Lý thuyết Công thức lượng giác (Kết nối tri thức) hay, chi tiết

Lý thuyết Công thức lượng giác (Kết nối tri thức) hay, chi tiết | Lý thuyết Toán 11

Giang Ngày: 14-11-2023 Lớp 11

656

Toptailieu.vn xin giới thiệu Lý thuyết Công thức lượng giác (Kết nối tri thức) hay, chi tiết | Lý thuyết Toán 11 Bài viết gồm phần lý thuyết trọng tâm nhất được trình bày một cách dễ hiểu, dễ nhớ bên cạnh đó là bộ câu hỏi trắc nghiệm có hướng dẫn giải chi tiết để học sinh có thể vận dụng ngay lý thuyết, nắm bài một cách hiệu quả nhất. Mời các bạn đón xem:

Lý thuyết Công thức lượng giác (Kết nối tri thức) hay, chi tiết | Lý thuyết Toán 11

Bài giải Bài 2: Công thức lượng giác

A. Lý thuyết Công thức lượng giác

1. Công thức cộng

Lý thuyết Toán 11 (Kết nối tri thức) Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác (ảnh 1)

2. Công thức nhân đôi

$\begin{array}{l} \sin 2 a = 2 \sin a \cos a \\ \cos 2 a = \cos^{2} a - \sin^{2} a = 2 \cos^{2} a - 1 = 1 - 2 \sin^{2} a \\ \tan 2 a = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^{2} a} \end{array}$

Suy ra, công thức hạ bậc:

$\sin^{2} a = \frac{1 - \cos 2 a}{2}, \cos^{2} a = \frac{1 + \cos 2 a}{2}$

3. Công thức biến đổi tích thành tổng

$\begin{array}{l} \cos a \cos b = \frac{1}{2} [\cos (a + b) + \cos (a - b)] \\ \sin a \sin b = \frac{1}{2} [\cos (a - b) - \cos (a + b)] \\ \sin a \cos b = \frac{1}{2} [\sin (a + b) + \sin (a - b)] \end{array}$

4. Công thức biến đổi tổng thành tích

$\begin{array}{l} \cos a + \cos b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2} \\ \cos a - \cos b = - 2 \sin \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2} \\ \sin a + \sin b = 2 \sin \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2} \\ \sin a - \sin b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2} \end{array}$

Lý thuyết Công thức lượng giác – Toán 11 Kết nối tri thức (ảnh 1)

B. Bài tập Công thức lượng giác

Bài 1. Tính

a) cos(–15°) + cos255°;

b) sin $\frac{13 π}{24}$ sin $\frac{5 π}{24}$ .

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

cos(-15^o) + cos255^o = 2.cos $\frac{- 15 ° + 255 °}{2}$ .cos $\frac{- 15 ° - 255 °}{2}$

= 2.cos120^o.cos(135^o) = 2 Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 2: Công thức lượng giác

Vậy cos(–15°) + cos255° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

b) Ta có:

Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 2: Công thức lượng giác

Vậy $\sin \frac{13 π}{24} \sin \frac{5 π}{24} = \frac{1 + \sqrt{2}}{4}$ .

Bài 2. Tính

a) sin Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 2: Công thức lượng giác biết sin a = $\frac{3}{4}$ và 0 < a < $\frac{π}{2}$ ;

b) cos $\frac{3 π}{8}$ .cos $\frac{π}{8}$ + sin $\frac{3 π}{8}$ .sin $\frac{π}{8}$ .

Hướng dẫn giải

a) Vì 0<a< $\frac{π}{2}$ nên cosa > 0.

Ta có: sin²a + cos²a = 1 ⇒ cos²a = 1 – sin²a = 1- Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 2: Công thức lượng giác = $\frac{7}{16}$

⇒ cosa = $\frac{\sqrt{7}}{4}$ .

Vậy sin Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 2: Công thức lượng giác $= \sin a \cos \frac{π}{3} - \cos a \sin \frac{π}{3} = \frac{3}{4} . \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7}}{4} . \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 - \sqrt{21}}{8}$ .

Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 2: Công thức lượng giác

Suy ra: $\cos \frac{3 π}{8} . \cos \frac{π}{8} + \sin \frac{3 π}{8} . \sin \frac{π}{8} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Bài 3. Tính sin2a và tan2a biết cos a = $\frac{1}{4}$ và $\frac{3 π}{2}$ <a<2 $π$ .

Hướng dẫn giải

Vì $\frac{3 π}{2}$ <a<2 $π$ nên sina < 0.

Ta có:

sin²a + cos²a = 1 ⇒ sin²a = 1 – cos²a = 1 - Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 2: Công thức lượng giác = $\frac{15}{16}$

⇒ sina = $- \frac{\sqrt{15}}{4}$ .

Ta có: sin2a = 2sina cosa = 2. Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 2: Công thức lượng giác . $\frac{1}{4}$ = $- \frac{\sqrt{15}}{8}$

Ta có: tana = $\frac{\sin a}{\cos a} = - \sqrt{15}$

⇒ $\tan 2 a = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^{2} a}$ = Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 2: Công thức lượng giác = $= \frac{- 2 \sqrt{15}}{- 14} = \frac{\sqrt{15}}{7}$ .