Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa về góc tạo bởi tiếp tuyến của dây cung là góc có đỉnh nằm trêm đường tròn, có 1 cạnh là tiếp tuyến và cạnh kia chứa dây cung của đường tròn.

Lời giải:

Các hình trên không phải là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung vì:

Hình 23: Không có tia nào là tiếp tuyến của đường tròn

Hình 24: Không có tia nào là dây cung của đường tròn

Hình 25: Một tia không là tiếp tuyến của đường tròn

Hình 26: Đỉnh của góc không nằm trên đường tròn

b) Trong mỗi trường hợp ở câu a) hãy cho biết số đo cung bị chắn.

Phương pháp giải:

Sử dụng: Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn.

Lời giải:

a) - Chọn điểm A bất kì, vẽ tia tiếp tuyến Ax

- Dùng thước đo độ dựng góc BAx có số đo ${30}^0;{90}^0;{120}^0$

b) Nếu $\widehat{BAx}={30}^{\circ }$ thì cung bị chắn là cung $AB$ nhỏ có số đo ${60}^{\circ }$

Nếu $\widehat{BAx}={90}^{\circ }$ thì cung bị chắn là cung nửa đường tròn $AB$ có số đo ${180}^{\circ }$

Nếu $\widehat{BAx}={120}^{\circ }$ thì cung bị chắn là cung $AB$ lớn  có số đo ${240}^{\circ }$.

Phương pháp giải:

+ Sử dụng số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn 

+ Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo cung bị chắn.

Lời giải:

Xét đường tròn $\left(O\right)$ có

$\widehat{BAx}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ sđ $\stackrel{⏜}{AmB}$  (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung $AB$)

Và $\widehat{BCA}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ sđ $\stackrel{⏜}{AmB}$ (góc nội tiếp chắn cung $AmB$ )

Suy ra $\widehat{BCA}=\widehat{BAx}$ .

Lời giải:

Trong đường tròn (O), ta có:

+) $\widehat{PBT}$ là góc tạo bởi tiếp tuyến $BT$ và dây cung $BP$ chắn cung $\stackrel{⏜}{PmB}$.

$\Rightarrow \widehat{PBT}={\displaystyle \frac{1}{2}}sđ\stackrel{⏜}{PmB}$   (1)

+) $\widehat{PAO}$ là góc nội tiếp chắn cung $\stackrel{⏜}{PmB}$

$\Rightarrow \widehat{PAO}={\displaystyle \frac{1}{2}}sđ\stackrel{⏜}{PmB}$   (2)

Mặt khác: $\widehat{PAO}=\widehat{APO}$ ($∆OAPcântạiO)$ (3)

Từ (1), (2), (3)$\Rightarrow$ $\widehat{APO}=\widehat{PBT}$ (đpcm)

Lời giải:

Nối $AB$.

Xét đường tròn $(O^{\prime })$ ta có: $\widehat{AQB}=\widehat{PAB}$   (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung $AB$).(1)

Xét đường tròn $(O)$ ta có: $\widehat{PAB}=\widehat{BPx}$  (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung $PB$).(2)

Từ (1) và (2) có $\widehat{AQB}=\widehat{BPx}(cùng=\widehat{PAB}).$

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

$\Rightarrow AQ//Px.$

Chứng minh rằng $\widehat{CBA}=\widehat{DBA}$.

Phương pháp giải:

+) Trong một đường tròn, góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung thì có số đo bằng nhau và bằng nửa số đo cung bị chắn.

+) Chỉ ra hai tam giác $ABD$ và $CBA$  đồng dạng để suy ra hai góc bằng nhau.

Lời giải:

Xét đường tròn $(O^{\prime })$ có $\widehat{ADB}$ là góc nội tiếp chắn cung $\stackrel{⏜}{AmB}$

$\widehat{CAB}$ là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung $\stackrel{⏜}{AmB}$

$\Rightarrow$ $\widehat{ADB}=\widehat{CAB}$ (1)

Xét đường tròn $(O)$ có $\widehat{ACB}$ là góc nội tiếp chắn cung $\stackrel{⏜}{AnB}$

$\widehat{BAD}$ là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung $\stackrel{⏜}{AnB}$

$\Rightarrow$ $\widehat{ACB}=\widehat{BAD}$(2)

Từ (1), (2) $\Rightarrow$ $\widehat{BAD}=\widehat{ACB}$   (**)

Xét tam giác $ABD$ và $CBA$ có:

$\widehat{CAB}=\widehat{ADB}$ (theo (*))

$\widehat{ACB}=\widehat{BAD}$ (theo (**))

nên  $\mathrm{\Delta }ACB\backsim \mathrm{\Delta }DAB\left(g-g\right)$ suy ra $\widehat{CBA}=\widehat{DBA}$ (hai góc tương ứng) (đpcm).

