Phương pháp giải Các dạng bài toán về tiếp tuyến của đường tròn (50 bài tập minh họa)

Ngọc Nguyễn Ngày: 15-07-2023 Lớp 9

254

Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Các dạng bài toán về tiếp tuyến của đường tròn (50 bài tập minh họa) hay, chi tiết nhất, từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh nắm vững kiến thức về hỗn số, từ đó học tốt môn Toán 9.

Phương pháp giải Các dạng bài toán về tiếp tuyến của đường tròn (50 bài tập minh họa)

I. Lý thuyết

1. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Dấu hiệu 1: Theo định nghĩa tiếp tuyến:

Đường thẳng chỉ có duy nhất một điểm chung với đường tròn là tiếp tuyến của đường tròn đó.

Phương pháp giải Các dạng bài toán về tiếp tuyến của đường tròn (50 bài tập minh họa) (ảnh 1)

Đường thẳng d có duy nhất một điểm chung với đường tròn (O) là A nên d là tiếp tuyến của đường tròn và A là tiếp điểm.

Dấu hiệu 2: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

Các dạng bài toán về tiếp tuyến của đường tròn và cách giải – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Trên hình ta có, đường thẳng ∆ đi qua điểm H của đường tròn (O) và vuông góc với bán kính OH nên đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (O).

2. Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Nếu hai tuyến tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì

- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua hai tiếp điểm.

Các dạng bài toán về tiếp tuyến của đường tròn và cách giải – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Cho đường tròn (O;R) có AB; AC là hai tiếp tuyến của đường tròn

Khi đó ta có:

AB = AC.

AO là tia phân giác $\hat{B A C}$ .

OA là tia phân giác $\hat{B O C}$ .

3. Đường tròn nội tiếp tam giác

- Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là tam giác ngoại tiếp đường tròn.

- Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao của ba đường phân giác các góc trong tam giác.

Các dạng bài toán về tiếp tuyến của đường tròn và cách giải – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Cho tam giác ABC có D là giao của ba đường phân giác nên D là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

Khi đó D cách đều ba cạnh tam giác.

4. Đường tròn bàng tiếp tam giác

- Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh tam giác còn lại thì gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.

- Với mỗi tam giác, ta xác định được ba đường tròn bàng tiếp.

- Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác được xác định bởi giao của hai đường phân giác góc ngoài của hai đỉnh tạo thành cạnh mà đường tròn tiếp xúc.

Các dạng bài toán về tiếp tuyến của đường tròn và cách giải – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Cho tam giác ABC có I là giao của hai đường phân giác ngoài góc B và góc C nên I là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác.

II. Bài tập vận dụng

Dạng 1: Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn

Phương pháp giải: Để chứng minh một đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại điểm C ta làm như sau:

Cách 1: Chứng minh điểm C thuộc (O) và a vuông góc với OC tại C.

Cách 2: Kẻ OH vuông góc với a tại H. Chứng minh OH = OC = R.

Cách 3: Vẽ tiếp tuyến a’ của (O;R) tại C. Chứng minh a trùng a’.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Chứng minh:

a) Đường tròn đường kính AI đi qua K;

b) HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.

Lời giải:

Các dạng bài toán về tiếp tuyến của đường tròn và cách giải – Toán lớp 9 (ảnh 1)

a) Vì BK là đường cao nên BK $⊥$ AC

mà I $\in$ BK nên $\hat{A K I} = 90 °$

Tam giác AKI là tam giác vuông tại K

$\Rightarrow$ A, K, I nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác AKI với đường kính là AI (định lí)

$\Rightarrow$ Đường tròn đường kính AI đi qua K

b) Gọi O là trung điểm của AI

Ta có:

+ OK = OA = $\frac{A I}{2}$

=> Tam giác AKO cân tại O

$\Rightarrow$ $\hat{O K A} = \hat{O A K}$ (tính chất) (1)

Do tam giác AHC vuông tại H nên $\hat{O A K} + \hat{A C B} = 90 °$

Do tam giác BCK vuông tại K nên $\hat{H B K} + \hat{A C B} = 90 °$

Ta có:

$\{\begin{cases} \hat{O A K} + \hat{A C B} = 90 ° \\ \hat{H B K} + \hat{A C B} = 90 ° \end{cases}$

$\Rightarrow$ $\hat{O A K} = \hat{H B K}$ (do cùng phụ với góc $\hat{A C B}$ ) (2)

Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A nên AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.

