Giải Toán 11 trang 66 Tập 1 (Chân trời sáng tạo)

Với giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo trang 66 chi tiết trong Bài 1: Giới hạn của dãy số giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 trang 66 Tập 1 (Chân trời sáng tạo)

Hoạt động khám phá 3 trang 66 Toán 11 Tập 1: Ở trên ta đã biết $\lim (3 + \frac{1}{n^{2}}) = \lim \frac{3 n^{2} + 1}{n^{2}} = 1$ .

a) Tìm các giới hạn lim 3 và $\lim \frac{1}{n^{2}}$ .

b) Từ đó, nêu nhận xét về $\lim (3 + \frac{1}{n^{2}})$ và lim 3 + $\lim \frac{1}{n^{2}}$ .

Lời giải:

a) Ta có: lim 3 = 3, $\lim \frac{1}{n^{2}} = 0$ .

b) Đặt $u_{n} = 3 + \frac{1}{n^{2}} \Leftrightarrow u_{n} - 3 = \frac{1}{n^{2}}$

Suy ra $\lim (u_{n} - 3) = \lim \frac{1}{n^{2}} = 0$

$\Rightarrow \lim u_{n} = 3$

Ta có: lim 3 + $\lim \frac{1}{n^{2}}$ = 3 + 0 = 3.

Vậy $\lim (3 + \frac{1}{n^{2}})$ = lim 3 + $\lim \frac{1}{n^{2}}$ .

Thực hành 3 trang 66 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{2 n^{2} + 3 n}{n^{2} + 1}$ ;

b) $\lim \frac{\sqrt{4 n^{2} + 3}}{n}$ .

Lời giải:

a) $\lim \frac{2 n^{2} + 3 n}{n^{2} + 1} = \lim \frac{2 + \frac{3}{n}}{1 + \frac{1}{n^{2}}} = 2$ .

b) Ta có: $\frac{\sqrt{4 n^{2} + 3}}{n} = \sqrt{4 + \frac{3}{n^{2}}}$

$\lim \frac{\sqrt{4 n^{2} + 3}}{n} = \lim \sqrt{4 + \frac{3}{n^{2}}} = \sqrt{\lim (4 + \frac{3}{n^{2}})} = \sqrt{\lim 4 + \lim \frac{3}{n^{2}}} = 2$ .

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Hoạt động khám phá 4 trang 67 Toán 11 Tập 1: Từ một hình vuông có cạnh bằng 1, tô màu một nửa hình vuông, rồi tô màu một nửa hình còn lại, và cứ tiếp tục như vậy (xem Hình 2).

a) Xác định diện tích u_k của phần hình được tô màu lần thứ k (k = 1, 2, 3, ...).

b) Tính tổng diện tích S_n của phần hình được tô màu sau lần tô thứ n (n = 1, 2, 3, ...).

c) Tìm giới hạn limS_n và so sánh giới hạn này với diện tích hình vuông ban đầu.

Lời giải:

a) Xác định diện tích u_k của phần hình được tô màu lần thứ k (k = 1, 2, 3, ...).

Ta có: u₁ = 1. $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ ; u₂ = $\frac{1}{2} . \frac{1}{2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$ ; u₃ = $\frac{1}{2} . \frac{1}{2} . \frac{1}{2} = {(\frac{1}{2})}^{3}$ ; u₄ = $\frac{1}{2} . \frac{1}{2} . \frac{1}{2} . \frac{1}{2} = {(\frac{1}{2})}^{4}$ ; ...

Diện tích u_k của phần hình được tô màu lần thứ k là một cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1} = \frac{1}{2}$ và công bội $q = \frac{1}{2}$ .

