Phương pháp giải:

Sử dụng:  Đường thẳng đi qua một điểm thuộc đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó là tiếp tuyến của đường tròn.

Lời giải:

Ta có: BC đi qua điểm H thuộc đường tròn (A; AH)

$BC\mathrm{\perp }AH$ tại H

$\Rightarrow$  BC là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH)

Lời giải:

Ta có: MA = MO = MB ( cùng bằng bán kính đường tròn tâm M, bán kính MO)

$MA=MB\Rightarrow \mathrm{\Delta }MAB$ cân tại $M\Rightarrow \widehat{BAO}=\widehat{ABM}$

$MO=MB\Rightarrow \mathrm{\Delta }MOB$ cân tại $M\Rightarrow \widehat{BOA}=\widehat{MBO}$

$\Rightarrow \widehat{BAO}+\widehat{BOA}=\widehat{ABM}+\widehat{MBO}=\widehat{ABO}\left(1\right)$

Mặt khác ta lại có: $\widehat{BAO}+\widehat{BOA}+\widehat{ABO}={180}^o\left(2\right)$ (tổng 3 góc trong tam giác)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{ABO}={180}^0:2={90}^o$

Suy ra $AB\mathrm{\perp }BO$ tại $B$, mà $B\in (O)$

Do đó AB là tiếp tuyến của (O) 

Chứng minh tương tự,

Ta có: MA = MO = MC ( cùng bằng bán kính đường tròn tâm M, bán kính MO)

$MA=MC\Rightarrow \mathrm{\Delta }MAC$ cân tại $M\Rightarrow \widehat{CAO}=\widehat{ACM}$

$MO=MC\Rightarrow \mathrm{\Delta }MOC$ cân tại $M\Rightarrow \widehat{COA}=\widehat{MCO}$

$\Rightarrow \widehat{CAO}+\widehat{COA}=\widehat{ACM}+\widehat{MCO}=\widehat{ACO}\left(3\right)$

Mặt khác ta lại có: $\widehat{CAO}+\widehat{COA}+\widehat{ACO}={180}^o\left(4\right)$ (tổng 3 góc trong tam giác)

Từ (3) và (4) $\Rightarrow \widehat{ACO}={180}^0:2={90}^o$

Suy ra $AC\mathrm{\perp }CO$ tại $C$, mà $C\in (O)$

Do đó AC là tiếp tuyến của (O)

Bài 21 trang 111 sgk Toán 9 - tập 1: Cho tam giác $ABC$ có $AB=3,AC=4,BC=5$. Vẽ đường tròn $(B;BA)$. Chứng minh rằng $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn.

Phương pháp giải:

+) Định lí Pytago đảo: Tam giác $ABC$ có $B{C}^2=A{C}^2+A{B}^2$ thì là tam giác vuông tại $A$.

+) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn. 

Phương pháp giải:

+) Bài toán dựng hình chia làm $4$ bước:

Bước 1. Phân tích: giả sử hình cần dựng đã được vẽ. Lập luận để tìm cách dựng được hình.

Bước 2. Dựng hình: Dựa vào bước phân tích trên liệt kê thứ tự các phép dựng hình cơ bản.

Bước 3. Chứng minh: Bằng lí luận, chứng minh hình vừa dựng thỏa mãn tất cả các giả thiết của bài toán.

Bước 4. Biện luận: thiết lập điều kiện giải được của bài toán. Tức là xét xem bài toán giải được trong trường hợp nào và có bao nhiêu nghiệm.

+) Sử dụng các tính chất: Mọi điểm nằm trên đường trung trực của đoạn $AB$ thì cách đều hai điểm $A,B$

Lời giải:

Phân tích:

Giả sử đã dựng được đường tròn thỏa mãn đề bài.

Tâm $O$ thỏa mãn hai điều kiện:

- $O$ nằm trên đường trung trực của $AB$ (vì đường tròn đi qua $A$ và $B$).

- $O$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $d$ tại $A$ (vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng $d$ tại $A$).

Vậy $O$ là giao điểm của hai đường thẳng nói trên.

Cách dựng:

- Dựng đường trung trực $m$ của $AB$.

- Từ $A$ dựng một đường thẳng vuông góc với $d$ cắt đường thẳng $m$ tại $O$.

- Dựng đường tròn $(O;OA)$. Đó là đường tròn phải dựng.

Chứng minh:

Vì $O$ nằm trên đường trung trực của $AB$ nên $OA=OB$, do đó đường tròn $(O;OA)$ đi qua $A$ và $B$.

Đường thẳng $d\perp OA$ tại $A$ nên đường thẳng $d$ tiếp xúc với đường tròn $(O)$ tại $A$.

