Toptailieu.vn giới thiệu Giải VBT Toán lớp 9 Bài 7. Vị trí tương đối của hai đường tròn trang 132,133,134,135,136,137 chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong VBT Toán 9. Mời các bạn đón xem:

VBT Toán lớp 9 Bài 7. Vị trí tương đối của hai đường tròn

Phần câu hỏi bài 7 trang 132, 133 Vở bài tập toán 9 tập 1

Cho hai đường tròn $(O;6cm)$ và $(O^{\prime };4cm).$ Biết khoảng cách giữa hai tâm $O$ và $O^{\prime }$ bằng 11cm. Khi đó số điểm chung của hai đường tròn này là

(A) 0                            (B) 1

(C) 2                            (D) 3

Phương pháp giải:

So sánh $O{O}^{\prime }$ và $R+r$ theo bảng sau :

Chứng minh $\hat{C}=\hat{D}$ qua hai góc trung gian $\widehat{OAC}$ và $\widehat{O^{\prime }AD}$.Trên hình 88, hai đường tròn tiếp xúc nhau tại A, ba điểm C, A, D thẳng hàng. Chứng minh rằng OC // O’D.

Phương pháp giải:

Chứng minh $\hat{C}=\hat{D}$ qua hai góc trung gian $\widehat{OAC}$ và $\widehat{O^{\prime }AD}$.

Trả lời:

Tam giác $OAC$ có $OA=OC$ (bán kính) nên là tam giác cân, suy ra $\hat{C}=\hat{A}.$          (1)

Tam giác $O^{\prime }AD$ có $O^{\prime }A=O^{\prime }D$ (bán kính) nên là tam giác cân, suy ra $\hat{D}=\widehat{O^{\prime }AD}$    (2)

Hai đường tròn $\left(O\right)$ và $\left(O^{\prime }\right)$ tiếp xúc nhau tại $A$ nên ba điểm $A,C,D$ thẳng hàng, do đó $\widehat{OAC}=\widehat{O^{\prime }AD}$ (đối đỉnh).

Từ (1), (2), (3) suy ra $\hat{C}=\hat{D}.$

Hai góc $C,D$ so le trong và bằng nhau nên $OC//O^{\prime }D.$

Cho hai đường tròn $(O;20cm)$ và $(O^{\prime };15cm)$ cắt nhau tại $A$ và $B$. Tính đoạn nối tâm $O{O}^{\prime }$, biết rằng $AB=24cm.$ (Xét hai trường hợp: $O$ và $O^{\prime }$ nằm khác phía đối với $AB;O$ và $O^{\prime }$ nằm cùng phía đối với $AB$).

Phương pháp giải:

Vẽ dây chung của hai đường tròn rồi dùng tính chất đường nối tâm  là đường trung trực của dây chung.

Trả lời:

Gọi $I$ là giao điểm của $O{O}^{\prime }$ và $AB.$ Theo tính chất hai đường tròn cắt nhau, ta có $O{O}^{\prime }$ là đường trung trực của $AB,$ do đó

$O{O}^{\prime }\mathrm{\perp }AB$ và $AI=IB={\displaystyle \frac{AB}{2}}$$={\displaystyle \frac{24}{2}}=12\left(cm\right).$

Tính $OI:$ Áp dụng định lí Py-ta-go cho tam giác vuông $AIO,$ ta có

$O{I}^2=O{A}^2-A{I}^2$$={20}^2-{12}^2=400-144=256.$

Suy ra $OI=16cm.$

Tính $O^{\prime }I:$ Áp dụng định lí Py-ta-go cho tam giác vuông $AI{O}^{\prime },$ ta có

$O^{\prime }{I}^2=O^{\prime }{A}^2-A{I}^2={15}^2-{12}^2$$=225-144=81\left(cm\right).$

Suy ra $O^{\prime }I=9cm.$

Xét hai trường hợp :

a) Nếu $O$ và $O^{\prime }$ nằm khác phía đối với $AB$ thì

$O{O}^{\prime }=OI+I{O}^{\prime }=16+9=25\left(cm\right).$

b) Nếu $O$ và $O^{\prime }$ nằm cùng phía đối với $AB$ thì

$O{O}^{\prime }=OI-I{O}^{\prime }=16-9=7\left(cm\right).$

Cho đường tròn (O), đường kính AB = 25cm. Vẽ đường tròn tâm B bán kính 15cm, cắt đường tròn (O) ở C và D.

a) Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn (B).

b) Tính độ dài AC

c) Gọi H là giao điểm của AB và CD. Tính độ dài AH, HB.