$\Rightarrow$ H là trung điểm của BC $\Rightarrow$ KH là đường trung tuyến của tam giác BKC

Tam giác BKC vuông tại K $\Rightarrow$ KH = HB (định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

$\Rightarrow$ Tam giác BHK là tam giác cân tại H

$\Rightarrow$ $\hat{H B K} = \hat{H K B}$ (3)

Từ (1) (2) (3) $\Rightarrow \hat{O K A} = \hat{H K B}$

Mà $\hat{O K A} + \hat{O K B} = 90 °$

Do đó: $\hat{H K B} + \hat{O K B} = 90 °$

$\Rightarrow \hat{H K O} = 90 °$ $\Rightarrow H K ⊥ K O$ tại K

$\Rightarrow$ HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.

Ví dụ 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Ax và By là hai tia tiếp tuyến của (O) (Ax, By cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB). Trên tia Ax lấy điểm C, trên By lấy điểm D sao cho $\hat{C O D} = 90 °$ . Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Lời giải:

Các dạng bài toán về tiếp tuyến của đường tròn và cách giải – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Vẽ OH vuông góc với CD, H thuộc CD.

Tia CO cắt tia đối của tia By tại E.

Vì Ax và By là tiếp tuyến $\Rightarrow \hat{C A O} = \hat{E B O} = 90 °$

Xét tam giác ACO và tam giác BEO có:

$O A = O B = R$

$\hat{A O C} = \hat{B O E}$ (hai góc đối đỉnh)

$\hat{C A O} = \hat{E B O} = 90 °$

Do đó: $Δ A C O = Δ B E O$ (g – c – g)

$\Rightarrow O C = O E$ nên O là trung điểm của EC

Tam giác CDE có OD vừa là đường cao (do $\hat{C O D} = 90 °$ ) vừa là đường trung tuyến nên tam giác DEC cân tại D

$\Rightarrow$ OD là tia phân giác góc D

Xét tam giác OHD và tam giác OBD có:

$\hat{H D O} = \hat{B D O}$ (do DO là tia phân giác)

$\hat{O H D} = \hat{O B D} = 90 °$

OD chung

Do đó: $Δ O H D = Δ O B D$ (cạnh huyền – góc nhọn)

$\Rightarrow$ OH = OB = R

Ta có:

OH $⊥$ CD và OH = OB = R

Nên CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Dạng 2: Tính độ dài

Phương pháp giải: Nối tâm với tiếp điểm rồi vận dụng tính chất của tiếp tuyến và sử dụng các công thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Ví dụ 1: Cho (O;R) đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho $\hat{C A B} = 30 °$ . Trên tia đối của tia BA lấy điểm M sao cho BM = R. Chứng minh:

a) MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) MC = R $\sqrt{3}$ .

Lời giải:

Các dạng bài toán về tiếp tuyến của đường tròn và cách giải – Toán lớp 9 (ảnh 1)

a) Ta có: Tam giác ABC có 3 đỉnh A, B, C thuộc đường tròn (O) và AB là đường kính

$\Rightarrow Δ A B C$ vuông tại C

Xét $Δ A B C$ vuông tại C ta có:

$\hat{C A B} + \hat{A B C} + \hat{B C A} = 180 °$ (định lý tổng ba góc trong một tam giác)

$\Leftrightarrow 30 ° + \hat{A B C} + 90 ° = 180 °$

$\Leftrightarrow \hat{A B C} = 180 ° - 90 ° - 30 °$

$\Rightarrow \hat{A B C} = 60 °$

Xét tam giác OBC có:

OB = OC = R

$\hat{O B C} = 60 °$

Do đó: Tam giác OBC là tam giác đều

$\Rightarrow$ OB = CB (1)

Lại có: M nằm trên tia đối tia BA và BM = R

$\Rightarrow$ B là trung điểm của OM

OB = BM (2)

Từ (1) và (2)

$\Rightarrow$ OB = CB = BM

Xét tam giác OCM có:

CB là đường trung tuyến

OB = BM = CB

$\Rightarrow$ Tam giác OCM vuông tại C

$\Rightarrow$ CO $⊥$ CM

Ta có :

CO $⊥$ CM

CO = R

Do đó: CM tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) Ta có : OM = OB + BM = R + R = 2R

Xét tam giác OCM vuông tại C ta có:

$O M^{2} = O C^{2} + M C^{2}$ (định lý Py – ta – go)

$\Leftrightarrow {(2 R)}^{2} = R^{2} + M C^{2}$

$\Leftrightarrow 4 R^{2} = R^{2} + M C^{2}$

$\Leftrightarrow M C^{2} = 4 R^{2} - R^{2}$

$\Leftrightarrow M C = 3 R^{2}$

$\Rightarrow M C = \sqrt{3} R$ (điều phải chứng minh).