Khi đó công thức số hạng tổng quát là: $u_{k} = {(\frac{1}{2})}^{k}, (k = 1, 2, 3, ...)$

b) Tổng diện tích S_n của phần hình được tô màu sau lần tô thứ n (n = 1, 2, 3, ...) là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân ta được:

$S_{n} = \frac{u_{1} (1 - q^{n})}{1 - q} = \frac{\frac{1}{2} . (1 - {(\frac{1}{2})}^{n})}{1 - \frac{1}{2}} = (1 - {(\frac{1}{2})}^{n})$ .

c) Ta có: limS_n = $\lim (1 - {(\frac{1}{2})}^{n}) = \lim 1 - \lim {(\frac{1}{2})}^{n} = 1$ .

Khi đó limS_n = 2u₁.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Hoạt động khởi động trang 64 Toán 11 Tập 1: Bạn nam thứ 1: Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,666... và số 2/3 là hai số bằng nhau.

Hoạt động khám phá 1 trang 64 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{n}$ . a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

Thực hành 1 trang 65 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:a) $\lim \frac{1}{n^{2}}$ ; b) $\lim {(- \frac{3}{4})}^{n}$ .

Hoạt động khám phá 2 trang 65 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{2 n + 1}{n}$ . a) Cho dãy số (v_n) với v_n = u_n – 2. Tìm giới hạn lim v_n.

Thực hành 2 trang 65 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau: a) $\lim (2 + {(\frac{2}{3})}^{n})$ ;

Hoạt động khám phá 3 trang 66 Toán 11 Tập 1: Ở trên ta đã biết $\lim (3 + \frac{1}{n^{2}}) = \lim \frac{3 n^{2} + 1}{n^{2}} = 1$ . a) Tìm các giới hạn lim 3 và $\lim \frac{1}{n^{2}}$ .

Thực hành 3 trang 66 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau: a) $\lim \frac{2 n^{2} + 3 n}{n^{2} + 1}$ ;

Hoạt động khám phá 4 trang 67 Toán 11 Tập 1:Từ một hình vuông có cạnh bằng 1, tô màu một nửa hình vuông, rồi tô màu một nửa hình còn lại, và cứ tiếp tục như vậy (xem Hình 2).

Thực hành 4 trang 68 Toán 11 Tập 1: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: $1 + \frac{1}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2} + ... + {(\frac{1}{3})}^{n} + ...$

Vận dụng 1 trang 68 Toán 11 Tập 1: Từ tờ giấy, cắt một hình tròn bán kính R (cm) như Hình 3a. Tiếp theo, cắt hai hình tròn bán kính R/2 rồi chồng lên hình tròn đầu tiên như Hình 3b. Tiếp theo, cắt bốn hình tròn bán kính R/4 rồi chồng lên các hình trước như Hình 3c. Cứ thế tiếp tục mãi. Tính tổng diện tích của các hình tròn.

Hoạt động khám phá 5 trang 68 Toán 11 Tập 1: Dựng một dãy hình vuông bằng cách ghép từ các hình vuông đơn vị (cạnh bằng 1 đơn vị độ dài) theo các bước như Hình 4. Kí hiệu u_n (đơn vị diện tích) là diện tích hình vuông dựng được ở bước thứ n.

Bài 1 trang 69 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau: a) $\lim \frac{- 2 n + 1}{n}$ ;

Bài 2 trang 69 Toán 11 Tập 1: Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau: a) $- \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + ... + {(- \frac{1}{2})}^{n} + ...$ ;

Bài 3 trang 69 Toán 11 Tập 1: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,444 ... dưới dạng phân số.

Bài 4 trang 70 Toán 11 Tập 1: Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dài), nối các trung điểm của bốn cạnh để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5).

Bài 5 trang 70 Toán 11 Tập 1: Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng 0 như sau:

Xem thêm lời giải sách giáo khoa Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 3: Cấp số nhân

Bài tập cuối chương 2

Bài 2: Giới hạn của hàm số

Bài 3: Hàm số liên tục

Bài tập cuối chương 3

Giải Toán 11 trang 66 Tập 1 (Chân trời sáng tạo)

Từ khóa :

Đánh giá

Bài viết cùng môn học

Tìm kiếm

Bài Viết Xem Nhiều

Bài Viết Cùng Lớp