Nếu $\widehat{BAx}$ (với đỉnh $A$ nằm trên một đường tròn, một cạnh chứa dây cung $AB$), có số đo bằng nửa số đo của $\stackrel{⏜}{AB}$ căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh $Ax$ là một tia tiếp tuyến của đường tròn (h.29).

Lời giải:

Cách 1 (hình a). Chứng minh trực tiếp

Kẻ $OH\mathrm{\perp }AB$ tại $H$ và cắt $(O)$ tại $C$ như hình vẽ.

Suy ra $H$ là trung điểm của $AB$ và $C$ là điểm chính giữa cung $AB$.

Theo giả thiết ta có: $\widehat{BAx}={\displaystyle \frac{1}{2}}sđ\stackrel{⏜}{AB}.$ ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung AB)

Lại có: $\widehat{O_1}=sđ\stackrel{⏜}{AC}={\displaystyle \frac{1}{2}}sđ\stackrel{⏜}{AB}$ (góc ở tâm chắn cung $AC$).

Suy ra: $\widehat{BAx}=\widehat{O_1}.$ 

Ta có: $\widehat{O_1}+\widehat{OAB}={90}^0$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông $OAH$).

$\Rightarrow \widehat{BAx}+\widehat{OAB}={90}^0$ hay  $OA\mathrm{\perp }Ax.$ 

Vậy $Ax$ phải là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A.$

Cách 2 (hình b) Chứng minh bằng phản chứng.

Nếu cạnh $Ax$ không phải là tiếp tuyến tại $A$ mà là cát tuyến đi qua $A$ và giả sử nó cắt $(O)$ tại $C$ thì $\widehat{BAC}$ là góc nội tiếp. 

Điều này trái với giả thiết. Vậy cạnh kia không thể là cát tuyến, mà phải là tiếp tuyến $Ax.$

Phương pháp giải:

+) Trong một đường tròn, góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung thì có số đo bằng nhau và bằng nửa số đo cung bị chắn.

+) Tổng bốn góc  của tứ giác lồi bằng ${360}^0$.

Lời giải:

Cách 1: Tam giác BOC có $BC=OB=OC=R$

$\Rightarrow$ Tam giác $BOC$ là tam giác đều (Tam giác có 3 cạnh bằng nhau)

Xét $(O)$ ta có: $\widehat{ABC}$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến $BA$ và dây cung $BC$ của $(O)$.

Ta có: sđ $\stackrel{⏜}{BC}=\widehat{BOC}={60}^0$ (góc ở tâm chắn $\stackrel{⏜}{BC}$ ) và $\widehat{ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}sđ\stackrel{⏜}{BC}={30}^0$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn $\stackrel{⏜}{BC}$).

Vì $AB,AC$ là các tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ nên $\widehat{ABO}=\widehat{ACO}={90}^0$

Xét tứ giác $OBAC$ có $\widehat{ABO}+\widehat{ACO}+\widehat{BOC}+\widehat{BAC}={360}^0$

$\Rightarrow$ $\widehat{BAC}={360}^0-\widehat{ABO}-\widehat{ACO}-\widehat{BOC}$

$={360}^0-{90}^0-{90}^0-{60}^0={120}^0$. 

Cách 2: 

Tam giác BOC có $BC=OB=OC=R$

Suy ra tam giác $BOC$ là tam giác đều (Tam giác có 3 cạnh bằng nhau) nên $\widehat{BOC}={60}^0$

sđ $\stackrel{⏜}{BC}=\widehat{BOC}={60}^0$ (góc ở tâm chắn $\stackrel{⏜}{BC}$ ) và $\widehat{ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}sđ\stackrel{⏜}{BC}={30}^0$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn $\stackrel{⏜}{BC}$).

Vì AB, AC là 2 tiếp tuyến của (O), cắt nhau tại A nên AB = AC (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow$ Tam giác ABC cân tại A

$\Rightarrow$ $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

Xét tam giác ABC có:

$\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}={180}^0$

$\Rightarrow \widehat{BAC}={180}^0-(\widehat{ABC}+\widehat{ACB})={180}^0-2.\widehat{ABC}={180}^0-2.{30}^0={120}^0$

Chứng minh: $\widehat{BTP}+2.\widehat{TPB}={90}^0$.

Phương pháp giải:

+) Trong một đường tròn, góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung thì có số đo bằng nhau và bằng nửa số đo cung bị chắn.

+) Tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng ${90}^0$

Lời giải:

Cách 1:

Ta có $\widehat{TPB}$ là góc tạo bởi tiếp tuyến $PT$ và dây cung $PB$ của đường tròn $(O)$ nên  $\widehat{TPB}={\displaystyle \frac{1}{2}}sđ\stackrel{⏜}{BP}$ (1)

Lại có: $\widehat{BOP}=sđ\stackrel{⏜}{BP}$   (góc ở tâm chắn $\stackrel{⏜}{BP}$) (2)

Từ (1) và (2) suy ra  $\widehat{BOP}=2.\widehat{TPB}$.

Vì $TP$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ nên $OP\mathrm{\perp }TP$. Do đó tam giác $TPO$ vuông tại T, ta có $\widehat{BOP}+\widehat{BTP}={90}^0.$

hay $\widehat{BTP}+2.\widehat{TPB}={90}^0$ (đpcm)

Cách 2:

Vì $\widehat{BAP}=\widehat{BPT}$ ( góc nội tiếp chắn cung và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung $PB$)

Vì $\widehat{B_1}$ là góc ngoài tại đỉnh B của tam giác BPT nên

$\widehat{B_1}=\widehat{BTP}+\widehat{BPT}$

$\Rightarrow \widehat{BAP}+\widehat{B_1}=\widehat{BPT}+\widehat{BTP}+\widehat{BPT}=\widehat{BTP}+2.\widehat{TPB}$(3)

Xét đường tròn (O) có: $\widehat{APB}={90}^0$( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow$ Tam giác APB vuông tại P

$\Rightarrow$ $\widehat{BAP}+\widehat{B_1}={90}^0$ (4)

Từ (3) và (4) ta có:$\Rightarrow$ $\widehat{BTP}+2.\widehat{TPB}={90}^0$ (đpcm)

Chứng minh: $AB.AM=AC.AN$

Phương pháp giải:

+) Trong một đường tròn, góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung thì có số đo bằng nhau và bằng nửa số đo cung bị chắn.

+) Chứng minh cặp tam giác đồng dạng tương ứng. Từ đó suy ra các cặp tương ứng tỉ lệ và đẳng thức cần chứng minh.

Lời giải:

Xét đường tròn $(O)$ ta có: 

$\hat{C}$ là góc nội tiếp chắn cung $AB$

$\widehat{BAt}$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung $AB.$

$\Rightarrow \widehat{BAt}=\hat{C}.$             (1)

Lại có vì $MN//At$ nên  $\widehat{AMN}=\widehat{BAt}$ (so le trong)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat{AMN}=\hat{C}$              (3)

Xét hai tam giác $AMN$ và $ACB$ ta có:

             $\hat{A}$ chung

             $\hat{M}=\hat{C}(theo(3))$

Vậy $∆AMN\backsim ∆ACB(g-g)$

${\displaystyle \Rightarrow \frac{AN}{AB}=\frac{AM}{AC}}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow AB.AM=AC.AN$ (đpcm).

Phương pháp giải:

+) Trong một đường tròn, góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung thì có số đo bằng nhau và bằng nửa số đo cung bị chắn.

+) Chứng minh cặp tam giác đồng dạng tương ứng. Từ đó suy ra các cặp tương ứng tỉ lệ và đẳng thức cần chứng minh.

Lời giải:

Xét hai tam giác $BMT$  và $TMA$ có:

$\hat{M}$ chung

$\hat{B}=\hat{T}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến cùng chắn cung nhỏ $\stackrel{⏜}{AT}$)

$\Rightarrow ∆BMT$∽ $∆TMA(g-g).$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{MT}{MA}}={\displaystyle \frac{MB}{MT}}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

hay $M{T}^2=MA.MB$ (đpcm).

Phương pháp giải:

+) Trong một đường tròn, góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung thì có số đo bằng nhau và bằng nửa số đo cung bị chắn.

+) Chứng minh cặp tam giác đồng dạng tương ứng. Từ đó suy ra các cặp tương ứng tỉ lệ và đẳng thức cần chứng minh.

+) Sử dụng kết quả bài 34 trang 80 toán 9 tập 2 

Lời giải:

Đổi 40 m = 0,04 km ; 10 m = 0,01 km

Áp dụng kết quả bài tập 34 ta có:  $M{T}^2=MA.MB$

$\Rightarrow M{T}^2=MA.(MA+2R).$

$\Rightarrow$

+) $M{T}^2=0,04.(0,04+6400.2)=512,0016$

$\iff MT\approx 23(km).$

+) $M{T}^2=0,01.(0,01+6400.2)$

$\iff MT\approx 11(km).$

Từ đó: $M{M}^{\prime }=MT+M^{\prime }T=23+11=34(km).$

Vậy khi cách ngọn hải đăng khoảng $34km$ thì người thủy thủ bắt đầu trông thấy ngọn hải đăng.