Phương pháp giải:

a) Chứng minh $AC$ có một điểm chung với đường tròn và bán kính vuông góc với $AC$ tại điểm đó.

b) Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông.

c) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $a=a^{\prime }.c.$

Trả lời:

a) Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $\left(O\right)$ đường kính $AB$ nên $\widehat{ACB}={90}^o.$

$AC$ vuông góc với bán kính $BC$ của đường tròn  $\left(B\right)$ tại $C$ nên $AC$ là tiếp tuyến của $\left(B\right).$

  b) Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông $ACB,$ ta có

$A{C}^2=A{B}^2-B{C}^2={25}^2-{15}^2$$=625-225=400\left(cm\right).$

Suy ra $AC=20\left(cm\right).$ 

c) Tam giác $ABC$ vuông tại $C,$ đường cao $CH$ nên $A{C}^2=AB.AH$

suy ra ${20}^2=25.AH,$ do đó $AH={\displaystyle \frac{400}{25}}=16\left(cm\right).$

Tính HB ta có HB= AB - AH= 25 -16 = 9(cm)

Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $OA$ và đường tròn đường kính $OA$.

a) Hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.

b) Dây $AD$ của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở $C$. Chứng minh rằng $AC=CD$.

Phương pháp giải:

Tìm ${\mathrm{O}\mathrm{O}}^{\prime }$ và $R+r$ hoặc $R-r$ rồi dùng bảng sau:

Trả lời:

a) Gọi $O^{\prime }$ là trung điểm của $OA.$ Đường tròn $\left(O\right)$ có bán kính là $OA,$ đường tròn $\left(O^{\prime }\right)$ có bán kính là $O^{\prime }A.$

Ta có ${\mathrm{O}\mathrm{O}}^{\prime }=OA-O^{\prime }A$ nên hai đường tròn $\left(O\right)$ và $\left(O^{\prime }\right)$ có vị trí tiếp xúc trong.

b) Tam giác $ACO$ nội tiếp đường tròn đường kính $AO$ nên $\widehat{ACO}={90}^o.$

Tam giác $AOD$ có $OA=OD$ (bán kính) nên là tam giác cân tại $O,$ $OC$ là đường cao nên cũng là đường trung tuyến, do đó $AC=CD.$

Bài 32 trang 135 Vở bài tập toán 9 tập 1

Cho hai đường tròn đồng tâm $O$. Dây $AB$ của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở $C$ và $D$. Chứng minh rằng $AC=BD$. 

Phương pháp giải:

Vẽ đường kính vuông góc với một dây rồi dùng tính chất đường kính vuông góc với một dây thì chia đôi đi qua trung điểm dây ấy.

Trả lời:

Giả sử $C$ nằm giữa $A$ và $D$ (trường hợp $D$ nằm giữa $A$ và $C$ được chứng minh tương tự).

Kẻ $OH\mathrm{\perp }CD.$ Áp dụng định lí về đường kính vuông góc với dây, ta có :

$OH\mathrm{\perp }AB$ nên $HA=HB\left(1\right)$

 $OH\mathrm{\perp }CD$ nên $HC=HD\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra $HA-HC=HB-HD,$ tức là $AC=BD.$ 

Chú ý :

Khi $D$ nằm giữa $A$ và $C$, ta thay dấu – bởi dấu +.

Cho hai đường tròn (O ; 3cm) và (O’ ; 2cm) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi BC là tiếp  tuyến chung ngoài của hai đường tròn, $B\in \left(O\right),C\in \left(O^{\prime }\right)$. Gọi I là giao điểm của đường thẳng BC và OO’. Tính độ dài O’I.

Phương pháp giải:

Chứng minh đường thẳng $O^{\prime }C$ song song với $OB$ rồi áp dụng định lí Ta-lét.

