Phương pháp giải:

Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.

Lời giải:

Các góc trên hình 14 không phải góc nội tiếp vì các góc này không có đỉnh nằm trên đường tròn

Các góc trên hình 15 không phải góc nội tiếp vì các góc này không có hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn.

Phương pháp giải:

Sử dụng thước đo độ để đo các góc 

Lời giải:

Sử dụng thước đo độ để đo các góc, ta đo các góc BAC và BOC từ đó ta rút ra kết luận: $\widehat{BAC}={\displaystyle \frac{1}{2}}sđ\stackrel{⏜}{BC}$ 

Lời giải:

a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau

b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau

c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90^o) có số đo bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung

d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông

a) Trong một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

b) Trong một đường tròn, các góc nội tiếp bằng nhau thì cùng chắn một cung.

Phương pháp giải:

Hệ quả:

Trong một đường tròn:

a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng ${90}^0$ ) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

+ Các góc nội tiếp chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

+ Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông

Lời giải:

Vận dụng hệ quả: Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông

+ Đặt đỉnh vuông của ê ke trùng với 1 điểm B bất kì trên đường tròn. Vẽ 2 dây cung BE, BF. Ta được tam giác BEF nội tiếp đường tròn đường kính EF

+ Đặt đỉnh vuông của ê ke trùng với 1 điểm A bất kì trên đường tròn. Vẽ 2 dây cung AC, AD. Ta được tam giác ACD nội tiếp đường tròn đường kính CD

+ Tâm đường tròn chính là giao điểm O của hai cạnh huyền DC và EF của hai tam giác vuông nội tiếp đường tròn.

Hãy so sánh các góc , , .

Phương pháp giải:

Trong một đường tròn:

Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

Lời giải:

 Với các vị trí trên một cung tròn thì ta được các góc nội tiếp ,,  cùng chắn một cung , nên suy ra  =  = . 

Vậy với các vị trí trên thì các góc sút đều bằng nhau, không có góc sút nào rộng hơn.

Lời giải:

Xét đường tròn tâm $O$ có $AB$ là đường kính nên $\widehat{AMB}=\widehat{ANB}={90}^{\circ }$ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra $BM\mathrm{\perp }SA;AN\mathrm{\perp }SB$ mà $BM\cap AN$ tại $H$  nên $H$ là trực tâm tam giác $SAB.$

Do đó $SH\mathrm{\perp }AB.$ (vì trong một tam giác ba đường cao đồng quy)

Phương pháp giải:

Sử dụng góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

Từ đó chứng minh $\widehat{ABC}+\widehat{ABD}={180}^{\circ }$ 

Lời giải:

Nối $B$ với 3 điểm $A,C,D$.

Xét đường tròn $\left(O\right)$ có $\widehat{ABC}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat{ABC}={90}^{\circ }.$

Xét đường tròn $\left(O^{\prime }\right)$ có $\widehat{ABD}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat{ABD}={90}^{\circ }.$

Suy ra $\widehat{ABC}+\widehat{ABD}={90}^{\circ }+{90}^{\circ }={180}^{\circ }$ nên $\widehat{CBD}={180}^{\circ }\Rightarrow C,B,D$ thẳng hàng.

Phương pháp giải:

Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

Lời giải:

Vì hai đường tròn $\left(O\right)$ và $\left(O^{\prime }\right)$ bằng nhau nên cung $AB$ của $\left(O\right)$ và $\left(O^{\prime }\right)$ bằng nhau

Suy ra $\widehat{AMB}=\widehat{ANB}$ (các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau)

Do đó tam giác $BMN$ là tam giác cân tại $B.$ 

Phương pháp giải:

+ Sử dụng góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

+ Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

+ Hoặc ta chứng minh $\mathrm{\Delta }\mathrm{M}\mathrm{A}\mathrm{B}$ đồng dạng với $\mathrm{\Delta }MCA$ từ đó suy ra tỉ lệ cạnh để có đẳng thức cần chứng minh. 

Lời giải:

Xét $\left(O\right)$ có $\widehat{AMB}={90}^{\circ }$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra $AM\mathrm{\perp }BC$

Lại có $AC$ là tiếp tuyến tại A nên $\widehat{BAC}={90}^{\circ }$

Xét tam giác ABC vuông tại A có AM là đường cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$M{A}^2=MB.MC$ (đpcm) 

Cách khác:

+ Xét $\left(O\right)$ có $\widehat{AMB}={90}^{\circ }$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra $AM\mathrm{\perp }BC\Rightarrow \widehat{CMA}={90}^{\circ }$.