Ví dụ 2: Cho đường tròn tâm O bán kính OA = R, dây BC vuông góc với OA tại trung điểm M của OA.

a) Tứ giác OCAB là hình gì?

b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B cắt đường thẳng OA tại D. Tính BD theo R.

Lời giải:

Các dạng bài toán về tiếp tuyến của đường tròn và cách giải – Toán lớp 9 (ảnh 1)

a) Vì OA $⊥$ BC nên OA đi qua trung điểm của BC (định lí)

$\Rightarrow$ M là trung điểm của BC

Xét tứ giác OCAB có:

M là trung điểm của OA (giả thuyết)

M là trung điểm của BC

Do đó tứ giác OCAB là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Lại có OC = OB = R

Nên tứ giác OCAB là hình thoi.

b) Vì OCAB là hình thoi nên OC = CA = AB = OB = R

Xét tam giác OAB có: OA = OB = AB = R

$\Rightarrow$ Tam giác OAB là tam giác đều

$\Rightarrow \hat{B O A} = 60 °$

Lại có BD là tiếp tuyến của đường tròn tâm (O)

Nên BD $⊥$ OB

$\Rightarrow$ Tam giác OBD vuông tại B

Xét tam giác OBD có:

$\tan \hat{B O D} = \frac{B D}{O B}$

$\Leftrightarrow \tan 60 ° = \frac{B D}{R}$

$\Rightarrow B D = \sqrt{3} R$ .

Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng bằng nhau, hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc

Phương pháp giải: Dùng tính chất tiếp tuyến, hai tiếp tuyến cắt nhau.

Ví dụ 1: Cho đường tròn (O), hai tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại A

a) Chứng minh: AO là trung trực của đoạn thẳng BC.

b) Vẽ đường kính CD của (O). Chứng minh BD và OA song song.

Lời giải:

Các dạng bài toán về tiếp tuyến của đường tròn và cách giải – Toán lớp 9 (ảnh 1)

a) Vì AB và AC là hai tiếp tuyến cắt nhau

$\Rightarrow \{\begin{cases} A B = A C \\ \hat{B O A} = \hat{C O A} \\ \hat{B A O} = \hat{C A O} \end{cases}$

Gọi giao điểm của BC và AO là F

Xét tam giác OFB và tam giác OFC có:

OF chung

OB = OC = R

$\hat{B O A} = \hat{C O A}$ (chứng minh trên)

Do đó $Δ O F B = Δ O F C$ (c – g – c)

$\Rightarrow \{\begin{cases} B F = F C \\ \hat{O F B} = \hat{O F C} \end{cases}$ (các cặp cạnh và góc tương ứng)

Ta có:

$\hat{O F B} + \hat{O F C} = 180 °$

Mà $\hat{O F B} = \hat{O F C}$

$\Rightarrow \hat{O F B} = \hat{O F C} = 90 °$

Vì BF = CF và $\hat{O F B} = \hat{O F C} = 90 °$ nên OA là đường trung trực của BC.

b) Vì O là trung điểm của CD và F là trung điểm của BC nên OF là đường trung bình của tam giác CBD

$\Rightarrow$ OF // BD

Mà A, O, F thẳng hàng

Do đó OA // BD (điều phải chứng minh).

Ví dụ 2: Cho hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M. Đường thẳng vuông góc với OA tại O cắt MB tại C. Chứng minh CM = CO.