Trả lời:

Ta có $O^{\prime }C//OB$ (vì cùng vuông góc $BC$)

Theo định lí Ta-lét ta có :

${\displaystyle \frac{O^{\prime }I}{OI}}={\displaystyle \frac{O^{\prime }C}{OB}}={\displaystyle \frac{IC}{IB}}.$

Suy ra ${\displaystyle \frac{O^{\prime }I}{OI-O^{\prime }I}}={\displaystyle \frac{O^{\prime }C}{OB-O^{\prime }C}},$ do đó ${\displaystyle \frac{O^{\prime }I}{O{O}^{\prime }}}=2.$

Vậy $O^{\prime }I=2.O{O}^{\prime }=2.5=10\left(cm\right).$

a) Tâm của các đường tròn bán kính 1cm tiếp xúc ngoài với đường tròn tâm O bán kính 3cm nằm trên đường nào ?

b) Tâm của các đường tròn bán kính 1cm tiếp xúc trong với đường tròn tâm O bán kính 3cm nằm trên đường nào ?

Phương pháp giải:

Áp dụng kiến thức : Hai đường tròn tiếp xúc nhau, tiếp xúc ngoài khi $O{O}^{\prime }=R+r;$ tiếp xúc trong khi $O{O}^{\prime }=R–r>0.$

Trả lời:

(h. 94) Gọi $O^{\prime }$ là tâm của một đường tròn bất kì bán kính $1cm$ tiếp xúc ngoài với đường tròn $\left(O;3cm\right).$

Hai đường tròn $\left(O\right)$ và $\left(O^{\prime }\right)$ tiếp xúc ngoài nên $O{O}^{\prime }=OA+O^{\prime }A=4\left(cm\right).$

Điểm $O^{\prime }$ cách điểm $O$ cố định một khoảng $4cm$ nên $O^{\prime }$  nằm trên đường tròn tâm $O$ bán kính $4cm.$

Vậy tâm của các đường tròn bán kính $1cm$ tiếp xúc ngoài với đường tròn $\left(O;3cm\right)$ nằm trên đường tròn $\left(O;4cm\right).$ 

b)

Gọi $O^{\prime }$ là tâm của một đường tròn bất kì bán kính $1cm$ tiếp xúc trong với đường tròn $\left(O;3cm\right).$

Hai đường tròn $\left(O\right)$ và $\left(O^{\prime }\right)$ tiếp xúc trong  nên $O{O}^{\prime }=OA-O^{\prime }A=2\left(cm\right).$

Điểm $O^{\prime }$ cách điểm $O$ cố định một khoảng $2cm$ nên $O^{\prime }$  nằm trên đường tròn tâm $O$ bán kính $2cm.$

Vậy tâm của các đường tròn bán kính $1cm$ tiếp xúc trong với đường tròn $\left(O;3cm\right)$ nằm trên đường tròn $\left(O;2cm\right).$

Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O^{\prime })$ tiếp xúc ngoài tại $A$. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài $BC$, $B\in (O),C\in (O^{\prime }).$ Tiếp tuyến chung trong tại $A$ cắt tiếp tuyến chung ngoài $BC$ ở $I$.

a) Chứng minh rằng $\widehat{BAC}={90}^{\circ }$.

b) Tính số đo góc $OI{O}^{\prime }$. 

c) Tính độ dài $BC$, biết $OA=9cm,O^{\prime }A=4cm.$

Phương pháp giải:

a) Dùng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau và định lí “ Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông”.

b) Áp dụng kiến thức về tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù.

Trả lời:

a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có $IB=IA,IC=IA,$

suy ra $IB=IC=IA.$

Tam giác $BAC$ có đường trung tuyến $AI$ bằng nửa cạnh $BC$ nên $\widehat{BAC}={90}^o.$

b) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có :

IO là tia phân giác của $\widehat{BIA},$

$I{O}^{\prime }$ là tia phân giác của $\widehat{AIC}$

Hai góc đó kề bù nên $IO\mathrm{\perp }I{O}^{\prime }.$ Vậy $\widehat{OI{O}^{\prime }}={90}^o.$

c) Tam giác $OI{O}^{\prime }$ vuông tại $I$ (theo câu b), $IA$ là đường cao (vì $AI$ là tiếp tuyến của 2 đường tròn).

Tam giác $OI{O}^{\prime }$ vuông tại $I,$ đường cao $AI$ nên

$I{A}^2=O^{\prime }A.OA=4.9=36,$ suy ra $IA=6\left(cm\right).$

Do đó $BC=2IA=2.6=12\left(cm\right).$