Phương pháp giải:

Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau

Lời giải:

CÁCH 1: Kẻ AC, BD là hai đường kính bất kì của đường tròn (O) 

Ta có: $\widehat{AOB}=\widehat{COD}$ (hai góc đối đỉnh)

Nên $sđ\stackrel{⏜}{AmB}=sđ\stackrel{⏜}{CnD}$$\Rightarrow$ $\stackrel{⏜}{AmB}=\stackrel{⏜}{CnD}$

CÁCH 2: Vẽ cung AB, nối AB, đo số đo $\widehat{AOB}$. Dựng cung CD sao cho $\widehat{COD}=\widehat{AOB}$.

Chú ý: Có nhiều cách dựng 2 cung bằng nhau. Ta chỉ cần đảm bảo góc ở tâm chúng tạo ra là bằng nhau.

Phương pháp giải

Sử dụng: Số đo của góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn. 

Lời giải:

Vì C nằm trên cung nhỏ AB nên OC nằm giữa OA và OB

Bài tập trang 69-70 SGK Toán 9

a) 3 giờ;

b) 5 giờ;

c) 6 giờ;

d) 12 giờ;

e) 20 giờ.

Phương pháp giải:

+ Tính góc ở tâm tạo bởi hai kim giữa hai số liền nhau

+ Từ đó tính số đo góc ở tâm trong mỗi trường hợp

Lời giải:

Đồng hồ gồm có 12 số tương ứng với ${360}^0$

Suy ra góc ở tâm tạo bởi hai kim giữa hai số liền nhau là ${360}^0:12={30}^0$

a) Vào thời điểm 3 giờ thì góc tạo thành giữa hai kim đồng hồ là: $3.{30}^0={90}^0$

b) Vào thời điểm 5 giờ thì góc tạo thành giữa hai kim đồng hồ là: $5.{30}^0={150}^0$

c) Vào thời điểm 6 giờ  thì góc tạo thành giữa hai kim đồng hồ là: $6.{30}^0={180}^0$

d) Vào thời điểm 12 giờ hai kim đồng hồ trùng nhau thì góc tạo thành giữa hai kim đồng hồ là: $0^0$

e) Vào thời điểm 20 giờ thì góc tạo thành giữa hai kim đồng hồ là: $4.{30}^0={120}^0$ 

Phương pháp giải:

+ Sử dụng hai góc kề bù có tổng số đo bằng ${180}^{\circ }.$

+ Hai góc đối đỉnh có số đo bằng nhau 

Lời giải:

Ta có $\widehat{xOs}={40}^{\circ }$ , suy ra $\widehat{yOt}=\widehat{xOt}={40}^{\circ }$ (hai góc đối đỉnh)

Lại có $\widehat{xOs}+\widehat{xOt}={180}^{\circ }$ (hai góc kề bù) nên $\widehat{xOt}={180}^{\circ }-\widehat{xOs}={180}^{\circ }-{40}^{\circ }={140}^{\circ }.$

Lại có $\widehat{sOy}=\widehat{xOt}={140}^{\circ }$ (hai góc đối đỉnh)

Vậy $\widehat{xOt}=\widehat{sOy}={140}^{\circ };\widehat{xOs}=\widehat{tOy}={40}^{\circ }$ 

và $\widehat{xOy}$ = $\widehat{sOt}$ = ${180}^{\circ }$

Phương pháp giải:

Nối $OA,OB$

Đo góc ở tâm $\widehat{AOB}$ để suy ra số đo cung $\stackrel{⏜}{AmB}$

Suy ra $sđ\stackrel{⏜}{AnB}={360}^0-sđ\stackrel{⏜}{AmB}$

Sử dụng:

+ Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

+ Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa ${360}^o$ và số đo của cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn)

Lời giải:

Với hình 5

Ta có: $\widehat{AOB}={125}^0$ 

$=>sđ\stackrel{⏜}{AmB}={125}^0$

và  $sđ\stackrel{⏜}{AnB}={360}^0-{125}^0={235}^0$

Với hình 6

Ta có góc $\widehat{AOB}={65}^0$

$=>sđ\stackrel{⏜}{AmB}={65}^0$

 $sđ\stackrel{⏜}{AnB}$ $={360}^0-sđ\stackrel{⏜}{AmB}$ $={360}^0-{65}^0={295}^0$

Phương pháp giải:

Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa ${360}^o$ và số đo của cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn)

Số đo của nửa đường tròn bằng ${180}^o$

Lời giải:

Ta có $OA=AT$ (gt) và $\widehat{OAT}={90}^0$ nên  $∆AOT$ là tam giác vuông cân tại $A$, vậy $\widehat{AOB}={45}^0$. 