Lời giải:

Các dạng bài toán về tiếp tuyến của đường tròn và cách giải – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Vì MA là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A $\Rightarrow$ MA $⊥$ OA

Ta có:

$\{\begin{cases} M A ⊥ O A (c m t) \\ O C ⊥ O A (g t) \end{cases}$ $\Rightarrow$ MA // OC

$\Rightarrow \hat{C O M} = \hat{A M O}$ (hai góc so le trong) (1)

Do MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau $\Rightarrow$ OM là tia phân giác $\hat{A M B}$

$\Rightarrow \hat{A M O} = \hat{B M O}$ (tính chất) (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \hat{C O M} = \hat{A M O} = \hat{B M O}$

Xét tam giác OCM có: $\hat{C O M} = \hat{C M O}$

$\Rightarrow Δ O C M$ là tam giác cân tại C

$\Rightarrow$ OC = CM.

Dạng 4: Chứng minh tiếp tuyến, tính độ dài, số đo góc dựa vào tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Phương pháp giải: Chúng ta sử dụng các nội dung kiến thức sau

- Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

- Khái niệm đường tròn nội tiếp, đường tròn bàng tiếp tam giác

- Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Ví dụ 1: Cho đường tròn (O;R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC (B, C là các tiếp điểm). Chứng minh $\hat{B A C} = 60 °$ khi và chỉ khi OA = 2R.

Lời giải:

Các dạng bài toán về tiếp tuyến của đường tròn và cách giải – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Để góc $\hat{B A C} = 60 °$ thì $\hat{O A B} = 30 °$ (Vì theo tính chất hai tiếp cắt nhau thì tia nối điểm đó với tâm đường tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến).

Ta có: AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B nên AB $⊥$ OB tại B.

Xét tam giác OAB vuông tại B ta có:

$\sin \hat{O A B} = \frac{O B}{O A} = \sin 30 °$

$\Leftrightarrow \frac{R}{O A} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow O A = 2 R$ (điều phải chứng minh)

Chiều ngược lại: Nếu OA = 2R, ta chứng minh $\hat{B A C} = 60 °$

Do AB là tiếp tuyến, B là tiếp điểm nên tam giác OAB vuông tại B

Ta có: $\sin \hat{O A B} = \frac{O B}{A B} = \frac{R}{2 R} = \frac{1}{2}$ (tỉ số lượng giác trong tam giác vuông)

$\Rightarrow \hat{O A B} = 30 °$

Mà AB, AC là hai tiếp tuyến cắt nhau nen OA là tia phân giác của góc $\hat{B A C}$

$\Rightarrow \hat{B A C} = 2. \hat{O A B} = 2.30 ° = 60 °$ (điều phải chứng minh).

Ví dụ 2: Cho đường tròn (O). Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến ME và MF (E, F là hai tiếp điểm) sao cho $\hat{E M O} = 30 °$ . Biết chu vi tam giác MEF là 30cm

a) Tính độ dài EF.

b) Diện tích tam giác MEF.

Lời giải:

Các dạng bài toán về tiếp tuyến của đường tròn và cách giải – Toán lớp 9 (ảnh 1)

a) Ta đi chứng minh OM vuông góc với EF

Vì MF và ME là hai tiếp tuyến cắt nhau nên OM là tia phân giác $\hat{E O F}$

Gọi giao điểm của EF và MO là I

Xét tam giác OFI và tam giác OEI có:

OI chung

OE = OF = R

$\hat{E O I} = \hat{F O I}$ (do OM là tia phân giác của $\hat{E O F}$ )

Do đó $Δ O F I = Δ O E I$ (c – g – c)

$\Rightarrow \hat{O I F} = \hat{O I E}$ (hai góc tương ứng)

Ta có:

$\hat{O I F} + \hat{O I E} = 180 °$

Mà $\hat{O I F} = \hat{O I E}$

$\Rightarrow \hat{O I F} = \hat{O I E} = 90 °$

Lại có: IF = IE (hai cạnh tưng ứng) nên I là trung điểm của EF

Chu vi tam giác MEF là : c = ME + MF + EF

Mà ME = MF, EF = 2EI nên ta có

Chu vi tam giác MEF là: c = 2ME + 2EI (*)

Ta lại có tam giác IME vuông và $\hat{E M I} = 30 °$

$\sin \hat{E M I} = \frac{I E}{E M}$

$\Leftrightarrow \sin 30 ° = \frac{I E}{E M} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow 2 I E = E M$ thay vào (*) ta có:

c = 2ME + 2IE = 2ME + ME = 3ME = 30cm

$\Rightarrow$ ME =10cm

$\Rightarrow$ IE = 5cm

$\Rightarrow$ EF = 2IE = 10cm.

