Công thức tính thể tích khối tròn xoay chi tiết

Giang Ngày: 20-06-2023 Lớp 12

298

Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Công thức tính thể tích khối tròn xoay hay, chi tiết, từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh nắm vững kiến thức về Công thức tính thể tích khối tròn xoay, từ đó học tốt môn Toán.

Công thức tính thể tích khối tròn xoay chi tiết

1. Lý thuyết

* Quay quanh trục Ox:

Hình giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (trong đó f(x) liên tục trên đoạn [a;b]) quay quanh trục Ox, ta được khối tròn xoay.

Thể tích của khối tròn xoay được tính theo công thức: $V = π \int_{a}^{b} {[f (x)]}^{2} d x$

Công thức tính thể tích khối tròn xoay đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 (ảnh 1)

Hình giới hạn bởi hai đường cong y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b (trong đó f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a;b]) quay quanh trục Ox.

Thể tích của khối tròn xoay được tính theo công thức: $V = π \int_{a}^{b} |f^{2} (x) - g^{2} (x)| d x$

Công thức tính thể tích khối tròn xoay đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 (ảnh 1)

* Quay quanh trục Oy:

Hình giới hạn bởi đường cong x = f(y), trục Oy và hai đường thẳng y = c; y = d (trong đó f(x) liên tục trên đoạn [c; d]) quay quanh trục Oy, ta được khối tròn xoay.

Thể tích của khối tròn xoay được tính theo công thức: $V = π \int_{a}^{b} {[f (y)]}^{2} d y$

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = sin x, trục hoành, hai đường thẳng $x = 0; x = \frac{π}{4}$ quay quanh trục hoành?

Lời giải

Hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sin x; y = 0; x = 0; x = \frac{π}{4}$ quay quanh trục Ox nên có thể tích:

Công thức tính thể tích khối tròn xoay đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 (ảnh 1)

Ví dụ 2: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường: $y = x; y = \sqrt{x}$ . Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay H quanh trục hoành?

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường:

$x = \sqrt{x} \Rightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \end{array}$

Thể tích khối tròn xoay được tạo bởi hai đường $y = x; y = \sqrt{x}$ là:

$V = π \int_{0}^{1} |x^{2} - {(\sqrt{x})}^{2}| d x = π \int_{0}^{1} |x^{2} - x| d x = π {|\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2}||}_{0}^{1} = π |\frac{1}{3} - \frac{1}{2}| = \frac{π}{6}$