Toptailieu.vn giới thiệu Giải VBT Toán lớp 9 Bài 2. Liên hệ giữa cung và dây trang 90,91,92 chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong VBT Toán 9. Mời các bạn đón xem:

VBT Toán lớp 9 Bài 2. Liên hệ giữa cung và dây

Phần câu hỏi bài 2 trang 90 Vở bài tập toán 9 tập 2

Câu 4.

Cho AB là đường kính của đường trong tâm O. Lấy điểm C trên đường tròn sao cho góc BOC bằng ${60}^{\circ }$. Hãy chọn độ dài của dây cung AC (đơn vị cm) khi đường kính đường tròn bằng 5 cm:

(A) 3                            (B) $3\sqrt{3}$

(C) ${\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{2}}$                    (D) ${\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{2}}$

Khoanh tròn vào chữ cái trước kết quả đúng 

Phương pháp giải:

+ Ta chỉ ra tam giác $BOC$ đều để tính $\widehat{CBO},$ cạnh $BC.$

+ Chứng minh tam giác $ABC$ vuông tại $C$  và sử dụng định lý Pytago để tính $AC.$

Trả lời:

Giả thiết và kết luận như mệnh đề được viết như sau:

a) $\stackrel{⏜}{AB}$$>...\Rightarrow AB>...$

b) $AB>...\Rightarrow$$\stackrel{⏜}{AB}$$>...$

Phương pháp giải:

Xác định yếu tố cho trước của mệnh đề để viết giả thiết, xác định điều cần chứng minh để viết kết luận

Trả lời:

a) $\stackrel{⏜}{AB}>\stackrel{⏜}{CD}$$\Rightarrow AB>CD$

b) $AB>CD\Rightarrow$$\stackrel{⏜}{AB}>\stackrel{⏜}{CD}$

Câu 6.

Hãy điền những từ thích hợp vào chỗ trống (…) trong câu sau:

Trong một đường  tròn, hai cung bị chắn giữa………song song………

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất mở rộng: “ Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau”

Trả lời:

Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Kẻ các đường kính AOC, AO’D. Gọi E là giao điểm thứ hai của AO với đường tròn (O’)

a) So sánh các cung nhỏ BC, BD

b) Chứng minh rằng B là điểm chính giữa của cung EBD (tức là điểm B chia cung EBD thành hai cung bằng nhau: $\stackrel{⏜}{BE}=\stackrel{⏜}{BD}$) 

Phương pháp giải:

* Chứng minh hai tam giác bằng nhau hoặc tam giác cân để suy ra hai dây bằng nhau.

Từ đó sử dụng định lý: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

+)  Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.

+) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau

Trả lời:

a) Nối $AB$ (xem hình 9)

$\mathrm{\Delta }ABC$ và $\mathrm{\Delta }ABD$ là hai tam giác vuông bằng nhau vì hai tam giác có chung cạnh $AB$ và $AC=AD$ (đường kính)

Suy ra $BC=BD$ hay $\stackrel{⏜}{BD}=\stackrel{⏜}{BC}$ vì $\left(O\right)$ và $\left(O^{\prime }\right)$ là hai đường tròn bằng nhau.

b) Xét $\mathrm{\Delta }ECD,$ vì  $E$ nằm trên đường tròn và đường kính $A{O}^{\prime }D$ nên  $\widehat{AED}={90}^{\circ }.$

Suy ra $\widehat{CED}={90}^{\circ }.$ Vậy $\mathrm{\Delta }ECD$ vuông tại $E.$

Theo kết quả câu a) ta có $BC=BD.$

Do đó, $BE$ là đường trung tuyến của $\mathrm{\Delta }ECD\Rightarrow BE=BD.$ Vậy ta có $\stackrel{⏜}{BD}=\stackrel{⏜}{BE}$  hay $B$ là điểm chính giữa của cung $EBD.$

Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau. 

Phương pháp giải:

+ Dựa vào tính chất tam giác cân và tính chất hai đường thẳng song song để chỉ ra các cung có số đo bằng nhau.

