a) Nếu AB = CD thì OH = OK.

b) Nếu OH = OK thì AB = CD. 

Lời giải:

Xét đường tròn $(O)$ có 

OH là một phần đường kính vuông góc với dây AB

$\Rightarrow$ H là trung điểm của $AB$ (Định lí) $\Rightarrow AB=2HB$

OK là một phần đường kính vuông góc với dây CD

$\Rightarrow$  K là trung điểm của $CD$ (Định lí) $\Rightarrow CD=2KD$

Theo mục 1: $O{H}^2+H{B}^2=O{K}^2+K{D}^2$

a) Nếu $AB=CD\Rightarrow HB=KD$

mà $O{H}^2+H{B}^2=O{K}^2+K{D}^2$ $\Rightarrow O{H}^2=O{K}^2\Rightarrow OH=OK$

b) Nếu $OH=OK\Rightarrow O{H}^2=O{K}^2$

mà $O{H}^2+H{B}^2=O{K}^2+K{D}^2$ $\Rightarrow HB=KD\Rightarrow AB=CD$

a) OH và OK, nếu biết AB>CD

b) AB và CD, nếu biết OH<OK

Hãy so sánh các độ dài:

a) BC và AC;

b) AB và AC.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

Trong hai dây của một đường tròn:

+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

+ Dây nào xa tâm hơn thì dây đó nhỏ hơn 

Lời giải:

Vì O là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác ABC

⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

a) Vì $OE=OF$ suy ra $AC=BC$ (hai dây cách đều tâm thì bằng nhau)

b) Vì $OD>OE$ nên $AB<BC$ (dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn) mà $AC=BC$ (câu a) nên $AB<AC.$

a) Tính khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $AB$. 

b) Gọi $I$ là điểm thuộc dây $AB$ sao cho $AI=1cm$. Kẻ dây $CD$ đi qua $I$ và vuông góc với $AB$. Chứng minh rằng $CD=AB$

Phương pháp giải:

a) +) Sử dụng định lý: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

 +) Sử dụng định lí Pytago: $\mathrm{\Delta }ABC$, vuông tại $A$ thì $B{C}^2=A{C}^2+A{B}^2$.

b) Sử dụng định lý: Trong một đường tròn, hai dây cách đều nhau thì bằng nhau. 

Lời giải:

a) Kẻ $OH\perp AB$ tại H

Khi đó, đường tròn (O) có OH là 1 phần đường kính vuông góc với dây AB tại H

Suy ra $H$ là trung điểm của dây $AB$ (Theo định lí 2 - trang 103) 

$\Rightarrow HA=HB={\displaystyle \frac{AB}{2}}={\displaystyle \frac{8}{2}}=4cm.$

Xét tam giác $HOB$ vuông tại $H$, theo định lí Pytago, ta có:

$O{B}^2=O{H}^2+H{B}^2\iff O{H}^2=O{B}^2-H{B}^2$

$\iff O{H}^2=5^2-4^2=25-16=9\Rightarrow OH=3(cm)$.

Vậy khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $AB$ là $3cm$.

b) Vẽ $OK\perp CD$ tại K

Tứ giác $KOHI$ có ba góc vuông $(\hat{K}=\hat{H}=\hat{I}={90}^0)$ nên là hình chữ nhật, suy ra $OK=HI$.

Ta có $HI=AH-AI=4-1=3cm$, suy ra $OK=3cm.$

Vậy $OH=OK=3cm.$

Hai dây $AB$ và $CD$ cách đều tâm nên chúng bằng nhau.

Do đó $AB=CD.$

a) $EH=EK$

b) $EA=EC$.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng các tính chất sau: Trong một đường tròn

+) Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

+) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. 

b) Cộng đoạn thẳng

Lời giải:

a) Nối OE. 

Vì $HA=HB$  nên  $OH\perp AB$ (đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó)

Vì $KC=KD$  nên  $OK\perp CD$. (đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó)

Mà $AB=CD$ nên $OH=OK$ (hai dây bằng nhau thì cách đều tâm).