$\Rightarrow$ Số đo cung nhỏ $\stackrel{⏜}{AB}=\widehat{AOB}={45}^0$. Do đó số đo cung lớn $\stackrel{⏜}{AB}$ là: ${360}^0-{45}^0={315}^0$ 

a) Tính số đo của góc ở tâm tạo bởi hai bán kính $OA,OB$.

b) Tính số đo mỗi cung $AB$ (cung lớn và cung nhỏ).

Phương pháp giải:

a) Sử dụng tính chất tia tiếp tuyến

Sử dụng định lý: Tổng bốn góc trong tứ giác bằng ${360}^{\circ }$

b) Sử dụng:

Số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó

Số đo cung lớn bằng ${360}^{\circ }$ trừ số đo cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn).

Lời giải:

a) Vì $MA,MB$ là hai tiếp tuyến của $\left(O\right)$ cắt nhau tại $M$ nên $\widehat{OAM}={90}^{\circ };\widehat{MBO}={90}^{\circ }$ 

Xét tứ giác $OBMA$ có $\widehat{OAM}+\widehat{OBM}+\widehat{AMB}+\widehat{AOB}={360}^{\circ }$ (định lý tổng các góc của tứ giác)

Hay$$\begin{gathered} {90}^{\circ }+{90}^{\circ }+{35}^{\circ }+\widehat{AOB}={360}^{\circ } \\ \Rightarrow \widehat{AOB}={145}^{\circ }. \end{gathered}$$

Vậy số đo của góc ở tâm tạo bởi hai bán kính $OA,OB$ là:$\widehat{AOB}={145}^0$

b) Từ $\widehat{AOB}={145}^0$. $\Rightarrow$ Số đo cung nhỏ $\stackrel{⏜}{AB}$ là ${145}^0$ và số đo cung lớn $\stackrel{⏜}{AB}$ là: ${360}^0-{145}^0={215}^0$ 

a) Tính số đo các góc ở tâm tạo bởi hai trong ba bán kính $OA,OB,OC$.

b) Tính số đo các cung tạo bởi hai trong ba điểm $A,B,C$.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa ${360}^o$ và số đo của cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn)

Lời giải:

a) Ta có: $\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}={60}^0$ (gt)

Tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của ba cạnh cũng chính là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác đều $ABC$.

Nên $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}=\widehat{B_1}=\widehat{B_2}=\widehat{C_1}=\widehat{C_2}={30}^0$ 

Suy ra:  $\widehat{AOB}={180}^0-\widehat{A_1}-\widehat{B_1}={180}^0-{30}^0-{30}^0={120}^0$

Tương tự ta suy ra: $\widehat{AOB}=\widehat{BOC}=\widehat{COA}={120}^0$

b) Từ $\widehat{AOB}=\widehat{BOC}=\widehat{COA}={120}^0$ ta suy ra:

$sđ\stackrel{⏜}{AB}=sđ\stackrel{⏜}{CA}=sđ\stackrel{⏜}{CB}$ $={120}^0$

$sđ\stackrel{⏜}{ABC}=sđ\stackrel{⏜}{BCA}=sđ\stackrel{⏜}{CAB}$ $={360}^0-{120}^0={240}^0$

a)Em có nhận xét gì về số đo của các cung $AM,CP,BN,DQ$.

b) Hãy nêu tên các cung nhỏ bằng nhau.

c) Hãy nêu tên hai cung lớn bằng nhau.

Phương pháp giải:

Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa ${360}^o$ và số đo của cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn)

Hai cung bằng nhau có số đo bằng nhau.

Lời giải:

a) Các cung nhỏ $\stackrel{⏜}{AM},\stackrel{⏜}{CP},\stackrel{⏜}{BN},\stackrel{⏜}{DQ}$ có cùng số đo (cùng bằng góc BON)

b) $\stackrel{⏜}{AM}$ = $\stackrel{⏜}{DQ}$; $\stackrel{⏜}{BN}$ = $\stackrel{⏜}{PC}$; $\stackrel{⏜}{AQ}$ =$\stackrel{⏜}{MD}$; $\stackrel{⏜}{BP}$ =$\stackrel{⏜}{NC}$.

c) Các cung lớn bằng nhau:

$\stackrel{⏜}{AMDQ}=\stackrel{⏜}{MAQD}$; $\stackrel{⏜}{BNCP}=\stackrel{⏜}{NBPC}$

Chú ý:

+ Phân biệt "so sánh hai cung" và "so sánh số đo hai cung":

Ta chỉ so sánh được hai cung trong cùng một đường tròn hoặc trong hai đường tròn bằng nhau.