Biện luận: Bài toán luôn có nghiệm hình. 

Lời giải:

Ta thấy đường tròn tâm $A$ và đường tròn tâm $C$ cùng nằm phía dưới dây cua-roa nên sẽ quay cùng chiều nhau.

Đường tròn tâm $B$ nằm phía trên dây cua-roa nên quay ngược chiều so với hai đường tròn tâm $A$ và tâm $C$.

Mà đường tròn tâm $B$ quay ngược chiều kim đồng hồ nên đường tròn tâm $A$ và tâm $C$ quay cùng chiều kim đồng hồ.

a) Chứng minh rằng $CB$ là tiếp tuyến của đường tròn.

b) Cho bán kính của đường tròn bằng $15cm,AB=24cm$. Tính độ dài $OC$.

Phương pháp giải:

a) Dùng dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

Sử dụng tính chất:

+) Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm đó.

b) Sử dụng định lí Pytago: $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$, khi đó: $B{C}^2=A{C}^2+A{B}^2$.

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: $\mathrm{\Delta }ABC$, vuông tại $A$, $AH\mathrm{\perp }BC$, khi đó: $A{B}^2=BH.BC$. 

Lời giải:

a) Gọi $H$ là giao điểm của $OC$ và $AB$.

Xét đường tròn (O) có $OH\perp AB$ tại H mà OH là 1 phần đường kính và AB là dây của đường tròn nên $HA=HB={\displaystyle \frac{AB}{2}}$ (Định lý 2 - trang 103).

Suy ra $OC$ là đường trung trực của $AB$, do đó $CB=CA$ (tính chất)

Xét $\mathrm{\Delta }CBO$ và $\mathrm{\Delta }CAO$ có:

$CO$ chung 

$CA=CB$ (chứng minh trên) 

$OB=OA=R$

Suy ra $\mathrm{\Delta }CBO=\mathrm{\Delta }CAO$ (c.c.c)

$\Rightarrow \widehat{CBO}=\widehat{CAO}$( 2 góc tương ứng)  (1)

Vì $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ nên:

$AC\perp OA\Rightarrow \widehat{CAO}={90}^{\circ }$   (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{CBO}={90}^{\circ }$.

Tức là $CB$ vuông góc với $OB$, mà $OB$ là bán kính của $(O)$.

Vậy $CB$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

b) Ta có: $OA=OB=R=15cm;$

$HA={\displaystyle \frac{AB}{2}}={\displaystyle \frac{24}{2}}=12cm$.

Xét tam giác $HOA$ vuông tại $H$, áp dụng định lí Pytago, ta có: 

$O{A}^2=O{H}^2+A{H}^2$

$\iff O{H}^2=O{A}^2-A{H}^2={15}^2-{12}^2=81$

$\Rightarrow OH=\sqrt{81}=9(cm)$

Xét tam giác $BOC$ vuông tại $B$, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

$O{B}^2=OC\cdot OH\Rightarrow OC={\displaystyle \frac{O{B}^2}{OH}}={\displaystyle \frac{{15}^2}{9}}=25(cm).$

a) Từ giác $OCAB$ là hình gì? Vì sao? 

b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại $B$, nó cắt đường thẳng $OA$ tại $E$. Tính độ dài $BE$ theo $R$.

Phương pháp giải:

a) +) Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

+) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

+) Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi.

b) Hệ thức lượng giữa cạnh và góc trong tam giác vuông: $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ thì $AB=AC.\tan C.$ 

Lời giải:

a) Xét đường tròn (O) có OA là 1 phần đường kính và BC là dây của đường tròn mà $OA\perp BC\Rightarrow MB=MC$ (Theo định lý 2 - trang 103).

Lại có $MA=MO$ (vì $M$ là trung điểm)

$\Rightarrow$ Tứ giác $ABOC$ là hình bình hành (vì có các đường chéo OA và BC cắt nhau tại trung điểm M mỗi đường)

Mặt khác, $BC\mathrm{\perp }AO$ 

Do đó $ABOC$ là hình thoi (hình bình hành có hai đường chéo vuông góc nên là hình thoi).

b) Ta có $ABOC$ là hình thoi nên $BA=BO$ (tính chất)

Mà $BO=OA=R$ 

$\Rightarrow$ $OB=OA=BA$. Do đó tam giác $ABO$ đều (Dấu hiệu nhận biết)

$\Rightarrow \widehat{BOA}={60}^{\circ }$ (Tính chất)

Ta có $EB$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$ $\Rightarrow EB\perp OB$ hay $\widehat{EBO}={90}^o$.

Xét tam giác $BOE$ vuông tại $B$, áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:

$BE=BO.\tan {60}^{\circ }=R.\tan {60}^0=R\sqrt{3}.$