Xét $\mathrm{\Delta }HOE$ và $\mathrm{\Delta }KOE$ có:

$OH=OK$ 

$EO$ chung

$\widehat{EHO}=\widehat{EKO}={90}^0$

$\Rightarrow$ $\mathrm{\Delta }HOE=\mathrm{\Delta }KOE$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

$\Rightarrow$ $EH=EK(1)$ ( 2 cạnh tương ứng)

b) Vì $AB=CD$ nên ${\displaystyle \frac{AB}{2}}={\displaystyle \frac{CD}{2}}$ hay $AH=KC$  (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ $EH+HA=EK+KC$  

hay  $EA=EC.$

+) Kẻ đường kính vuông góc với dây. 

+) Sử dụng định lý: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

+) Sử dụng định lí Pytago: $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$ thì $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$.

Lời giải:

Vẽ $OH\perp AB$, đường thẳng $OH$ cắt $CD$ tại $K$.

Vì $AB//CD$ mà $OH\perp AB$ suy ra $OH\perp CD$ hay $OK\perp CD$.

Ta có $OK\mathrm{\perp }DC$ và $OH\mathrm{\perp }AB$ nên $KC=KD={\displaystyle \frac{CD}{2}}$ và $AH=HB={\displaystyle \frac{AB}{2}}$ (vì đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Ta có: $OB=OD=R=25cm$. 

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác $OBH$ vuông tại $H$, ta có:

$O{B}^2=O{H}^2+H{B}^2\Rightarrow O{H}^2=O{B}^2-H{B}^2$

$\iff OH=\sqrt{O{B}^2-{\left({\displaystyle \frac{AB}{2}}\right)}^2}$

$=\sqrt{{25}^2-{\left({\displaystyle \frac{40}{2}}\right)}^2}=15(cm)$

Lại có: $HK=OH+OK$

$\Rightarrow OK=HK-OH=22-15=7(cm)$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác $OKD$ vuông tại $K$, ta có:

$O{D}^2=O{K}^2+K{D}^2$

$\Rightarrow K{D}^2=O{D}^2-O{K}^2={25}^2-7^2=576$

$KD=\sqrt{576}=24(cm)$

$\Rightarrow CD=2KD=48(cm)$

Hãy so sánh các độ dài:

a) $OH$ và $OK$;

b) $ME$ và $MF$;

c) $MH$ và $MK$.

Phương pháp giải:

+) Để so sánh hai dây, ta đi so sánh khoảng cách từ tâm đến hai dây ấy và ngược lại.

+) Sử dụng tính chất: Trong một đường tròn:

a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

c) Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

Lời giải:

a) Xét trong đường tròn nhỏ:

Theo định lí $2$: trong hai dây của một đường tròn, dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

Theo giả thiết $AB>CD$ suy ra $AB$ gần tâm hơn, tức là  $OH<OK$.

b) Xét trong đường tròn lớn:

Theo định lí $2$: trong hai dây của một đường tròn, dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

Theo câu $a$, ta có: $OH<OK\Rightarrow ME>MF$.

c) Xét trong đường tròn lớn:

Vì $OH\mathrm{\perp }ME\Rightarrow EH=MH={\displaystyle \frac{ME}{2}}$ (Định lý 2 - trang 103).

Vì $OK\mathrm{\perp }MF\Rightarrow KF=MK={\displaystyle \frac{MF}{2}}$ (Định lý 2 - trang 103). 

Theo câu $b$, ta có: $ME>MF\Rightarrow {\displaystyle \frac{ME}{2}}>{\displaystyle \frac{MF}{2}}\iff MH>MK$

Phương pháp giải:

- Để so sánh hai dây, ta đi so sánh khoảng cách từ tâm đến hai dây đó.

- Sử dụng các tính chất sau:

+) Trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất.

+) Trong một đường tròn, dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

Lời giải:

Vẽ  tại H.

Xét tam giác vuông tại có là cạnh huyền

Do đó (trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất)

(dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn).

Nhận xét. Trong các dây đi qua một điểm ở trong đường tròn, dây vuông góc với là dây ngắn nhất.