Phương pháp giải:

Số đo cung = số đo góc ở tâm chắn cung đó.

Chứng minh hai tam giác bằng nhau để suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau.

Lời giải:

a) Chứng minh: $\stackrel{⏜}{AB}=\stackrel{⏜}{CD}$ $\Rightarrow$  AB = CD

Vì $\stackrel{⏜}{AB}=\stackrel{⏜}{CD}$ $\Rightarrow \widehat{AOB}=\widehat{COD}$ (Số đo cung = số đo góc ở tâm chắn cung đó)

Xét $\mathrm{\Delta }OAB$ và $\mathrm{\Delta }OCD$  có:

$\begin{array}{rl}& OA=OC=R\\ & \widehat{AOB}=\widehat{COD}\\ & OB=OD=R\\ & \Rightarrow \mathrm{\Delta }OAB=\mathrm{\Delta }OCD\left(c.g.c\right)\end{array}$

$\Rightarrow AB=CD$ ( 2 cạnh tương ứng)

b) Chứng minh: AB = CD $\Rightarrow$  $\stackrel{⏜}{AB}=\stackrel{⏜}{CD}$

Xét $\mathrm{\Delta }OAB$ và $\mathrm{\Delta }OCD$  có:

$\begin{array}{rl}& OA=OC=R\\ & AB=CD\left(gt\right)\\ & OB=OD=R\\ & \Rightarrow \mathrm{\Delta }OAB=\mathrm{\Delta }OCD\left(c.c.c\right)\end{array}$

$\Rightarrow \widehat{AOB}=\widehat{COD}$ (2 góc tương ứng)

$\Rightarrow$ $\stackrel{⏜}{AB}=\stackrel{⏜}{CD}$ (Số đo góc ở tâm chắn cung = số đo cung đó)

Hãy viết giả thiết và kết luận của định lý 2

Phương pháp giải:

Giả thiết là điều kiện đề bài cho

Kết luận là điều cần chứng minh

Lời giải:

Giả thiết: Cho $\left(O\right)$ có hai dây $AB$ và $CD$

Kết luận:

a) Nếu $\stackrel{⏜}{AB}$ $>$ $\stackrel{⏜}{CD}$ thì $AB>CD$

b) Nếu $AB>CD$ thì $\stackrel{⏜}{AB}$ $>$ $\stackrel{⏜}{CD}$

b) Làm thế nào để chia được đường tròn thành sáu cung bằng nhau như trên hình 12.

Phương pháp giải:

a)  Sử dụng số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó. Từ đó vẽ góc ở tâm bằng ${60}^0$

Sử dụng tính chất tam giác đều để suy ra độ dài dây $AB$

b) Sử dụng câu a) để vẽ  6 góc ở tâm bằng nhau và bằng ${60}^0$, từ đó suy ra 6 cung bằng nhau. 

Lời giải:

a) Vẽ đường tròn $(O;R)$. Vẽ góc ở tâm có số đo  ${60}^0$. Góc này là góc ở tâm chắn $\stackrel{⏜}{AB}$ có số đo  ${60}^0$ (hình a).

Tam giác $AOB$ cân có $\hat{O}={60}^0$ nên AOB là tam giác đều, suy ra $AB=R$. 

b) Cách 1:

Theo câu a, ta có góc ở tâm bằng  $sđ\stackrel{⏜}{AB}={60}^0$. Số đo góc ở tâm vẽ được theo cách này là ${360}^0:{60}^0=6$. Suy ra được $6$ cung tròn bằng nhau trên đường tròn.

Từ đó suy ra cách vẽ như sau:

Vẽ $6$ dây cung bằng nhau và bằng bán kính $R$:

$\stackrel{⏜}{A_1{A}_2}=\stackrel{⏜}{A_2{A}_3}=\stackrel{⏜}{A_3{A}_4}$$=\stackrel{⏜}{A_4{A}_5}=\stackrel{⏜}{A_5{A}_6}=\stackrel{⏜}{A_6{A}_1}$

$=R$

Từ đó suy ra $6$ cung bằng nhau. (hình b)

Cách 2:

Chia đường tròn thành 6 cung bằng nhau:

+ Vẽ đường tròn tâm O, bán kính R=2 cm.