So sánh số đo hai cung : luôn so sánh được

+ Ở câu c, ta có thể chọn 2 cung lớn bằng nhau khác, chẳng hạn: $\stackrel{⏜}{AQDM}=\stackrel{⏜}{DMAQ}$; $\stackrel{⏜}{BPCN}=\stackrel{⏜}{CNBP}$

Bài 8 trang 70 sgk Toán lớp 9 tập 2: Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai? Vì sao?

a) Hai cung bằng nhau thì có số đo bằng nhau.

b) Hai cung có số đo bằng nhau thì bằng nhau.

c) Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn là cung lớn hơn.

d) Trong hai cung trên một đường tròn, cung nào có số đo nhỏ hơn thì nhỏ hơn.

Phương pháp giải:

So sánh hai cung:

Ta chỉ so sánh hai cung trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau: Khi đó:

- Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.

- Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.

Lời giải:

Ta chỉ so sánh hai cung trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau

a) Đúng 

Chú ý: Khi ta nói hai cung bằng nhau, nghĩa là hai cung này so sánh được (tức chúng cùng nằm trong một đường tròn hoặc trong hai đường tròn bằng nhau). Do đó, theo cách so sánh hai cung đã biết thì hai cung bằng nhau thì số đo bằng nhau. 

b) Sai vì không rõ hai cung nằm trên một đường tròn hay trên hai đường tròn bằng nhau không.

c) Sai vì không rõ hai cung nằm trên một đường tròn hay trên hai đường tròn bằng nhau không.

d) Đúng vì ta chỉ so sánh hai cung trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau. Khi đó, trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn

Bài 9 trang 70 sgk Toán lớp 9 tập 2: Trên đường tròn tâm $O$ lấy ba điểm $A,B,C$ sao cho $\widehat{AOB}={100}^0$, sđ cung $\stackrel{⏜}{AC}={45}^0$. Tính số đo của cung nhỏ $\stackrel{⏜}{BC}$ và cung lớn $\stackrel{⏜}{BC}$. (Xét cả hai trường hợp: điểm $C$ nằm trên cung nhỏ $\stackrel{⏜}{AB}$, điểm $C$ nằm trên cung lớn $\stackrel{⏜}{AB}$).

Phương pháp giải:

Sử dụng:

+ Nếu $C$ là một điểm nằm trên cung $AB$  thì  số đo cung $AB=$số đo cung $AC+$ số đo cung $BC$.

+ Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

+ Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa ${360}^o$ và số đo của cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn)

Lời giải:

TH1: Điểm $C$ nằm trên cung nhỏ $\stackrel{⏜}{AB}$

Số đo cung nhỏ BC là $sđ\stackrel{⏜}{BC}=sđ\stackrel{⏜}{AB}-sđ\stackrel{⏜}{AC}={100}^0–{45}^0={55}^0$

Số đo cung lớn $\stackrel{⏜}{BC}={360}^0–{55}^0={305}^0$ 

TH2: Điểm $C$ nằm trên cung lớn $\stackrel{⏜}{AB}$

Số đo cung nhỏ BC là $sđ\stackrel{⏜}{BC}=sđ\stackrel{⏜}{AB}+sđ\stackrel{⏜}{AC}={100}^0+{45}^0={145}^0$

Số đo cung lớn $\stackrel{⏜}{BC}={360}^0–{145}^0={215}^0$ 

1. Lý thuyết góc ở tâm

- Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.

Ví dụ: $\widehat{AOB}$ là góc ở tâm (hình $1$ ).

- Nếu $0^0<\alpha <{180}^0$ thì cung nằm bên trong góc được gọi là cung nhỏ, cung nằm bên ngoài góc được gọi là cung lớn.

- Nếu $\alpha ={180}^0$ thì mỗi cung là một nửa đường tròn.

- Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn. Góc bẹt chắn nửa đường tròn.

- Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

Ví dụ: $\widehat{AOB}=$ số đo cung $AB$ (góc ở tâm chắn cung $AB$) (hình 1)

- Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa ${360}^0$ và số đo của cung nhỏ (có chung $2$  mút với cung lớn).

- Số đo của nửa đường tròn bằng ${180}^0$ . Cả đường tròn có số đo ${360}^0.$ Cung không có số đo $0^0$ (cung có $2$  mút trùng nhau).

Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:

- Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.

- Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.

Nếu $C$ là một điểm nằm trên cung $AB$  thì

sđ $\stackrel{⏜}{AB}=$ sđ $\stackrel{⏜}{AC}+$ sđ $\stackrel{⏜}{CB}$.

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính số đo của góc ở tâm, tính số đo của cung bị chắn. So sánh các cung.

Phương pháp:

Ta sử dụng các kiến thức sau:

- Số đo cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó

- Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa ${360}^0$ và số đo của cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn).

- Số đo của nửa đường tròn bằng ${180}^0.$ Cung cả đường tròn có số đo ${360}^0.$

- Sử dụng tỉ số lượng giác của một góc nhọn để tính góc.

- Sử dụng quan hệ đường kính và dây cung.