Lời giải:

Nếu hai đường tròn có nhiều hơn hai điểm chung thì khi đó hai đường tròn sẽ đi qua ít nhất ba điểm chung. Mà qua 3 điểm phân biệt thì chỉ xác định được duy nhất 1 đường tròn nên 2 đường tròn này không thể phân biệt.

b) Quan sát hình 86, hãy dự đoán về vị trí của điểm A đối với đường nối tâm OO’.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng: Điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó

b) Quan sát hình vẽ và dự đoán

Lời giải:

a) Ta có: OA = OB (= bán kính đường tròn (O)) 

⇒ O thuộc đường trung trực của đoạn AB ( định lí)

O’A = O’B (= bán kính đường tròn (O’))

Suy ra O' thuộc đường trung trực của đoạn AB ( định lí)

⇒ OO’ là đường trung trực của AB

b) Hình 86a) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài thì A nằm giữa O và O’

Hình 86b) Hai đường tròn tiếp xúc trong thì A nằm ngoài đoạn OO’

a) Hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O’).

b) Chứng minh rằng BC // OO’ và ba điểm C, B, D thẳng hàng.

Phương pháp giải:

Sử dụng: Tính chất đường trung tuyến tam giác vuông, quan hệ từ vuông góc đến song song.

Lời giải:

a) Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau

b) Xét tam giác ABC có:

OA = OB = OC = bán kính đường tròn (O)

Mà BO là trung tuyến của tam giác ABC

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $B\Rightarrow AB\mathrm{\perp }BC\left(1\right)$

Lại có OO’ là đường trung trực của AB

$\Rightarrow AB\mathrm{\perp }O{O}^{\prime }\left(2\right)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow O{O}^{\prime }//BC$

Nối BD.

Xét tam giác ABD có:

O'A = O'B = O'D = bán kính đường tròn (O')

Mà BO' là trung tuyến của tam giác ABD

Suy ra $\mathrm{\Delta }ABD$ vuông tại $B\Rightarrow AB\mathrm{\perp }BD\left(3\right)$

Từ (1) và (3) $\Rightarrow B,C,D$ thẳng hàng.

Phương pháp giải:

+) Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm. Tức là nếu $(O)$ và $(O^{\prime })$ tiếp xúc nhau tại $A$ thì $O,A,O^{\prime }$ thẳng hàng.

+) Nếu $A,B$ thuộc $(O;R)$ thì $OB=OA=R$ 

Lời giải:

Vì $(O)$ và $(O^{\prime })$ tiếp xúc nhau tại $A$ (gt) ⇒ $O,A,O^{\prime }$ thẳng hàng nên $\widehat{OAC}=\widehat{O^{\prime }\mathrm{A}\mathrm{D}}$ (đối đỉnh) (1)

Xét $\mathrm{\Delta }OCA$ có $OC=OA$ (= bán kính (O)) nên tam giác OCA cân tại $O$. 

$\Rightarrow \widehat{OAC}=\widehat{OC\mathrm{A}}$ (2)

Xét tam giác $O^{\prime }AD$ có O'A=O'D= bán kính (O')) nên cân tại $O^{\prime }$

$\Rightarrow \widehat{O^{\prime }A\mathrm{D}}=\widehat{O^{\prime }DA}$  (3)

Từ (1), (2) và (3)$\Rightarrow \widehat{OC\mathrm{A}}=\widehat{O^{\prime }DA}$

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

$\Rightarrow OC//O^{\prime }D$ (đpcm)

Phương pháp giải:

+) Nếu $(O)$ và $(O^{\prime })$ cắt nhau tại $A,B$ thì $O{O}^{\prime }$ là trung trực của $AB$. 

+) Định lí Pytago: $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$ thì $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$.

Lời giải:

* TH1:  $O$ và $O^{\prime }$ nằm khác phía đối với $AB$ (h.a) 

Vẽ dây cung $AB$ cắt $O{O}^{\prime }$ tại $H$. Theo định lí - trang 119 về tính chất đường nối tâm, ta có:  $AB\perp O{O}^{\prime }$ và $HA=HB={\displaystyle \frac{24}{2}}=12cm$.

Xét tam giác $AOH$ vuông tại $H$, áp dụng định lí Pytago, ta có:

$O{A}^2=O{H}^2+A{H}^2$

$\Rightarrow O{H}^2=O{A}^2-A{H}^2={20}^2-{12}^2=256$

$\iff OH=\sqrt{256}=16cm.$

Xét tam giác $A{O}^{\prime }H$ vuông tại $H$, áp dụng định lí Pytago, ta có:

$A{O}^{\prime 2}=A{H}^2+H{O}^{\prime 2}$

$\Rightarrow H{O}^{\prime 2}=A{O}^{\prime 2}-A{H}^2={15}^2-{12}^2=81$

$\iff H{O}^{\prime }=\sqrt{81}=9(cm)$.

Khi đó  $O{O}^{\prime }=OH+H{O}^{\prime }=16+9=25(cm).$

*TH2: $O$ và $O^{\prime }$ nằm cùng phía đối với $AB$ (h.b)

Tương tự TH1 ta vẫn có $OH=16cm;O^{\prime }H=9cm$

Khi đó $O{O}^{\prime }=OH-O^{\prime }H=16-9=7(cm).$