+ Trên đường tròn tâm O, lấy điểm $A_1$

+ Vẽ cung tròn tâm $A_1$, bán kính R cắt đường tròn tại $A_2$ và $A_6$

+ Vẽ cung tròn tâm $A_2$ và $A_6$ bán kính R cắt đường tròn tâm O tại giao điểm thứ hai là $A_3$ và $A_5$

+ Vẽ cung tròn tâm $A_5$ bán kính R cắt đường tròn (O) tại giao điểm thứ hai là  $A_4$.

Khi đó, ta chia được đường tròn thành sáu cung bằng nhau như trên.

Cách 3:

+ Vẽ đường tròn (O; 2 cm)

+ Vẽ góc ở tâm có số đo  ${60}^0$ chắn cung AB

+ Vẽ đường kính AC, BD của đường tròn (O; 2 cm)

+ Vẽ cung tròn tâm D, bán kính 2 cm, cắt đường tròn (O) tại E

+ Kẻ đường kính EF.

Ta được đường tròn thành sáu cung bằng nhau

Cho hai đường tròn bằng nhau $(O)$ và $(O^{\prime })$ cắt nhau tại hai điểm $A$ và $B$. Kẻ các đường kính $AOC,A{O}^{\prime }D$. Gọi $E$ là giao điểm thứ hai của $AC$ với đường tròn $(O^{\prime })$.

Bài 11 trang 72 sgk Toán lớp 9 tập 2: a) So sánh các cung nhỏ $\stackrel{⏜}{BC},\stackrel{⏜}{BD}$.

b) Chứng minh rằng $B$ là điểm chính giữa của cung $\stackrel{⏜}{EBD}$ ( tức điểm $B$ chia cung $\stackrel{⏜}{EBD}$ thành hai cung bằng nhau: $\stackrel{⏜}{BE}$ =  $\stackrel{⏜}{BD}$ ).

Phương pháp giải:

* Chứng minh hai tam giác bằng nhau hoặc tam giác cân để suy ra hai dây bằng nhau.

Từ đó sử dụng định lý: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

+)  Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.

+) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.

a) Chứng minh rằng $OH>OK$.

b) So sánh hai cung nhỏ $\stackrel{⏜}{BD}$ và $\stackrel{⏜}{BC}$.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng định lý: "Tổng hai cạnh trong một tam giác luôn lớn hơn cạnh còn lại"

So sánh khoảng cách từ tâm đến dây cung:

Trong một đường tròn:

- Dây cung nào lớn hơn thì gần tâm hơn

- Dây cung nào gần tâm hơn thì lớn hơn.

b) Sử dụng: Định lý liên hệ giữa cung và dây: "Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

- Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

- Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

Lời giải:

a) Trong $∆ABC$, có $BC<BA+AC$ (tổng hai cạnh của một tam giác luôn lớn hơn cạnh còn lại).

Mà $AC=AD$ suy ra $BC<BA+AD$ hay $BC<BD$.

$\Rightarrow$ $OH>OK$ ( Dây lớn hơn thì gần tâm hơn)

b) Ta có $BC<BD$ (cmt) nên $\stackrel{⏜}{BC}$ < $\stackrel{⏜}{BD}$ (dây lớn hơn căng cung lớn hơn) 

+ Dựa vào tính chất tam giác cân và tính chất hai đường thẳng song song để chỉ ra các cung có số đo bằng nhau.

+ Sử dụng : “ Hai cung bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau”

Lời giải:

TH1:  Tâm đường tròn nằm trong hai dây song song

Giả sử $AB$ và $CD$ là các dây song song của đường tròn $(O)$. Ta chứng minh $\stackrel{⏜}{AC}$= $\stackrel{⏜}{BD}$.

Kẻ $OI\mathrm{\perp }AB$ $(I\in AB)$ và $OK\mathrm{\perp }CD(K\in CD)$.

Do $AB//CD$ nên $OI\mathrm{\perp }CD$ (Đường thẳng vuông góc với 1 trong 2 đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng kia )

Do đó, OI trùng với OK (Qua O chỉ có 1 đường thẳng vuông góc với CD) hay $I,O,K$ thẳng hàng.

Do các tam giác $OAB,OCD$ là các tam giác cân đỉnh $O$ nên các đường cao kẻ từ đỉnh đồng thời là phân giác.

Vì vậy ta có: $\widehat{O_1}=\widehat{O_2}$ và $\widehat{O_3}=\widehat{O_4}$

Ta có: $\widehat{AOC}={180}^0-\widehat{O_1}-\widehat{O_3}={180}^0-\widehat{O_2}-\widehat{O_4}=\widehat{BOD}$

Suy ra  $\stackrel{⏜}{AC}$= $\stackrel{⏜}{BD}$.

