Phương pháp giải:

Trong một tam giác, đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

Lời giải:

Vì H nằm bên ngoài đường tròn (O) và K nằm bên trong đường tròn (O) nên ta có: OH > R > OK

Xét tam giác OKH có: OH>OK

$\Rightarrow \widehat{OKH}>\widehat{OHK}$ (góc đối diện với cạnh lớn hơn thì lớn hơn)

a) Hãy vẽ một đường tròn đi qua hai điểm đó.

b) Có bao nhiêu đường tròn như vậy? Tâm của chúng nằm trên đường nào?

Phương pháp giải:

Các điểm nằm trên cùng 1 đường tròn thì cách tâm đường tròn 1 khoảng bằng nhau = bán kính

Lời giải:

a) 

b) Có vô số đường tròn đi qua hai điểm A và B. Tâm của chúng nằm trên đường thẳng $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB.$

Vì gọi O là tâm đường tròn đi qua 2 điểm A và B, khi đó, $OA=OB$.

Tập hợp các điểm O thỏa mãn $OA=OB$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB.$

Phương pháp giải:

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác  là giao của ba đường trung trực của tam giác. 

Lời giải:

Vẽ hai đường trung trực $d_1$ và $d_2$ của $AB$ và $AC$ . Hai đường thẳng này cắt nhau tại $I.$

Vẽ đường tròn tâm $I$ bán kính $IA$ ta được đường tròn đi qua ba điểm $A,B,C.$ 

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất hai điểm đối xứng nhau qua 1 điểm.

Lời giả:

Do A' đối xứng với A qua O nên O là trung điểm của ${\mathrm{A}\mathrm{A}}^{\prime }\Rightarrow OA=O{A}^{\prime }=R$

Suy ra A' cũng thuộc đường tròn (O

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất hai điểm đối xứng nhau qua 1 đường thẳng

Lời giải:

Do C và C' đối xứng nhau qua AB nên AB là đường trung trực của CC'

⇒ O nằm trên đường trung trực của CC'

⇒ OC = OC' = R

⇒ C' cũng thuộc đường tròn (O)

Phương pháp giải:

+) Để chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn, ta chứng minh các điểm này cùng cách đều một điểm.

+) Sử dụng tính chất của hình chữ nhật: $ABCD$ là hình chữ nhật, hai đường chéo cắt nhau tại $O$ thì ta có $OA=OB=OC=OD={\displaystyle \frac{AC}{2}}={\displaystyle \frac{BD}{2}}$. 

+) Định lí Pytago: $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $C$ thì $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2.$

Lời giải:

Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật, ta có $OA=OB=OC=OD$ (tính chất) nên bốn điểm này cùng thuộc đường tròn tâm $O$, bán kính $R=OA$.

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $B$, áp dụng định lí Pytago, ta có:

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2={12}^2+5^2=169$

$\Rightarrow AC=\sqrt{169}=13cm$ 

$\Rightarrow R=OA={\displaystyle \frac{13}{2}}=6,5cm$

Vậy bán kính của đường tròn là: $R=6,5cm.$

(1) Nếu tam giác có ba góc nhọn

(4) thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó nằm bên ngoài tam giác.

(2) Nếu tam giác có góc vuông

(5) thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó nằm bên trong tam giác.

(3) Nếu tam giác có góc tù

(6) thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó là trung điểm của cạnh lớn nhất.

(7) thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó là trung điểm của cạnh nhỏ nhất

Phương pháp giải:

+) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao của ba đường trung trực.

+) Sử dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông: $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$, có $AM$ là trung tuyến, khi đó: $AM=BM=CM={\displaystyle \frac{BC}{2}}$.

Lời giải:

+) Nối (1) với (5): Vì trong tam giác nhọn, giao của ba đường trung trực nằm bên trong tam giác nên tâm đường tròn ngoại tiếp nằm bên trong tam giác. 

+) Nối (2) với (6): Vì trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh đó. Tức là trung điểm cạnh huyền cách đều $3$ điểm $A,B,C$.

+ Nối (3) với (4): Vì trong tam giác tù, giao của ba đường trung trực nằm bên ngoài tam giác nên tâm đường tròn ngoại tiếp nằm bên ngoài tam giác.

a) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.

b) Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất:

a) Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh đó. 

b) Tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh đó thì là tam giác vuông.

Lời giải:

a) Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

Gọi $O$ là trung điểm của cạnh huyền $BC$, ta có:

Vì $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$ có $AO$ là trung tuyến

$\Rightarrow AO=BO=CO={\displaystyle \frac{BC}{2}}$ ( Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

$\Rightarrow$ 3 điểm $A,B,C$ cùng thuộc đường tròn tâm $O$ bán kính $OA$

Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ chính là trung điểm của cạnh huyền.

b) 

Xét tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ đường kính $BC$.

$\Rightarrow OA=OB=OC=R$

$\Rightarrow$ Tam giác $ABC$ có đường trung tuyến AO bằng nửa cạnh BC nên vuông tại $A$ 

Nhận xét: Định lý trong bài tập này thường được dùng để giải nhiều bài tập về nhận biết tam giác vuông.

