Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ, chi tiết

Giang Ngày: 07-06-2023 Lớp 12

136

Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Công thức nguyên hàm từng phần hay, chi tiết, từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh nắm vững kiến thức về Công thức nguyên hàm từng phần, từ đó học tốt môn Toán.

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ, chi tiết

1. Lý thuyết

Định lí: Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

$\int u (x) v' (x) d x = u (x) v (x) - \int u' (x) v (x) d x$

Hay $\int u d v = u v - \int v d u$

Phương pháp:

Cách 1: Sử dụng định lý trên

Bước 1. Chọn u, v sao cho f(x)dx = udv (chú ý dv = v'(x)dx).

Sau đó tính $v = \int d v$ và du = u'.dx.

Bước 2. Thay vào công thức và tính $v = \int v du$

Chú ý. Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân $\int v d u$ dễ tính hơn $\int u d v$ . Ta thường gặp các dạng sau

Dạng 1. $I = \int P (x) [\begin{array}{l} \sin x \\ \cos x \end{array}] d x$ , trong đó P(x) là đa thức. Ta đặt $\{\begin{cases} u = P (x) \\ d v = [\begin{array}{l} \sin x \\ \cos x \end{array}] d x \end{cases}$ .

Dạng 2. $I = \int P (x) e^{a x + b} d x$ , trong đó P(x) là đa thức. Ta đặt $\{\begin{cases} u = P (x) \\ d v = e^{a x + b} d x \end{cases}$ .

Dạng 3. $I = \int P (x) \ln (m x + n) d x$ , trong đó P(x) là đa thức. Ta đặt $\{\begin{cases} u = \ln (m x + n) \\ d v = P (x) d x \end{cases}$ .

Dạng 4. $I = \int [\begin{array}{l} \sin x \\ \cos x \end{array}] e^{x} d x$ . Ta đặt $\{\begin{cases} u = [\begin{array}{l} \sin x \\ \cos x \end{array}] \\ d v = e^{x} d x \end{cases}$ .

Thứ tự ưu tiên đặt u: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” và dv phần còn lại. Nghĩa là nếu có ln hay log_ax thì chọn u=lnx hay $u = \log_{a} x = \frac{1}{\ln a} . \ln x$ và dv = còn lại. Nếu không có ln; log thì chọn u = đa thức và dv = còn lại. Nếu không có log, đa thức, ta chọn u = lượng giác,….

Cách 2: Sử dụng bảng

Loại 1: Ví dụ: $\int x^{3} e^{x} d x$

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 (ảnh 1)

Vậy :

$\int x^{3} e^{x} d x = x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x} + C$

Loại 2: Nguyên hàm lặp. Ví dụ: $\int \cos x e^{x} d x$

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 (ảnh 1)

Vậy

$\int \cos x e^{x} d x = \cos x e^{x} - (- \sin x) e^{x} + \int - \cos x e^{x} d x \Rightarrow \int \cos x e^{x} d x = \frac{1}{2} (\cos x + \sin x) e^{x}$