b) Xét tam giác MIE vuông tại I ta có:

$M I^{2} + I E^{2} = M E^{2}$ ( định lý Py – ta – go)

$\Leftrightarrow M I^{2} + 5^{2} = 10^{2}$

$\Leftrightarrow M I^{2} = 100 - 25$

$\Leftrightarrow M I^{2} = 75$

$\Leftrightarrow M I = 5 \sqrt{3}$ cm

Diện tích tam giác MEF là

S = $\frac{1}{2} M I . E F = \frac{1}{2} .5 \sqrt{3} .10 = 25 \sqrt{3}$ ( $c m^{2}$ ).

Dạng 5: Chứng minh các đẳng thức hình học

Phương pháp giải: Sử dụng các tính chất về tiếp tuyến, hai tiếp tuyến cắt nhau.

Ví dụ 1: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tiếp tuyến Ax và By. Điểm M nằm trên (O) sao cho tiếp tuyến tại M cắt Ax, By tại C và D. Chứng minh:

a) AC + BD = CD.

b) $\hat{C O D} = 90 °$ .

c) AC.BD = $O A^{2}$ .

Lời giải:

Các dạng bài toán về tiếp tuyến của đường tròn và cách giải – Toán lớp 9 (ảnh 1)

a) Gọi d là tiếp tuyến của (O) qua M

Vì Ax và d là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C $\Rightarrow$ AC = CM (tính chất) (1)

Vì By và d là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D $\Rightarrow$ BD = DM (tính chất) (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được:

AC + BD = CM + DM

$\Rightarrow$ AC + BD = CD (điều phải chứng minh).

b) Vì Ax và d là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C $\Rightarrow \hat{A O C} = \hat{M O C}$

Vì By và d là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D $\Rightarrow \hat{M O D} = \hat{B O D}$

Ta có:

$\hat{A O C} + \hat{M O C} + \hat{M O D} + \hat{B O D} = 180 °$

Mà $\hat{A O C} = \hat{M O C}$ và $\hat{M O D} = \hat{B O D}$

$\Rightarrow$ $2 \hat{M O C} + 2 \hat{M O D} = 180 °$

$\Leftrightarrow 2 (\hat{M O C} + \hat{M O D}) = 180 °$

$\Leftrightarrow \hat{M O C} + \hat{M O D} = 90 °$

$\Rightarrow \hat{C O D} = 90 °$ .

c) Vì d là tiếp tuyến của (O) tại M nên CD là tiếp tuyến của (O) tại M

Do đó: $C D ⊥ O M$ tại M

Xét tam giác COD vuông tại O có OM là đường cao ta có:

$O M^{2} = C M . D M$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Ta có:

OM = OA (bán kính)

CM = CA (cmt)

BM = BD (cmt)

Do đó $O M^{2} = C M . D M \Leftrightarrow O A^{2} = C A . B D \Rightarrow C A . B D = R^{2}$ (do OA = R).

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A; AH). Từ B, C kẻ tiếp tuyến BD, CE với (A) trong đó D, E là các tiếp điểm.

a) Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng.

b) Chứng minh $B D . C E = \frac{D E^{2}}{4}$ .

Lời giải:

Các dạng bài toán về tiếp tuyến của đường tròn và cách giải – Toán lớp 9 (ảnh 1)

a) Vì CE và BC là hai tiếp tuyến cắt nhau nên $\hat{E A C} = \hat{H A C}$ (tính chất)

Vì BD và BC là hai tiếp tuyến cắt nhau nên $\hat{D A B} = \hat{H A B}$

Ta có: $\hat{H A B} + \hat{H A C} = 90 °$

$\Rightarrow 2. (\hat{H A B} + \hat{H A C}) = 180 °$

$\Leftrightarrow 2. \hat{H A B} + 2. \hat{H A C} = 180 °$

Mà $\hat{E A C} = \hat{H A C}$ và $\hat{D A B} = \hat{H A B}$

$\Rightarrow \hat{E A C} + \hat{H A C} + \hat{D A B} + \hat{H A B} = 180 °$

$\Rightarrow \hat{D A E} = 180 °$

$\Rightarrow$ ba điểm D, A, E thẳng hàng.

b) Vì AH là đường cao của tam giác vuông ABC nên AH $⊥$ BC và AH = R nên Bc là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH).

