng giác chi tiết nhất

Từ khóa :
Giải bài tập
Đánh giá

0

0 đánh giá