TH2: Tâm đường tròn nằm ngoài hai dây song song

Giả sử đường tròn $\left(O\right)$ có hai dây song song $AB//CD.$ Ta chứng minh cung (\overparen{AC}\)  = $\stackrel{⏜}{BD}$ .

Qua $O$ kẻ đường kính $EG//CD\Rightarrow EG//AB$ .

Nối $OA,OC,OB,OD\Rightarrow OA=OB=OC=OD$ (= bán kính)

+ Xét tam giác $OAB$ cân tại $O\left(\mathrm{d}\mathrm{o}OA=OB\right)$ nên $\widehat{OAB}=\widehat{OBA}$ (1)

Lại có $EG//AB\Rightarrow$ $\widehat{OAB}=\widehat{AOE};\widehat{OBA}=\widehat{BOG}$  (so le trong)  (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ $\widehat{EOA}=\widehat{BOG}$  (*)

+  Xét tam giác $OCD$ cân tại $O\left(\mathrm{d}\mathrm{o}OC=OD\right)$ nên $\widehat{OCD}=\widehat{ODC}$ (3)

Lại có $EG//CD\Rightarrow$ $\widehat{OCD}=\widehat{COE};\widehat{ODC}=\widehat{DOG}$  (so le trong)  (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\widehat{EOC}=\widehat{DOG}$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra $\widehat{EOA}-\widehat{EOC}=\widehat{BOG}-\widehat{DOG}\iff \widehat{AOC}=\widehat{BOD}$ $\Rightarrow \stackrel{⏜}{AC}$$=\stackrel{⏜}{BD}$ (đpcm) 

b) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất tam giác cân

Chứng minh hai góc ở tâm bằng nhau để suy ra các cung bằng nhau.

Lời giải:

Giả sử đường tròn $(O)$ có đường IK và I là điểm chính giữa cung AB.

a) Vì $I$ là điểm chính giữa của $\stackrel{⏜}{AB}$, suy ra $\stackrel{⏜}{IA}$ = $\stackrel{⏜}{IB}$ $\Rightarrow IA=IB$

Ta có: $OA=OB=$ bán kính. Suy ra đường kính $IK$ là đường trung trực của dây $AB$. Vậy $HA=HB$ (đpcm)

Mệnh đề đảo: Đường kính đi qua trung điểm của một dây thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó.

Chứng minh: Vì $∆AOB$ cân tại $O$ và $HA=HB$ nên $OH$ là đường phân giác của góc $\widehat{AOB}$. Suy ra $\widehat{O_1}=\widehat{O_2}$

Từ đó suy ra $\stackrel{⏜}{IA}$ =  $\stackrel{⏜}{IB}$

Tuy nhiên khi $AB$ đi qua tâm thì điều này chưa chắc đúng vì nếu $AB$ tạo với $IK$ góc $\widehat{AOI}={30}^{\circ }\Rightarrow \widehat{BOI}={150}^{\circ }$ $\Rightarrow \stackrel{⏜}{IA}<\stackrel{⏜}{IB}$ ( vì $\widehat{AOI}<\widehat{BOI}$

Vậy phải thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng là:

Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó.

b) Vì $I$ là điểm chính giữa của $\stackrel{⏜}{AB}$, suy ra $\stackrel{⏜}{IA}$ = $\stackrel{⏜}{IB}$ $\Rightarrow IA=IB$

Ta có: $OA=OB=$ bán kính. Suy ra đường kính $IK$ là đường trung trực của dây $AB$

Nên $OI$ hay $IK$ là đường trung trực của dây $AB$. Suy ra $IK\mathrm{\perp }AB$.

* Điều ngược lại: Đường kính vuông góc ở dây khi qua tâm thì đi qua hai điểm chính giữa của cung căng dây đó.

Kẻ đường kính $KI\mathrm{\perp }AB$.

Ta có $OA=OB\Rightarrow ∆OAB$ cân tại $O$

Mà $OH\mathrm{\perp }AB$ nên $OH$ là đường cao đồng thời là đường phân giác của $\widehat{AOB}$ suy ra $\widehat{O_1}=\widehat{O_2}$

Ta có $∆OAI=∆OBI$ (c.g.c). Do đó $AI=IB$. Suy ra $\stackrel{⏜}{AI}$ = $\stackrel{⏜}{IB}$.

Vậy $I$ là điểm chính giữa của $\stackrel{⏜}{AB}$