Vì BD và BC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại B nên BD = BH

Vì CE và BC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C nên CE = CH

Ta có:

BD. CE = BH. HC (do BD = BH và CE = HC)

Lại có: BH. HC = $A H^{2}$ = ${(\frac{D E}{2})}^{2}$ (do DE là đường kính)

$\Rightarrow B D . C E = \frac{D E^{2}}{4}$ (điều phải chứng minh).

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tiếp tuyến Ax và By. M là điểm trên (O) sao cho tiếp tuyến Ax và By cắt tiếp tuyến tại M của đường tròn tại hai điểm B và C. Đường thẳng AD cắt BC tại N.

a) Chứng minh A, C, N, O cùng thuộc một đường tròn. Tìm tâm và bán kính đường tròn đó.

b) Chứng minh OC song song với BM.

c) Tìm vị trí điểm M sao cho diện tích tứ giác ACDB nhỏ nhất.

d) Chứng minh MN và AB vuông góc với nhau.

Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và M là một điểm nằm trên (O). Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B của (O) lần lượt tại C và D. Đường thẳng AM cắt OC tại E. Đường thẳng BM cắt OD tại F.

a) Chứng minh $\hat{C O D} = 90 °$ .

b) Tứ giác MEOF là hình gì?

c)Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.

Bài 3: Cho đường tròn (O;6cm) và điểm A nằm trên đường tròn (O). Qua A kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn và lấy điểm B trên tia Ax sao cho AB = 8cm.

a) Tính độ dài OB.

b) Qua A kẻ đường vuông góc với OB, cắt (O) tại C. Chứng minh BC là tiếp tuyến của (O).

Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn cùng phía đối với AB. Từ điểm M trên nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt Ax và By ở C và D.

a) Chứng minh tam giác COD và tam giác AMB đồng dạng.

b) Chứng minh MC.MD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn.

c) Cho OC = BA = 2R. Tính AC và BD theo R.

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao, AB = 8cm, BC = 16cm. Gọi D là điểm đối xứng với B qua H. Vẽ đường tròn đường kính CD cắt AC ở E.

a) Chứng minh HE là tiếp tuyến của đường tròn.

b) Tính HE.

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 9cm, AC = 12cm. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, G là trọng tâm tam giác. Tính IG.

Bài 7: Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB. AC với (O) trong đó B, C là các tiếp điểm.

a) Chứng minh đường thẳng OA là trung trực của BC.

b) Gọi H là giao điểm của AO và BC. Biết B = 2cm và OH = 1cm.Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.

Bài 8: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lấy M thuộc (O) sao cho MA < MB. Vẽ dây MN vuông góc với AB tại H. Đường thẳng AN cắt BM tại C. Đường thẳng qua C vuông góc với AB tại K và cắt BN tại D.

a) Chứng minh A, M, C, K cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh BK là tia phân giác góc $\hat{M B N}$ .

c) Chứng minh tam giác KMC cân và KM là tiếp tuyến của đường tròn (O).

d) Tìm vị trí điểm M trên (O) để tứ giác MNKC là hình thoi.

Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm I là tâm đường tròn nội tiếp, điểm K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác.

a) Chứng minh bốn điểm B, I, C, K cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) nói trên.

c) Tính bán kính (O) biết AB = AC = 20cm; BC = 24cm.

Bài 10: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi d và d’ là các tiếp tuyến tại A và B. Lấy C bất kỳ thuộc d, đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt d’ tại D. AD cắt BC tại N.

a) Chứng minh CD là tiếp tuyến của (O) tại điểm M.

b) Tìm vị trí điểm C trên d sao cho (AC + BD) đạt giá trị nhỏ nhất.

c) Biết AB = 4a, tính giá trị của AC.BC và $\frac{1}{O C^{2}} + \frac{1}{O D^{2}}$ theo a.

Bài 11: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Các cạnh AB, BC, AC tiếp xúc với đường tròn (I) lần lượt tại D, E, F. Đặt BC = a, AC = b, AB = c

a) Chứng minh: $A D = \frac{b + c - a}{2}$ .

b) Gọi r là bán kính của (I). Chứng minh diện tích tam giác ABC là tích của nửa chu vi tam giác với r.