 Lại có $AC$ là tiếp tuyến nên $\widehat{BAC}={90}^{\circ }.$

+ Ta có $\widehat{MBA}+\widehat{MAB}={90}^{\circ }$ (vì tam giác $MAB$ vuông tại $M$ ) và $\widehat{MAB}+\widehat{MAC}={90}^{\circ }$ (do $\widehat{BAC}={90}^{\circ }$) nên $\widehat{MBA}=\widehat{MAC}$

+ Xét $\mathrm{\Delta }MAB$ và $\mathrm{\Delta }MCA$ có $\hat{M}$ chung và $\widehat{MBA}=\widehat{MAC}$ (cmt) nên $\mathrm{\Delta }\mathrm{M}\mathrm{A}\mathrm{B}$ đồng dạng với $\mathrm{\Delta }MCA\left(g-g\right)$ suy ra ${\displaystyle \frac{MA}{MC}}={\displaystyle \frac{MB}{MA}}\Rightarrow M{A}^2=MB.MC$ (đpcm)

Chứng minh $MA.MB=MC.MD$

Phương pháp giải:

Sử dụng tam giác đồng dạng để suy ra hệ thức cần chứng minh

Lời giải:

Xét hai trường hợp:

a) $M$ ở bên trong đường tròn (hình a)

Xét hai tam giác $MAD$ và $MCB$ có:

              $\widehat{AMD}$ = $\widehat{CMB}$ ( đối đỉnh)

              $\widehat{ADM}$ = $\widehat{CBM}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung  $AC$).

Do đó $∆MAD$ đồng dạng $∆MCB$ (g-g), suy ra:

${\displaystyle \frac{MA}{MC}}={\displaystyle \frac{MD}{MB}}$ ( 2 cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

Do đó $MA.MB=MC.MD$

b) M ở bên ngoài đường tròn (hình b)

Tương tự, xét hai tam giác $MAD$ và $MCB$ có:

     $\hat{M}$ chung  

     $\widehat{MDA}$ = $\widehat{MBC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AC$).

Nên $∆MAD$ đồng dạng $∆MCB$ (g-g)

Suy ra:     ${\displaystyle \frac{MA}{MC}}={\displaystyle \frac{MD}{MB}}$( 2 cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

Do đó: $MA.MB=MC.MD$

Lời giải:

Gọi $MN=2R$ là đường kính của đường tròn có cung tròn là $AMB$ 

Theo kết quả của bài tập 23, ta có: $KA.KB=KM.KN$

hay $KA.KB=KM.(2R-KM)$

Ta có: $KA=KB=20m$

Thay số, ta có: $20.20=3(2R-3)$

do đó $6R=400+9=409$. 

Vậy $R$ = ${\displaystyle \frac{409}{6}}$ $\approx 68,2$ (mét)

Phương pháp giải:

Sử dụng hệ quả: "Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông" để vẽ tam giác vuông thỏa mãn điều kiện đề bài.

Lời giải:

Cách vẽ như sau:

- Vẽ đoạn thẳng $BC$ dài $4cm$.

- Vẽ nửa đưởng tròn đường kính $BC$. 

- Vẽ dây $AB$ dài $2,5cm$.

Ta có tam giác thỏa mãn các yêu cầu của đầu bài.

( $\hat{A}$=${90}^{\circ }$, $BC=4cm,AB=2,5cm$)

+ Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

+ Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

Từ đó chỉ ra các góc bằng nhau để có tam giác $SMC,SAN$ cân, suy ra các cặp cạnh bằng nhau. 

Lời giải:

Ta có:

Vì M là điểm nằm chính giữa của $\stackrel{⏜}{AB}$ nên $\stackrel{⏜}{BM}=\stackrel{⏜}{AM}$ 

+) Chứng minh SM = SC

Vì MN // BC nên $\widehat{M_1}=\widehat{C_2}$ (2 góc so le trong)

Trong đường tròn (O): $\widehat{C_1}=\widehat{C_2}$ (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau $\stackrel{⏜}{BM}=\stackrel{⏜}{AM}$ ) 

Nên suy ra $\widehat{M_1}=\widehat{C_1}$

Suy ra tam giác SMC là tam giác cân tại S. Vậy $SM=SC.$

+) Chứng minh SA = SN

Trong đường tròn (O):

$\widehat{M_1}=\widehat{A_1}$( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung NC)(1)

$\widehat{C_1}=\widehat{N_1}$(2 góc nội tiếp cùng chắn cung AM)(2)

Mà $\widehat{M_1}=\widehat{C_1}$ (chứng minh trên)(3)

Từ (1),(2) và (3) $\Rightarrow$ $\widehat{A_1}=\widehat{N_1}$

Vậy tam giác SAN cân tại S. Nên $SA=SN$ (đpcm)