+ Sử dụng : “ Hai cung bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau”

Trả lời:

a) Trường hợp tâm đường tròn nằm ngoài hai dây song song 

Giả sử $AB//CD.$

Kẻ đường kính $EG//CD$  và nối các điểm $A,B,C,D$ với tâm $O.$ Khi đó, ta có $\mathrm{\Delta }OAB$ cân vì $OA=OB$ 

Suy ra $\hat{A}=\hat{B}.$ (1)

Mặt khác, $\hat{A}=\widehat{AOE}$ và $\hat{B}=\widehat{BOG},$ (2) vì $AB//EG$ (cùng song song với $CD)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{AOE}=\widehat{BOG}.$

Do đó, ta có :

sđ$\stackrel{⏜}{AE}$ =sđ $\stackrel{⏜}{BG}$      (3)

Chứng minh tương tự, ta có $sđ\stackrel{⏜}{CE}=sđ\stackrel{⏜}{DG}$      (4)

Vì $C$ nằm trên cung $AE,$ $D$ nằm trên cung $BG$ nên ta có :

sđ$\stackrel{⏜}{AC}$ = sđ$\stackrel{⏜}{AE}$ - sđ$\stackrel{⏜}{CE}$

và sđ$\stackrel{⏜}{BD}$ = sđ$\stackrel{⏜}{BG}$ - sđ$\stackrel{⏜}{DG}$

Vậy từ (3) và (4) ta có  :

sđ$\stackrel{⏜}{AC}$ = sđ$\stackrel{⏜}{BD}$$\Rightarrow$ $\stackrel{⏜}{AC}$ = $\stackrel{⏜}{BD}$ (đpcm)

b) Trường hợp tâm đường tròn nằm trong hai dây song song 

Kẻ đường kính $EG//CD$ và nối các điểm $A,B,C,D$ với tâm $O.$

Chứng minh tương tự câu a) , ta có :

sđ$\stackrel{⏜}{AE}$ = sđ $\stackrel{⏜}{BG}$ và sđ$\stackrel{⏜}{EC}$ =sđ $\stackrel{⏜}{GD}$ (5)

Vì $E$ nằm trên cung $AC,$ $G$ nằm trên cung $BD$ và từ $\left(4\right)$ nên ta có :

sđ$\stackrel{⏜}{AC}$ = sđ$\stackrel{⏜}{AE}$ + sđ$\stackrel{⏜}{EC}$

và sđ$\stackrel{⏜}{BD}$ = sđ$\stackrel{⏜}{BG}$ + sđ$\stackrel{⏜}{GD}$ 

$\Rightarrow$ sđ$\stackrel{⏜}{AC}$ = sđ $\stackrel{⏜}{BD}$ hay $\stackrel{⏜}{AC}$ = $\stackrel{⏜}{BD}$ (đpcm) 

a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.

Mệnh đề đảo có đúng không ? Hãy nêu thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng.

b) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất tam giác cân

Chứng minh hai góc ở tâm bằng nhau để suy ra các cung bằng nhau.

Trả lời:

Giả sử đường kính $AB$ cắt dây $CD$ tại $H.$ Nối $O$ với $C$ và $D.$

Từ giả thiết $\stackrel{⏜}{CB}=\stackrel{⏜}{BD}$ 

nên $\widehat{O_1}=\widehat{O_2}$ (hai góc ở tâm chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau) 

$\Rightarrow AB$ (hay $OH$) là tia phân giác của tam giác cân $OCD.$

Vậy ta có $HC=HD$ (đpcm).

Mệnh đề đảo : Giả sử $HC=HD\Rightarrow$ $\stackrel{⏜}{CB}=\stackrel{⏜}{BD}$ 

Xét trường hợp $CD$ không đi qua tâm. Khi đó, $\mathrm{\Delta }OCD$ là tam giác cân vì $OC=OD.$ Do đó, $OH$ vừa là đường cao và là đường phân giác.

$\Rightarrow \widehat{O_1}=\widehat{O_2}.$ Vậy theo tính chất góc ở tâm ta có $\stackrel{⏜}{CB}=\stackrel{⏜}{BD}$ 

Khi $CD$ đi qua tâm thì mệnh đề đảo sai.

Vậy để mệnh đề đảo đúng phải thêm điều kiện là dây cung không phải là đường kính.

b) Giả sử đường kính $AB$ và $\stackrel{⏜}{CB}=\stackrel{⏜}{BD}$

Theo chứng minh câu a) ta có $OH$ là tia phân giác của $\mathrm{\Delta }OCD$ và $H$ thuộc đường thẳng $AB$ nên $AB\mathrm{\perp }CD.$

Ngược lại từ$AB\mathrm{\perp }CD$, xét $\mathrm{\Delta }OCD$ cân tại $O.$ Vì $H$ thuộc $AB$ nên $OH$ là đường cao đồng thời là đường phân giác. Suy ra $\widehat{O_1}=\widehat{O_2}$.

Vậy theo tính chất về góc ở tâm ta có  $\stackrel{⏜}{CB}=\stackrel{⏜}{BD}$ hay $B$ là điểm chính giữa cung CD (đpcm).