Giải Toán 11 trang 70 Tập 1 (Chân trời sáng tạo)

Với giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo trang 70 chi tiết trong Bài 1: Giới hạn của dãy số giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 trang 70 Tập 1 (Chân trời sáng tạo)

Bài 4 trang 70 Toán 11 Tập 1: Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dài), nối các trung điểm của bốn cạnh để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5).

a) Kí hiệu a_n là diện tích của hình vuông thứ n và S_n là tổng diện tích của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính a_n, S_n (n = 1, 2, 3, ...) và tìm limS_n (giới hạn này nếu có được gọi là tổng diện tích của các hình vuông).

b) Kí hiệu p_n là chu vi của hình vuông thứ n và Q_n là tổng chu vi của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính p_n và Q_n (n = 1, 2, 3, ...) và tìm limQ_n (giới hạn này nếu có được gọi là tổng chu vi của các hình vuông).

Lời giải:

a) Diện tích của các hình vuông lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn (a_n) với số hạng đầu là u₁ = 1 và công bội $\frac{1}{2}$ nên công thức tổng quát của a_n = ${(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ .

Ta có: $S_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2^{n}} + ...$

Tổng cấp số nhân lùi vô hạn là: $S = \lim S_{n} = \lim (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2^{n}} + ...) = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$ .

b) Chu vi p_n của hình vuông lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u₁ = 4 và công bội q = $\frac{1}{2}$ có số hạng tổng quát là: $p_{n} = 4 {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ .

Ta có: $Q_{n} = 4 + 4. \frac{1}{2} + 4. \frac{1}{4} + ... + 4. \frac{1}{2^{n}} + ...$

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là: $Q = \lim Q_{n} = \lim (4 + 4. \frac{1}{2} + 4. \frac{1}{4} + ... + 4. \frac{1}{2^{n}} + ...) = \frac{4}{1 - \frac{1}{2}} = 8$ .

Bài 5 trang 70 Toán 11 Tập 1: Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng 0 như sau:

a) Bắt đầu một hình vuông H₀ cạnh bằng 1 đơn vị độ dài (xem Hình 6a). Chia hình vuông H₀ thành chín hình vuông bằng nhau, bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình H₁ (xem Hình 6b). Tiếp theo, chia mỗi hình vuông của H₁ thành chín hình vuông, rồi bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình H₂ (xem Hình 6c). Tiếp tục quá trình này ta nhận được một dãy hình H_n(n = 1, 2, 3, ...).

Toán 11 (Chân trời sáng tạo) Bài 1: Giới hạn của dãy số (ảnh 8)

Ta có: H₁ có 5 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng $\frac{1}{3}$ ;

H₂ có 5.5 = 5² hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng $\frac{1}{3} . \frac{1}{3} = \frac{1}{3^{2}}; ...$

Từ đó, nhận được H_n có 5ⁿ hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng $\frac{1}{3^{n}}$ .

a) Tính diện tích S_n của H_n và tính lim S_n.

b) Tính chu vi p_n của H_n và tính limp_n.

(Quá trình trên tạo nên một hình, gọi là một fractal, được coi là có diện tích lim S_n và chu vi limp_n).

Lời giải:

a) Diện tích S_n của H_n là $S_{n} = 5^{n} . {(\frac{1}{3})}^{n} . {(\frac{1}{3})}^{n} = 5^{n} . {(\frac{1}{3})}^{2 n} = {(\frac{5}{9})}^{n}$

Khi đó ${limS}_{n} = \lim {(\frac{5}{9})}^{n} = 0$ .

b) Chu vi p_n của H_n là: $p_{n} = 5^{n} . (4. \frac{1}{3^{n}}) = 4. {(\frac{5}{3})}^{n}$ .

Khi đó limp_n = lim Toán 11 (Chân trời sáng tạo) Bài 1: Giới hạn của dãy số (ảnh 9) = 0.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Hoạt động khởi động trang 64 Toán 11 Tập 1: Bạn nam thứ 1: Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,666... và số 2/3 là hai số bằng nhau.

Hoạt động khám phá 1 trang 64 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{n}$ . a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

Thực hành 1 trang 65 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:a) $\lim \frac{1}{n^{2}}$ ; b) $\lim {(- \frac{3}{4})}^{n}$ .

Hoạt động khám phá 2 trang 65 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{2 n + 1}{n}$ . a) Cho dãy số (v_n) với v_n = u_n – 2. Tìm giới hạn lim v_n.

Thực hành 2 trang 65 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau: a) $\lim (2 + {(\frac{2}{3})}^{n})$ ;

Hoạt động khám phá 3 trang 66 Toán 11 Tập 1: Ở trên ta đã biết $\lim (3 + \frac{1}{n^{2}}) = \lim \frac{3 n^{2} + 1}{n^{2}} = 1$ . a) Tìm các giới hạn lim 3 và $\lim \frac{1}{n^{2}}$ .

Thực hành 3 trang 66 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau: a) $\lim \frac{2 n^{2} + 3 n}{n^{2} + 1}$ ;

Hoạt động khám phá 4 trang 67 Toán 11 Tập 1:Từ một hình vuông có cạnh bằng 1, tô màu một nửa hình vuông, rồi tô màu một nửa hình còn lại, và cứ tiếp tục như vậy (xem Hình 2).

Thực hành 4 trang 68 Toán 11 Tập 1: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: $1 + \frac{1}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2} + ... + {(\frac{1}{3})}^{n} + ...$

Vận dụng 1 trang 68 Toán 11 Tập 1: Từ tờ giấy, cắt một hình tròn bán kính R (cm) như Hình 3a. Tiếp theo, cắt hai hình tròn bán kính R/2 rồi chồng lên hình tròn đầu tiên như Hình 3b. Tiếp theo, cắt bốn hình tròn bán kính R/4 rồi chồng lên các hình trước như Hình 3c. Cứ thế tiếp tục mãi. Tính tổng diện tích của các hình tròn.

Hoạt động khám phá 5 trang 68 Toán 11 Tập 1: Dựng một dãy hình vuông bằng cách ghép từ các hình vuông đơn vị (cạnh bằng 1 đơn vị độ dài) theo các bước như Hình 4. Kí hiệu u_n (đơn vị diện tích) là diện tích hình vuông dựng được ở bước thứ n.

Bài 1 trang 69 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau: a) $\lim \frac{- 2 n + 1}{n}$ ;

Bài 2 trang 69 Toán 11 Tập 1: Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau: a) $- \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + ... + {(- \frac{1}{2})}^{n} + ...$ ;

Bài 3 trang 69 Toán 11 Tập 1: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,444 ... dưới dạng phân số.

Bài 5 trang 70 Toán 11 Tập 1: Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng 0 như sau:

Xem thêm lời giải sách giáo khoa Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 3: Cấp số nhân

Bài tập cuối chương 2

Bài 2: Giới hạn của hàm số

Bài 3: Hàm số liên tục

Bài tập cuối chương 3

Giải Toán 11 trang 70 Tập 1 (Chân trời sáng tạo)

Từ khóa :

Đánh giá

Bài viết cùng môn học

Tìm kiếm

Bài Viết Xem Nhiều

Bài Viết Cùng Lớp