Phương pháp giải:

+) Khoảng cách d từ gốc tọa độ $O(0;0)$ đến điểm $A(x;y)$ được tính theo công thức $d=\sqrt{x^2+y^2}$.                    (1)

+) Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$, khi đó: 

a) Nếu $OM=R$ thì $M$ nằm trên đường tròn.

b) Nếu $OM>R$ thì $M$ nằm ngoài đường tròn.

c) Nếu $OM<R$ thì $M$ nằm trong đường tròn.

Lời giải:

 Áp dụng công thức (1) tính khoảng cách từ một điểm đến gốc tọa độ , ta có: 

$OA=\sqrt{{(-1)}^2+{(-1)}^2}=\sqrt{2}<2\Rightarrow A$ nằm trong đường tròn $(O;2)$.

$OB=\sqrt{{(-1)}^2+{(-2)}^2}=\sqrt{5}>2\Rightarrow B$ nằm ngoài đường tròn $(O;2)$.

$OC=\sqrt{{\left(\sqrt{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2}=2\Rightarrow C$ nằm trên đường tròn $(O;2)$.

Sử dụng các tính chất: 

+) Giao của ba đường trung trực là tâm đường trong ngoại tiếp tam giác.

+) Trong một đường tròn, các đường kính cắt nhau tại tâm đường tròn.

Lời giải:

Cách 1:

- Trên đường tròn của tấm bìa lấy ba điểm A, B, C không trùng nhau.

- Nối $A$ với $B$ và $B$ với $C$. 

- Dựng các đường trung trực của $AB,AC$ chúng cắt nhau tại $O$, khi đó $O$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Hay $O$ là tâm của tấm bìa hình tròn.

Cách 2:  

- Gấp tấm bìa sao cho hai phần của hình tròn trùng nhau, nếp gấp là một đường kính.

- Lại gấp như trên theo nếp gấp khác, ta được một đường kính thứ hai. Giao điểm của hai đường kính này là tâm của đường tròn. 

a) Biển cấm đi ngược chiều (h.58);

b) Biển cấm ôtô (h.59).

Phương pháp giải:

+) Điểm O gọi là tâm đối xứng qua hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình H qua điểm O cũng thuộc hình H.

+) Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình H qua đường thẳng d cũng thuộc hình H. 

Lời giải:

a) Hình 58 vừa có tâm đối xứng vừa có trục đối xứng: Trục đối xứng $AB$ và $CD$, tâm đối xứng $O$

b) Hình 59 có một trục đối xứng: trục $AB$ và không có tâm đối xứng.

Phương pháp giải:

Định nghĩa đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ là hình gồm các điểm cách $O$ một khoảng bằng $R$. 

Hình tròn tâm $O$ bán kính $R$ gồm tất cả các điểm nằm trên đường tròn và nằm trong đường tròn đó.

Lời giải:

Nối (1) với (4); 

Nối (2) với (6);

Nối (3) với (5).

Phương pháp giải:

Bước 1. Phân tích:

Giả sử đã dựng được đường tròn $(O)$ thỏa mãn đề bài.

-  Vì $O$ đi qua $B,C$ nên $OB=OC$ do đó $O$ nằm trên đường trung trực $m$ của $BC$.

- $O$ nằm trên tia $Ay$.

Bước 2. Dựng hình: Dựa vào bước phân tích trên liệt kê thứ tự các phép dựng hình cơ bản.

Bước 3. Chứng minh: Bằng lí luận, chứng minh hình vừa dựng thỏa mãn tất cả các giả thiết của bài toán.

Bước 4. Biện luận: thiết lập điều kiện giải được của bài toán. Tức là xét xem bài toán giải được trong trường hợp nào và có bao nhiêu nghiệm. 

Lời giải:

Cách dựng: 

- Dựng đường trung trực $m$ của đoạn thẳng $BC$, $m$ cắt tia $Ay$ tại $O$.

- Dựng đường tròn $(O;OB)$, đó là đường tròn phải dựng.

Chứng minh

Vì điểm $O\in$ đường trung trực $m$ của $BC$ nên $OB=OC$ (tính chất), suy ra đường tròn $(O;OB)$ đi qua $B$ và $C$.

Mặt khác, $O\in Ay$ nên đường tròn $(O)$ thỏa mãn đề bài.

Biện luận

Vì $m$ luôn cắt tia $Ay$ tại một điểm $O$ duy nhất nên bài toán luôn có một hình thỏa mãn.

b) Vẽ lọ hoa: Chiếc lọ hoa trên hình $61$ được vẽ trên giấy kẻ ô vuông bởi năm cung có tâm $A,B,C,D,E$. Hãy vẽ lại hình $61$ vào giấy kẻ ô vuông.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng định lí Pytago để tính độ dài các đường chéo của hình vuông có cạnh  là $1cm$ .

Lời giải:

a) - Vẽ hình vuông $ABCD$.

- Vẽ 4 cung tròn tâm $A,B,C,D$ bán kính $AB$.

Ta được bốn cung tròn tạo thành hình hoa bốn cánh.

b) Đường chéo hình vuông có cạnh là 1 có độ dài là $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.$

- Kẻ lại các ô vuông và lấy các điểm như hình 61.

- Vẽ 5 cung tròn tâm $A,B,C,D,E$ bán kính $\sqrt{2}$.

Ta được năm cung tròn liền nét với nhau tạo thành hình chiếc lọ hoa.